2025年春新北师大版数学七年级下册全册教案

北师大版数学七年级下册全册教案（2025年春季新教材）

第一章整式的乘除1．1幂的乘除第1课时同底数幂的乘法【学习目标】理解同底数幂的乘法法则，能熟练运用该法则解决与之相关的一些数学问题。【学习重难点】重点：同底数幂的乘法法则的探索过程和理解应用。难点：同底数幂的乘法法则的理解。【学习过程】【情景导入，初步认识】乘方：2．光在真空中的速度大约是3×108m/s，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年。一年以3×107s计算，比邻星与地球的距离约为多少米？【思考探究，获取新知】1．计算下列各式：(1)102×103；(2)105×108；(3)10m×10n(m，n都是正整数)。能发现什么？2．2m×2n等于什么？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))eq\s\up12(m)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))eq\s\up12(n)呢？(m，n都是正整数)3．合作交流：am·an等于什么？(m，n都是正整数)am·an＝＝a(m＋n)。4．剖析法则。(1)等号左边是什么运算？(2)等号两边的底数有什么关系？(3)等号两边的指数有什么关系？(4)能总结同底数幂的乘法的法则吗？归纳结论am·an＝am＋n(m，n都是正整数)。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。【运用新知，深化理解】1．计算：(1)－b3·b2；(2)(－a)·a3；(3)(－y)2·(－y)3;(4)(－a)3·(－a)4；(5)－34×32;(6)(－5)7×(－5)6；(7)(－q)2n·(－q)3;(8)(－m)4·(－m)2；(9)－23;(10)(－2)4×(－2)5；(11)－b9·(－b)6;(12)(－a)3·(－a3)。解：(1)－b5。(2)－a4。(3)－y5。(4)－a7。(5)－729。(6)－513。(7)－q2n＋3。(8)m6。(9)－8。(10)－512。(11)－b15。(12)a6。2．下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？(1)23×32＝65;(2)a3＋a3＝a6；(3)yn·yn＝2y2n;(4)m·m2＝m2；(5)(－a)2·(－a2)＝a4;(6)a3·a4＝a12；(7)(－4)3＝43;(8)7×72×73＝76；(9)－22＝－4;(10)n＋n2＝n3。解：(1)改为23×32＝72。(2)改为a3·a3＝a6。(3)改为yn·yn＝y2n。(4)改为m·m2＝m3。(5)改为(－a)2·(－a2)＝－a4。(6)改为a3·a4＝a7。(7)改为(－4)3＝－43。(8)计算正确。(9)计算正确。(10)改为n·n2＝n3。3．计算：(1)an·an＋1·an＋2;(2)bn·b3n·b5n；(3)b2·bm＋b3·bm－1;(4)(－1)31×(－1)40；(5)3×27－6×26;(6)6×34＋7×35。解：(1)a3n＋3。(2)b9n。(3)2bm＋2。(4)－1。(5)0。(6)37。4．计算：(结果可以化成以(a＋b)或(a－b)为底时幂的形式)。(1)(a－b)2·(a－b)3·(a－b)4；(2)(a＋b)m＋1·(a＋b)＋(a＋b)m·(a＋b)2。解：(1)(a－b)9。(2)2(a＋b)m＋2。我国自行研制的某款计算机的峰值运算速度达到每秒3840亿次。如果按这个速度工作一整天，那么它能运算多少次(结果保留3个有效数字)？分析：3840亿次＝3.84×103×108次，24h＝24×3.6×103s。解：(3.84×103×108)×(24×3.6×103)＝(3.84×24×3.6)×(103×108×103)＝331.776×1014≈3.32×1016(次)。答：它能运算约3.32×1016次。

第2课时幂的乘方【学习目标】学习幂的乘方的运算性质，进一步体会幂的意义，并能解决实际问题。【学习重难点】重点：会进行幂的乘方的运算。难点：幂的乘方法则的总结及运用。【学习过程】【情景导入，初步认识】复习已学过的幂的意义及幂的运算法则。1.幂的意义是什么？2.同底数幂的乘法的法则是什么？根据已经学习过的知识，回忆并探讨以下实际问题：(1)乙正方体的棱长是2cm，则乙正方体的体积V乙＝8cm3。甲正方体的棱长是乙正方体的5倍，则甲正方体的体积V甲＝1000cm3；(2)乙球的半径为3cm，则乙球的体积V乙＝36πcm3；(球的体积公式是V＝eq\f(4,3)πr3，其中V是体积，r是球的半径)甲球的半径是乙球的10倍，则甲球的体积V甲＝36000πcm3；如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球体积是乙球体积的n3倍；(3)地球、木星、太阳可以近似地看作球体。木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的103倍和106倍。【思考探究，获取新知】1.通过问题情境继续研究：为什么(102)3＝106?2.计算下列各式。(1)(62)4＝68；(2)(a2)3＝a6；(3)(am)2＝a2m；(4)(am)n＝amn。3.观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，想一想它们之间有什么关系？结果中的底数与原式的底数之间有什么关系？你能总结这个规律吗？归纳结论幂的乘方的法则：(am)n＝amn(m，n都是正整数)。幂的乘方，底数不变，指数相乘。【运用新知，深化理解】1.计算：(1)(75)4＝720；(2)75×74＝79；(3)(x5)2＝x10；(4)x5·x2＝x7；(5)[(－7)4]5＝720；(6)[(－7)5]4＝720。2.你能说明下面每一步计算的理由吗？将它们填在括号里。(1)y·(y2)3＝y·y6(幂的乘方法则)＝y7(同底数幂的乘法法则);(2)2(a2)6－(a3)4＝2a12－a12(幂的乘方法则)＝a12(合并同类项法则)。3.计算下列各式。(1)[(a＋b)2]4;(2)－(y4)5；(3)(y2a＋1)2;(4)[(－5)3]4－(54)3；(5)(a－b)[(a－b)2]5;(6)(－a2)5·a－a11；(7)(x6)2＋x10·x2＋2[(－x)3]4；(8)(－x5)2＝________，(－x2)5＝________，[(－x)2]5＝________。解：(1)(a＋b)8。(2)－y20。(3)y4a＋2。(4)0。(5)(a－b)11。(6)－2a11。(7)4x12。(8)x10，－x10，x10。4.若|a－2b|＋(b－2)2＝0，求a5b10的值。解：因为|a－2b|≥0，(b－2)2≥0，且|a－2b|＋(b－2)2＝0。所以|a－2b|＝0，(b－2)2＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2b＝0，,b－2＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2。))所以a5b10＝45×210＝(22)5×210＝210×210＝220。5.若xm·x2m＝2，求x9m。解：x3m＝2，x9m＝(x3m)3＝23＝8。6.已知a＝3555，b＝4444，c＝5333，试比较a，b，c的大小。解：因为a＝3555＝35×111＝(35)111＝243111，b＝4444＝44×111＝(44)111＝256111，c＝5333＝53×111＝(53)111＝125111，又因为256>243>125，所以256111>243111>125111，即b>a>c。7.化简－{－[(－a2)3]4}2。解：－{－[(－a2)3]4}2＝－[－(－a6)4]2＝－(－a24)2＝－a48。

