解一元一次方程技法与思路讲解材料

解一元一次方程

的技法與思路黃志洪

教育局中學校本課程發展組神召會康樂中學(借調老師)

在根基上搭建

數學課程指引(小一至小六)2000

「代數」範疇

學生須懂得利用代數符號作記錄，列出方程及解不超過兩步計算的方程。在學習列方程及解方程前，學生須掌握加法、減法、乘法和除法算式中各部分之間的關係，以便他們能根據這些關係求未知數。方程不應包括同類項運算，所涉及的數字不宜太繁複，只可有一個未知數，且分母亦不可含有未知數。在解方程後，教師應要求學生用正確的驗算方式，進行驗算。TSA已教課程課前預測/評估

「路途回歸法」

所在地是從家出發，

經過若干路程到逹，

若行回頭路就可回到家中。

結果是從未知數出發，

經過若干運算而成，

若進行逆運算就可得到未知數

(方程的解)。用於描述未知數經過若干運算得一結果的方程「路途回歸法」針對「未知數出現一次的方程」進行逆末運算，逐步還原。原則：加減互逆、乘除互逆。練習/課堂活動目的：了解方程的含意，弄清當中的運算次序。

3

31+1

4

4

4

42+2

3

3+1

1用「逆末運算表」解方程

3

31+1

4

4

用「逆末運算表」解方程逆末運算簡化方程末運算

3

3

1+1

4

4

用「逆末運算表」解方程逆末運算簡化方程末運算

4

42+2

3

3+1

1用「逆末運算表」可解下列方程嗎？可以！但需重組方程。重組方程連續加減，次序可變：例：1+2=2+1=3例：3+4=4+3=-1例：-

2+3=3-2=1例：-

1-

2=-

2-1=-3方程y+17=33和方程17+y=33是否同解？方程2y-7=3和方程-7+2y=3是否同解？為何？重組方程練習：重組方程後，用「逆末運算表」解方程

解方程的基本概念一元方程表逹未知數值有左方等於右方的「相等關係」。為求得知未知數使「相等關係」成真的值

(方程的解)，我們就需進行解方程。在解方程時，目的在簡化這「相等關係」，直到求出方程的解。

(即得知未知數使「相等關係」成真的值)解方程的基本思路對方程進行「同解變形」，從而簡化「相等關係」，直至得解。方程：左方

=右方

同解變形未知數=確知數值

(解)

方程：2x–3=9

方程：4x–3=2x+5同解變形同解變形x=6(解)

x=4(解)

解方程2x–3=9

時

的「同解變形」過程：2x–3=92x–3+3=9+32x=122x

2=12

2x=6每行都是一方程/「相等關係」，有著同一的解(x=6)。解(x=6)能使每行的「相等關係」成真。不能加等號於每行之首！

解方程的技法－「同解變形」(一)「恆等變形」將左右兩方各自作「恆等變形」(包括化簡、展開、因式分解、通分等)

合併同類、去括號

(二)等式性質(「平衡原理」/「天平法則」)

1.如果X=Y，

那麼X＋a=Y＋a，X－b=Y－b。

移項歸類2.如果X=Y，那麼cX=cY，X

d=Y

d（c，d≠0）。

倍方程解方程的技法－「同解變形」「路途回歸法」中的逆末運算其實是使用「天平法則」，也是「同解變形」。解方程的技法

－「合併同類」

(逆末運算)3x=24

x=815x-12x=-11+35

？「合併同類」目的：將在方程同一邊的同類項進行合併，

用以簡化方程(減少未知數及數值的數目)。

解方程的技法

－「合併同類」(一)

若干「常數項」/數值的加減，

簡化成一個「常數項」/數值。

有向數/正負數的加減

B

(二)

若干「未知數項」的加減，

簡化成一個「未知數項」。

係數的概念、有向數/正負數的加減

關注：Dyscalculia/MD(數障)！解方程的技法

－「移項歸類」「移項歸類」目的：

將未知數移至方程的一邊，而數值移至另一邊。為「合併同類」作預備。15x-12x=-11+35

3x

=24(合併同類)

x

=8(逆末運算)15x-35=12x-11

？解方程的技法

－「移項歸類」運用等式性質1，也可視作加減的「逆末運算」的結果。教學活動：(方形咭背後為一x項，圓形咭後為數值)解方程的技法

－「移項歸類」教學活動(續)：解方程的技法

－「移項歸類」教學活動總結：讓學生觀察，找出規律，發現移項的變形方法。以口訣「移加作減、移減作加」幫助記憶。給出移項的概念：

把方程中的某一項，從方程的一邊移到另一邊，

需改變符號，這種變形叫做移項。習慣上把含有未知數的項移到左方，

不含未知數的項(數值)移到右方。

但有時為求簡單(令最終的係數為正)，也可靈活處理。通過練習加以鞏固，達到靈活運用「移項歸類」15x-35=12x-11

？

15x-12x=-11+35

3x

=24

x=8解方程的技法

－「去括號」5(3x-7)=12x-11

？可否「移項歸類」

？15x-35=12x

-11

15x-12x=-11+35(移項歸類)

3x

=24(合併同類)

x=8(逆末運算)「去括號」目的：撤去括號有便於「移項歸類」及「合併同類」。若方程含有括號，我們必須先撤去括號

(展開當中的項)，才可「移項歸類」。解方程的技法

－「去括號」基於乘法分配性質。

太多了！不需學生強記！解方程的技法

－「去括號」讓學生自我發現「去括號」規律。再完成跟進練習。解方程的技法

－「去括號」要訣：同號正、異號負；

括前正正負不變、括前負正負號變。解方程的技法

－「去括號」多層括號：去括號可由內而外，也可由外而內。解方程的技法

－「去括號」多層括號(另例)：由外而內還是由內而外較好？

解方程的技法

－「倍方程」5(3x-7)=12x-11

15x-35=12x

-11(去括號)

15x-12x=-11+35(移項歸類)

3x

=24(合併同類)

x=8(逆末運算)

？「倍方程」目的：係數變整(去分母、去小數)，簡化方程。解方程的技法

－「倍方程」讓學生自我發現倍多少：哪個變形對解方程有幫助？

解方程的技法

－「倍方程」哪個變形對解方程有幫助？有否更佳的變形對解方程有幫助？

解方程的技法

－「倍方程」

？倍方程：×60！

總結：乘以所有分母的最小公倍數左方、右方都要乘每項都要乘，不可漏乘不含分母項分子多過一項，作為一整體要加括號不能直接把分母去掉，需通過約分約去分母除去分母外，「倍方程」也可用於去小數「倍方程」也可「倍細」方程，例：440x+640=3280

「簡表解方程」－

例一「簡表解方程」－

例二「簡表解方程」－

例三「簡表解方程」－

例四與前表四個練習為一系列。用簡表做此練習可輕易將需做的

變形分類安排在前四個練習中。

(留意一題多法)學生在不同學習階段完成前四個

練習後，應能輕易完成此練習。

盼藉此給學生信心解較難的方程

。注意此一系列用了不同的字母，

方便初學或能力稍遜的同學參照

。教師可設計多幾個系列，可在一

系列中全用同一字母，鼓