第3课时积的乘方【学习目标】1.经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义。2.了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。【学习重难点】重点：会进行积的乘方的运算。难点：正确区别幂的乘方与积的乘方的异同。【学习过程】【情景导入，初步认识】1.复习前面学习的有关幂的三个知识点：(1)幂的意义；(2)同底数幂的乘法运算法则：am·an＝am＋n(m，n都是正整数)；(3)幂的乘方运算法则：(am)n＝amn(m，n都是正整数)。2.计算：(1)－a2·a6；(2)(－x)·(－x)3；(3)(103)3；(4)(－p)·(－p)4；(5)(a2)3·(a3)2；(6)(a4)6－(a3)8。【思考探究，获取新知】1.地球可以近似的看做是球体，如果用V，r分别代表球的体积和半径，那么V＝eq\f(4,3)πr3。地球的半径约为6×103km，它的体积大约是多少立方千米？根据公式可知V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π(6×103)3，那么(6×103)3＝？2.仿照第(1)小题，计算(2)(3)题：(1)23×53；(2)28×58；(3)212×512。解：(1)原式＝(2×2×2)×(5×5×5)＝(2×5)3。从以上的计算中，我们发现了什么？归纳结论an·bn＝(a·b)n(n为正整数)。乘方的积等于每个因式积的乘方。3.做一做：(1)(3×5)4＝3(4)·5(4)；(2)(3×5)m＝3(m)·5(m)；(3)(ab)n＝a(n)·b(n)。归纳结论(a·b)n＝an·bn(n为正整数)。积的乘方等于每一个因式乘方的积。【运用新知，深化理解】1.计算下列各式，结果是x8的是(D)A.x2·x4B.(x2)6C.x4＋x4D.x4·x42.下列各式中计算正确的是(C)A.(x4)3＝x7B.[(－a)2]5＝－a10C.(am)2＝(a2)m＝a2mD.(－a2)3＝(－a3)2＝－a63.计算(－x2)3的结果是(C)A.－x5B.x5C.－x6D.x64.下列四个算式中：①(a3)3＝a3＋3＝a6；②[(b2)2]2＝b2×2×2＝b8；③[(－x)3]4＝(－x)12＝x12；④(－y2)5＝y10。正确的算式有(C)A.0个B.1个C.2个D.3个5.计算下列各式。(1)(am)3·an；(2)[(－1)3·a2]4；(3)a4·(a2)3;(4)(a3)4·(a2)5；(5)(a3)4＋a8·a4；(6)2(a5)2·(a2)2－(a2)4·(a3)2；(7)(－a3)4·(－a4)3。解：(1)a3m＋n。(2)a8。(3)a10。(4)a22。(5)2a12。(6)a14。(7)－a24。6.已知：2x＋3y－4＝0，求4x·8y的值。解：因为2x＋3y－4＝0，所以2x＋3y＝4。所以4x·8y＝22x×23y＝22x＋3y＝24＝16。

第4课时同底数幂的除法【学习目标】会进行同底数幂的除法运算，并能解决一些实际问题。【学习重难点】重点：会进行同底数幂的除法运算。难点：同底数幂的除法运算法则的总结及运用。【学习过程】【情景导入，初步认识】1.前面学习了哪些幂的运算？在探索法则的过程中用到了哪些方法？(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加。am·an＝am＋n(m，n都是正整数)。(2)幂的乘方，底数不变，指数相乘。(am)n＝amn(m，n都是正整数)。(3)积的乘方等于积中各因数乘方的积。(ab)n＝an·bn(n是正整数)。2.一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀虫剂可以杀死109个此种细菌。(1)要将1L液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？(2)你是怎样计算的？(3)你能再举几个类似的算式吗？(4)这些算式应该叫作什么运算呢？【思考探究，获取新知】探究：同底数幂的除法1.计算下列各式，并说明理由(m>n)。(1)108÷105；(2)10m÷10n；(3)(－3)m÷(－3)n。2.探究：am÷an＝？由幂的定义可知你能从中归纳出同底数幂除法的法则吗？归纳结论am÷an＝am－n(a≠0，m，n是正整数，且m>n)。同底数幂相除，底数不变，指数相减。【运用新知，深化理解】计算：(1)－m9÷m3；(2)(－a)6÷(－a)3；(3)(－8)6÷(－8)5;(4)62m＋3÷6m。解：(1)－m6。(2)－a3。(3)－8。(4)6m＋3。

第5课时用科学记数法表示较小的数【学习目标】1.了解零指数幂和负整数指数幂的意义，能进行零指数幂和负整数指数幂的乘除法运算。2.会用科学记数法表示小于1的正数，能进行它们的乘除运算，并将结果用科学记数法表示出来。【学习重难点】重点：用科学记数法表示小于1的正数。难点：用科学记数法表示小于1的正数。【学习过程】【情景导入，初步认识】1.纳米是一种长度单位，1m＝1000000000nm，你能用科学记数法表示1000000000吗？2.在用科学记数法表示数据时，要注意哪些问题？【思考探究，获取新知】探究：负整数指数幂1.做一做：104＝10000，10(3)＝1000，10(2)＝100，10(1)＝10，24＝16，2(3)＝8，2(2)＝4，2(1)＝2。2.猜一猜：下面的括号内该填入什么数？你是怎么想的？10(0)＝1，10(－1)＝0.1，10(－2)＝0.01，10(－3)＝0.001，2(0)＝1，2(－1)＝eq\f(1,2)，2(－2)＝eq\f(1,4)，2(－3)＝eq\f(1,8)。3.你有什么发现？能用符号表示你的发现吗？4.你认为这个规定合理吗？为什么？归纳结论a0＝1(a≠0)；a－p＝eq\f(1,ap)(a≠0，p是正整数)。5.1nm＝0.000000001m，这个结果能用科学记数法表示吗？6.你知道生物课中接触的洋葱表皮细胞的直径是多少吗？照相机的快门时间是多长呢？中彩票头奖的可能性是多大？头发的直径又是多少呢？生活中你还见到过哪些较小的数？无论在生活还是在学习中，都会遇到一些较小的数，例如：细胞的直径只有1μm，即0.000001m，某种计算机完成一次运算的时间为1ns，即0.000000001s，一个氧原子的质量为0.00000000000000000000000002657kg。那么为了书写方便，能不能用科学记数法来表示这些较小的数呢？0.000001＝eq\f(1,106)＝1×10－6；0.000000001＝eq\f(1,109)＝1×10－9；0.00000000000000000000000002657＝2.657×eq\f(1,1026)＝2.657×10－26。归纳结论一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是负整数。【运用新知，深化理解】1.若式子(2x－1)0有意义，求x的取值范围。解：由2x－1≠0，得x≠eq\f(1,2)，即当x≠eq\f(1,2)时，(2x－1)0有意义。2.计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式。(1)(－3－1m3n－2)－2；(2)[－2(x＋y)2·(x－y)]－2·[(x＋y)－1·(x－y)－2]－3。分析：(1)正整数指数幂的相关运算对负整数指数幂和零指数幂同样适用。对于第(2)题，在运算过程中要把(x＋y)·(x－y)看成一个整体进行运算。解：(1)原式＝(－3－1)－2·(m3)－2·(n－2)－2＝(－3)2m－6n4＝eq\f(9n4,m6)。(2)原式＝(－2)－2·[(x＋y)2]－2·(x－y)－2·[(x＋y)－1]－3·[(x－y)－2]－3＝eq\f(（x－y）4,4（x＋y）)。3.用科学记数法表示下列各数。(1)30920000；(2)0.00003092；(3)－309200;(4)－0.000003092。解：(1)原式＝3.092×107。(2)原式＝3.092×10－5。(3)原式＝－3.092×105。(4)原式＝－3.092×10－6。4.用小数表示下列各数。(1)－6.23×10－5；(2)(－2)3×10－8。解：(1)原式＝－0.0000623。(2)原式＝－8×10－8＝－0.00000008。5.(1)原子弹的原料——铀，每克含有2.56×1021个原子核，一个原子核裂变时能放出3.2×10－11J的热量，那么每克铀全部裂变时能放出多少热量？(2)1块900mm2的芯片上能集成10亿个元件，每一个这样的元件约占多少平方毫米？约占多少平方米？(用科学记数法表示)分析：第(1)题直接列式计算；第(2)题要弄清m2和mm2之间的换算关系，即1m＝1000mm＝103mm，1m2＝106mm2，再根据题意计算。解：(1)由题意得2.56×1021×3.2×10－11＝2.56×3.2×1021×10－11＝8.192×1010(J)。答：每克铀全部裂变时能放出8.192×1010J的热量。(2)eq\f(900,1000000000)＝9×102×10－9＝9×10－7(mm2)；9×10－7÷106＝9×10－7－6＝9×10－13(m2)。答：每一个这样的元件约占9×10－7mm2，约占9×10－13m2。

1.2整式的乘法第1课时单项式乘单项式【学习目标】理解并掌握单项式与单项式相乘的法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算。【学习重难点】重点：掌握单项式与单项式相乘的法则。难点：分清单项式与单项式相乘中，幂的运算法则。【学习过程】【情景导入，初步认识】一个长方形操场被划分成四个不同的小长方形活动区域，各边的长度如图所示。如何计算整个操场的面积？你是怎样想的？问题1：以上求矩形的面积时，会遇到2b·a，2b·3b，这是什么运算呢？问题2：什么是单项式？我们知道，整式包括单项式和多项式。【思考探究，获取新知】问题1：对于实际问题的结果2b·a，2b·3b可以表达得更简单些吗？说说你的理由？问题2：类似地，3a2b·2ab3和(xyz)·y2z可以表达的更简单一些吗？问题3：如何进行单项式与单项式相乘的运算？归纳结论单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。问题4：探索单项式乘法运算法则的过程中，运用了哪些运算律和运算法则？答：运用了乘法的交换律、结合律和同底数幂乘法的运算性质。【运用新知，深化理解】1.下列运算中正确的是(D)A.a4＋a2＝a6B.5a－3a＝2C.2a3·3a2＝6a6D.(－2a)－2＝eq\f(1,4a2)2.若(anb·abm)5＝a10b15，则计算3m(n＋1)的结果为(C)A.15B.8C.12D.103.计算下列各式。(1)3x2·2x3；(2)(－3ab)·(－ab)；(3)(2.5×104)×(1.6×103)；(4)5a2b·(－2ab3)；(5)－2x2y·(－2xy2)2＋(2xy)3·(xy2)。解：(1)原式＝3×2x2·x3＝6x5。(2)原式＝3a2b2。(3)原式＝4×107。(4)原式＝－10a3b4。(5)原式＝0。4.已知－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，求m2＋n的值。解：由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3m＋1＋n－6＝4，,2n－3－m＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝3，))所以m2＋n＝7。5.已知(2x3y2)·(－3xmy3)·(5x2yn)＝－30x4y2，求m＋n的值。解：(2x3y2)·(－3xmy3)·(5x2yn)＝－30xm＋5yn＋5＝－30x4y2，所以m＋5＝4，n＋5＝2，即m＝－1，n＝－3，则m＋n＝－4。6.已知x2n＝3，求x4n＋(2xn)(－5x5n)的值。解：因为x2n＝3，所以原式＝x4n－10x6n＝(x2n)2－10(x2n)3＝9－270＝－261。

第2课时单项式乘多项式、多项式乘多项式【学习目标】在具体情境中了解含多项式乘法的意义，会进行含多项式的乘法运算。【学习重难点】重点：会进行含多项式的乘法运算。难点：灵活运用含多项式的运算法则。【学习过程】【情景导入，初步认识】1.如何进行单项式乘单项式的运算？你能举例说明吗？2.计算：(1)3a2b·2abc·eq\f(1,3)abc2；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)m3n))eq\s\up12(3)·(－2m2n)4。3.写一个多项式，并说明它的次数和项数。【思考探究，获取新知】探究1：宁宁作了一幅画，所用纸的大小如图所示，她在纸的左、右两边各留了eq\f(1,8)xm的空白，这幅画的画面面积是多少？有两种做法：方法一：先表示出画面的长和宽，由此得到画面的面积为xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(mx－\f(1,4)x))；方法二：先求出纸的面积，再减去两块空白处的面积，由此得到画面的面积为mx2－eq\f(1,4)x2。两种方法得到的答案不一样，但都是正确的，由此引出xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(mx－\f(1,4)x))＝mx2－eq\f(1,4)x2这个等式。思考：式子的左边是什么运算？能不能用学过的法则说明这个等式成立的原因？总结：式子的左边是一个单项式与一个多项式相乘，利用分配律可得xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(mx－\f(1,4)x))＝x·mx－x·eq\f(1,4)x，再根据单项式乘单项式法则或同底数幂的乘法性质得到x·mx－x·eq\f(1,4)x＝mx2－eq\f(1,4)x2。想一想：问题1：ab·(abc＋2x)及c2(m＋n－p)等于什么？你是怎样计算的？问题2：如何进行单项式与多项式相乘的运算？归纳结论单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。探究2：如图①是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得长方形(图②)的面积可以怎样表示？有四种解法：方法一：长方形的长为m＋a，宽为n＋b，所以面积可以表示为(m＋a)(n＋b)；方法二：长方形可以看做由四个小长方形拼成的，四个小长方形的面积分别为mn，mb，an，ab，所以长方形的面积可以表示为mn＋mb＋an＋ab；方法三：长方形可以看做是由上下两个长方形组成的，上面的长方形面积为b(m＋a)，下面的长方形面积为n(m＋a)，这样长方形的面积就可以表示为n(m＋a)＋b(m＋a)，根据单项式乘多项式的法则，结果为nm＋na＋bm＋ba；方法四：长方形可以看做是由左右两个长方形组成的，左边的长方形面积为m(b＋n)，右边的长方形面积为a(b＋n)，这样长方形的面积就可以表示为m(b＋n)＋a(b＋n)，根据单项式乘多项式的法则，结果为mb＋mn＋ab＋an。于是得到(m＋a)(n＋b)＝n(m＋a)＋b(m＋a)＝m(b＋n)＋a(b＋n)＝mn＋mb＋an＋ab。观察上面的过程，回答下列问题：1.你能说出(m＋a)(n＋b)＝n(m＋a)＋b(m＋a)这一步运算的道理吗？2.结合这个算式(m＋a)(n＋b)＝mn＋mb＋an＋ab，你能说说如何进行多项式与多项式相乘的运算？3.归纳总结多项式与多项式相乘的运算法则。归纳结论多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。【运用新知，深化理解】1.要使(－x)(x2－mx＋2x)的展开式中不含x2的项，则m的值是（C）A.－2B.0C.2D.32.下列多项式相乘的结果是a2－a－6的是(B)A.(a－2)(a＋3)B.(a＋2)(a－3)C.(a－6)(a＋1)D.(a＋6)(a－1)3.下列计算中正确的是(C)A.a3·(－a2)＝a5B.(－ax2)3＝－ax6C.3x3－x(3x2－x＋1)＝x2－xD.(x＋1)(x－3)＝x2＋x－34.若(x＋m)(x＋n)＝x2－6x＋5，则(A)A.m，n同时为负B.m，n同时为正C.m，n异号D.m，n异号且绝对值小的为正5.要使(x－3)·M＝x2＋x＋N成立，且M是一个多项式，N是一个整数，则(C)A.M＝x－4，N＝12B.M＝x－5，N＝15C.M＝x＋4，N＝－12D.M＝x＋5，N＝－156.计算：(1)－6a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a2－\f(1,3)a＋2))；(2)－3x·(2x2－x＋4)；(3)(3a2b－4ab2－5ab－1)·(－2ab2)。解：(1)原式＝3a3＋2a2－12a。(2)原式＝－6x3＋3x2－12x。(3)原式＝－6a3b3＋8a2b4＋10a2b3＋2ab2。7.计算：(1)(x－5)(x＋2);(2)(x＋5)(x－2)；(3)(x－5)(x－2);(4)(x＋5)(x＋2)。解：(1)x2－3x－10。(2)x2＋3x－10。(3)x2－7x＋10。(4)x2＋7x＋10。8.若(mx＋y)(x－y)＝2x2＋nxy－y2，求m，n的值。解：左边＝mx2－mxy＋xy－y2＝mx2＋(1－m)xy－y2，所以m＝2，n＝1－m。所以n＝－1。9.一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽am，下底宽(a＋2b)m，坝高eq\f(1,2)am。(1)求防洪堤坝的横断面积；(2)如果防洪堤坝长100m，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？解：(1)防洪堤坝的横断面积S＝eq\f(1,2)[a＋(a＋2b)]×eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)ab。故防洪堤坝的横断面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a2＋\f(1,2)ab))m2。(2)堤坝的体积V＝Sh＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a2＋\f(1,2)ab))×100＝50a2＋50ab。故这段防洪堤坝的体积是(50a2＋50ab)m3。

1.3乘法公式第1课时平方差公式的认识【学习目标】理解和掌握平方差公式，会利用公式进行计算，能够掌握平方差公式的一些应用。【学习重难点】重点：弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点。难点：准确理解和掌握公式的结构特征。【学习过程】【情景导入，初步认识】1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。符号表示为(m＋b)(n＋a)＝mn＋ma＋bn＋ba。2.两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请举例说明。【思考探究，获取新知】1.计算下列各式：(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；(2)(1＋3a)(1－3a)＝1－9a2。2.观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？归纳结论平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2。两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。应用平方差公式应注意些什么呢？(1)注意平方差公式的适用范围；(2)字母a，b可以是数，也可以是整式；(3)注意计算过程中的符号和括号。【运用新知，深化理解】1.下列各式中能用平方差公式计算的有(D)①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)y))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)y))；②(3a－bc)(－bc－3a)；③(3－x＋y)(3＋x＋y);④(100＋1)(100－1)。A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列各式中，运算正确的是(C)①(22a)＝4a2；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)x))＝1－eq\f(1,9)x2；③(m－1)2(1－m)3＝(m－1)5；④2a×4b×8＝2a＋2b＋3。A.①②B.②③C.②④D.③④3.填空题：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－\f(1,2)))＝x2－eq\f(1,4)；(－2a2－5b)(－2a2＋5b)＝4a2－25b2。4.计算：(1)(2a－3b)(2a＋3b)；(2)(－p2＋q)(－p2－q)；(3)(4a－7b)(4a＋7b)；(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a＋\f(1,2)b))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－\f(1,2)b))。解：(1)原式＝(2a)2－(3b)2＝4a2－9b2。(2)原式＝(－p2)2－(q)2＝p4－q2。(3)原式＝(4a)2－(7b)2＝16a2－49b2。(4)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9)a2－eq\f(1,4)b2。5.计算(a＋1)(a－1)(a2＋1)(a4＋1)(a8＋1)。解：原式＝(a2－1)(a2＋1)(a4＋1)(a8＋1)＝(a4－1)(a4＋1)(a8＋1)＝(a8－1)(a8＋1)＝a16－1。

第2课时平方差公式的应用【学习目标】进一步体会平方差公式的意义，会利用公式进行计算，能够掌握平方差公式的一些应用。【学习重难点】重点：平方差公式的应用。难点：平方差公式的应用。【学习过程】【情景导入，初步认识】1.什么是平方差公式？2.判断正误：(1)(a＋5)(a－5)＝a2－5；(2)(3x＋2)(3x－2)＝3x2－22；(3)(a－2b)(－a－2b)＝a2－4b2；(4)(2a＋b)(2a－b)＝4a2－b2。【思考探究，获取新知】如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。①②1.请表示图①中阴影部分的面积。2.小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图②)，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？3.比较1，2的结果，你能验证平方差公式吗？4.(1)叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；(2)试比较公式的两种表达式在应用上的差异。归纳结论(a＋b)(a－b)＝a2－b2。5.想一想：①计算下列各组算式，并观察它们的共同特点。eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7×9＝,8×8＝))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(11×13＝,12×12＝))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(79×81＝,80×80＝))②从以上的过程中，你发现了什么规律？③请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？归纳结论(a－1)(a＋1)＝a2－1。【运用新知，深化理解】1.下列运算中，正确的是(C)A.(a＋3)(a－3)＝a2－3B.(3b＋2)(3b－2)＝3b2－4C.(3m－2n)(－2n－3m)＝4n2－9m2D.(x＋2)(x－3)＝x2－62.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是(B)A.(x＋1)(1＋x)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)a))C.(－a＋b)(a－b)D.(x2－y)(x＋y2)3.计算：(1)(2a－b)(2a＋b)(4a2＋b2)；解：原式＝(4a2－b2)(4a2＋b2)＝(4a2)2－(b2)2＝16a4－b4。(2)(x＋y－z)(x－y＋z)－(x＋y＋z)(x－y－z)；解：原式＝[x＋(y－z)][x－(y－z)]－[x＋(y＋z)][x－(y＋z)]＝x2－(y－z)2－[x2－(y＋z)2]＝4yz。(3)403×397；解：原式＝(400＋3)(400－3)＝4002－32＝159991。(4)20eq\f(1,9)×19eq\f(8,9)。解：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20＋\f(1,9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(1,9)))＝399eq\f(80,81)。

第3课时完全平方公式的认识【学习目标】从不同的层次上理解完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算，了解完全平方公式的几何背景。【学习重难点】重点：1.弄清完全平方公式的来源及其结构特点，用自己的语言说明公式及其特点。2.会用完全平方公式进行运算。难点：会用完全平方公式进行运算。【学习过程】【情景导入，初步认识】前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗？(x＋3)2＝x2＋6x＋9，(x－3)2＝x2－6x＋9，这些式子的左边和右边有什么规律？再做几个试一试：(2m＋3n)2＝4m2＋12mn＋9n2，(2m－3n)2＝4m2－12mn＋9n2。【思考探究，获取新知】1.观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？(m＋3)2＝(m＋3)(m＋3)＝m2＋3m＋3m＋9＝m2＋6m＋9。(2＋3x)2＝(2＋3x)(2＋3x)＝4＋2×3x＋2×3x＋9x2＝4＋12x＋9x2。2.观察上面的计算结果，回答下列问题：(1)原式的特点？两数和的平方。(2)结果的项数特点？等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍。(3)三项系数的特点？(特别是符号的特点)。(4)三项与原多项式中两个单项式的关系。3.再举两例验证你的发现。4.你能用自己的语言叙述这一公式吗？归纳结论两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍。即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。5.用不同的形式表示图形的总面积，并进行比较，你发现了什么？6.议一议：(a－b)2＝？你是怎样做的？7.你能自己设计一个图形解释这一公式吗？并用自己的语言叙述这一公式。归纳结论两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍。即(a－b)2＝a2－2ab＋b2。上面的两个公式称为完全平方公式。8.分析完全平方公式的结构特点，并用语言来描述完全平方公式。结构特点：左边是二项式[两数和(差)]的平方；右边是两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍。语言描述：两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的两倍。【运用新知，深化理解】1.下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算(C)A.(a＋b)(a＋c)B.(x＋y)(－y＋x)C.(ab－3x)(－3x＋ab)D.(－m＋n)(m＋n)2.填空题：(x＋3y)2＝x2＋6xy＋9y2；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝y2－y＋eq\f(1,4)；(3a－4b)2＝9a2－24ab＋16b2；x2＋10x＋25＝(x＋5)2；(－x－y)·(－x－y)＝x2＋2xy＋y2。3.利用完全平方公式计算：(1)(－1－2x)2；(2)(－2x＋1)2。解：(1)原式＝1＋4x＋4x2。(2)原式＝4x2－4x＋1。

第4课时完全平方公式的应用【学习目标】1.熟记完全平方公式，能说出公式的结构特征。2.能够运用完全平方公式进行简便运算，体会符号运算对解决问题的作用。【学习重难点】重点：运用完全平方公式进行一些数的简便运算及综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。难点：灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。【学习过程】【情景导入，初步认识】复习已学过的完全平方公式。1.完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2。2.公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。3.想一想：(1)两个公式中的字母都能表示什么？数或代数式。(2)根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗？完全平方公式在计算化简中有些什么作用？【思考探究，获取新知】怎样计算1022，1972更简单呢？(1)把1022改写成(a＋b)2还是(a－b)2？a，b怎样确定？解：1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10000＋400＋4＝10404。(2)把1972改写成(a＋b)2还是(a－b)2？a，b怎样确定？解：1972＝(200－3)2＝2002－2×200×3＋32＝4000－1200＋9＝38809。【运用新知，深化理解】1.用完全平方公式和平方差公式计算。(1)9.8×10.2；(2)89.82；解：(1)原式＝(10－0.2)×(10＋0.2)＝102－0.22＝100－0.04＝99.96。(2)原式＝(90－0.2)2＝902－2×0.2×90＋0.22＝8064.04。2.(1)已知a＋b＝3，ab＝2，求a2＋b2；解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab。因为a＋b＝3，ab＝2，所以a2＋b2＝32－2×2＝5。(2)若已知a＋b＝10，a2＋b2＝64，ab的值呢？解：因为a＋b＝10，所以(a＋b)2＝102，a2＋2ab＋b2＝100，所以2ab＝100－(a2＋b2)。又因为a2＋b2＝64，所以2ab＝100－64，ab＝18。3.观察下列各式的规律。12＋(1×2)2＋22＝(1×2＋1)2；22＋(2×3)2＋32＝(2×3＋1)2；32＋(3×4)2＋42＝(3×4＋1)2；…(1)写出第2025行的式子；(2)写出第n行的式子，并说明结论是正确的。解：(1)(2025)2＋(2025×2026)2＋(2026)2＝(2025×2026＋1)2。(2)n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2理由：因为n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝n2＋n2(n＋1)2＋n2＋2n＋1＝n2＋n2(n2＋2n＋1)＋n2＋2n＋1＝n2＋n4＋2n3＋n2＋n2＋2n＋1＝n4＋2n3＋3n2＋2n＋1。而[n(n＋1)＋1]2＝[n(n＋1)]2＋2n(n＋1)＋1＝n2(n2＋2n＋1)＋2n2＋2n＋1＝n4＋2n3＋n2＋2n2＋2n＋1＝n4＋2n3＋3n2＋2n＋1。所以n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2。

1.4整式的除法【学习目标】理解整式的除法法则，发展有条理的思考及语言表达能力。【学习重难点】重点：掌握整式的除法运算法则，学会简单的整式除法运算。难点：理解和体会整式的除法法则。【学习过程】【情景导入，初步认识】1.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。2.同底数幂的除法法则是什么？3.零指数幂的意义是什么？4.计算：(1)x5·x2÷(x3)2＝x；(2)(a－b)6÷(a－b)3＝(a－b)3。【思考探究，获取新知】1.计算：(1)8m3n2÷2m2n；(2)－36x4y3z2÷4x3z。解：(1)原式＝4mn。(2)原式＝－9xy3z。2.在进行单项式的除法时，要怎么做？(1)如何来计算单项式的除法，首先看第1(1)题的系数，系数怎么办？(2)同底数幂怎么办？(3)仅在被除式里含有的字母怎么办，如第1(2)题中的y3?(4)整式的除法法则是什么？(5)我们要理解记忆运算法则，用自己的话归纳。系数怎么办？系数相除。(6)同底数幂怎么办？同底数幂相除。(7)其余的怎么办？其余都不变。归纳结论单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。3.计算下列各题，说说你的理由。(1)(ad＋bd)÷d；(2)(a2b＋3ab)÷a；(3)(xy3－2xy)÷(xy)。4.总结探究方法。方法1：利用乘除法的互逆(1)因为(a＋b)·d＝ad＋bd，所以(ad＋bd)÷d＝a＋b。(2)因为(ab＋3b)·a＝a2b＋3ab，所以(a2b＋3ab)÷a＝ab＋3b。(3)因为(y2－2)·xy＝xy3－2xy，所以(xy3－2xy)÷(xy)＝y2－2。方法2：类比有理数的除法例如：(21＋0.14)÷7＝(21＋0.14)×eq\f(1,7)＝3＋0.02＝3.02，类比得到(1)(ad＋bd)÷d＝(ad＋bd)·eq\f(1,d)＝a＋b。(2)(a2b＋3ab)÷a＝(a2b＋3ab)·eq\f(1,a)＝ab＋3b。(3)(xy3－2xy)÷(xy)＝(xy3－2xy)·eq\f(1,xy)＝y2－2。5.根据上面的探究，你能总结多项式除以单项式的法则吗？归纳结论多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。【运用新知，深化理解】1.8x6y4z÷()＝4x2y2，括号内应填的代数式为(C)A.2x3y2B.2x3y2zC.2x4y2zD.12x4y2z2.下列计算中，正确的是(D)A.8x9÷4x3＝2x3B.4a2b3÷4a2b3＝0C.a2m÷am＝a2D.2ab2c÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)ab2))＝－4c3.若xmyn÷eq\f(1,4)x3y＝4x2，则(B)A.m＝6，n＝1B.m＝5，n＝1C.m＝5，n＝0D.m＝6，n＝04.在等式6a2·(－b3)2÷()2＝eq\f(2,3)中的括号内，应填入(D)A.eq\f(1,9)a2b6B.eq\f(1,3)ab3C.±eq\f(1,3)ab3D.±3ab35.下列各选项中，计算正确的是(D)A.(－3xn＋1ynz)÷(－3xn＋1ynz)＝0B.(3x2y－6xy)÷6xy＝eq\f(1,2)yC.(15x2y－10xy2)÷(－5xy)＝3x－2yD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3xn＋2＋xn＋1－\f(1,3)xn))÷eq\f(1,3)xn－1＝9x3＋3x2－x6.计算：(1)eq\f(8,3)a3x3÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)ax2))；(2)－12(x4y3)3÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2y3))eq\s\up12(2)；(3)(3a2b3c)3÷(－6a5b3)；(4)(3x2)3·(4y3)2÷(6xy)3。解：(1)－4a2x。(2)－48x8y3。(3)－eq\f(9,2)ab6c3。(4)2x3y3。7.化简求值：(－2x3y4)÷(－x2y2)·(－x)－(x－2y)(2y＋x)＋x(x－xy2)，其中x＝－1，y＝－2。解：原式＝－2x2y2－x2＋4y2＋x2－x2y2＝－3x2y2＋4y2，将x＝－1，y＝－2代入，原式＝－12＋16＝4。8.计算：(9x2y－6xy2－3xy)÷6xy。解：原式＝9x2y÷6xy－6xy2÷6xy－3xy÷6xy＝eq\f(3,2)x－y－eq\f(1,2)。9.先化简，再求值：(a2b－2ab2－b3)÷b－(a＋b)(a－b)，其中a＝eq\f(1,2)，b＝－1。分析：根据多项式除单项式的法则，平方差公式化简，整理成最简形式，然后把a，b的值代入计算即可。解：原式＝－2ab。当a＝eq\f(1,2)，b＝－1时，原式＝(－2)×eq\f(1,2)×(－1)＝1。10.地球到太阳的距离约为1.5×108km，光的速度约为3×108m/s，求光从太阳到地球的时间。解：因为1.5×108km＝1.5×1011m，所以(1.5×1011)÷(3×108)＝(1.5÷3)×(1011÷108)＝0.5×103＝500(s)。答：光从太阳到地球的时间为500s。

第二章相交线与平行线2.1两条直线的位置关系第1课时对顶角、补角和余角【学习目标】在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题。【学习重难点】重点：1.余角、补角、对顶角的概念。2.理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。难点：对“在同一平面内的两条直线”含义的理解。理解等角的余角相等，等角的补角相等。【学习过程】【情景导入，初步认识】展示一些生活中的图片，观察生活中的两条直线之间的位置关系。【思考探究，获取新知】探究1：相交线、平行线1.从上面的图片中，找出两条直线有几种位置关系？2.拿出两支笔，用它们代表两条直线，在同一平面内，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系，各种位置关系，分别叫作什么？归纳结论在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种；若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线；在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。探究2：对顶角的概念和性质请先画一画：两条直线AB和CD交于点O，再回答下列问题。1.观察：∠1和∠2的位置有什么关系？大小有何关系？为什么？尝试用自己的语言描述对顶角的定义。2.剪刀可以看成两直线相交，那么剪刀在剪东西的过程中，∠1和∠2还保持相等吗？∠3和∠4呢？有何结论？归纳结论两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫作对顶角。对顶角相等。探究3：余角、补角的概念和性质1.用量角器，量出∠1，∠2，∠3，∠4的度数，观察∠1与∠3有何关系？2.图中还有哪些角，具有这种关系？归纳结论如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。类似的，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。3.打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1＝∠2，将图抽象成几何图形，ON与DC交于点O，∠DON＝∠CON＝90°，∠1＝∠2。解决下列问题：问题①：哪些角互为补角？哪些角互为余角？问题②：∠3与∠4有什么关系？为什么？问题③：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？还能得到哪些结论？归纳结论同角(或等角)的余角相等。同角(或等角)的补角相等。【运用新知，深化理解】1.在下列4个判断中：①在同一平面内，不相交的两条线段一定平行；②不相交的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行的两条射线一定相交；④在同一平面内，不平行的两条直线一定相交。其中正确的个数是(D)A.4B.3C.2D.12.如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是60°。3.已知∠α＝24°，且∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠γ的余角和补角的度数分别为66°，156°。4.填表：∠α∠α的余角∠α的补角32°58°148°62°23′27°37′117°37′x90°－x180°－x一个锐角的补角比它的余角大90°。5.已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数。分析：可以利用方程思想解决这道题。解：设这个角为x°，则180－x＝4(90－x)，解得x＝60。答：这个角是60°。6.如图，E，F是直线DG上两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4＝90°，找出图中相等的角并说明理由。解：∠5＝∠6，理由：等角的余角相等。7.如图，已知AOB是一直线，OC是∠AOB的平分线，∠DOE是直角，图中哪些角互余？哪些角互补？哪些角相等？解：互余：∠1与∠2，∠1与∠4，∠2与∠3，∠4与∠3。互补：∠1与∠EOB，∠3与∠EOB，∠4与∠AOD，∠2与∠AOD，∠AOC与∠BOC，∠AOC与∠DOE，∠BOC与∠DOE。相等：∠AOC＝∠BOC＝∠DOE，∠1＝∠3，∠2＝∠4。

第2课时垂线【学习目标】1.会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。2.通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。3.初步尝试进行简单的推理。【学习重难点】重点：根据点与线之间垂直的线段最短的原理，解决生活中的一些简单问题。难点：根据点与线之间垂直的线段最短的原理，解决生活中的一些简单问题。【学习过程】【情景导入，初步认识】观察下面三个图形，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？【思考探究，获取新知】1.在上面的三幅图形中，我们找出了一些相交的两条直线，那么它们有什么特殊的位置关系？这种位置关系我们称为什么呢？归纳结论两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直(perpendicular)，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线。它们的交点叫作垂足。通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。如图①，记作AB⊥CD；如图②，记作l⊥m。2.思考：你能画出两条互相垂直的直线吗？你有哪些方法？(1)你能借助三角尺或者量角器，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？(2)如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？说出你的画法和理由。(3)你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？请说明理由。3.画一画：(1)请画出直线m与点A，你有几种画法？(2)过点A画m的垂线，你能画几条？请用自己的语言概括你的发现。归纳结论同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。4.动手画一画。请画出直线l与l外一点P，O是垂足，在l上取点A，B，C，比较PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？归纳结论直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。线段PO的长度叫作点P到直线l的距离。【运用新知，深化理解】如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则下列的结论中正确的个数是(C)①点B到AC的垂线段是线段AB；②线段AC是点C到AB的垂线段；③线段AD是点D到BC的垂线段；④线段BD是点B到AD的垂线段。A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为D，再沿垂线CD开沟才能使沟最短，其依据是(C)A.垂线最短B.过一点确定一条直线与已知直线垂直C.垂线段最短D.以上说法都不对3.已知线段AB＝10cm，在同一平面内，点A，B到直线l的距离分别为6cm，4cm。符合条件的直线l有(C)A.1条B.2条C.3条D.4条4.如图，直线a⊥b，∠1＝50°，则∠2＝40°。

2.2探索直线平行的条件第1课时利用同位角判定两直线平行【学习目标】1.会识别由“三线八角”所成的同位角。2.掌握直线平行的条件，并能解决一些问题。【学习重难点】重点：会识别各种图形下的同位角，并掌握直线平行的条件是“同位角相等，两直线平行”。难点：判断两直线平行的说理过程。【学习过程】【情景导入，初步认识】1.在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交。2.在同一平面内，不相交的两条直线是平行线。3.如教材中P41彩图，装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹的角为多少度时才能使木条a与木条b平行？你能说明其中的道理吗？【思考探究，获取新知】1.移动活动木条，完成书中P41的操作·交流内容。2.改变图①中∠1的大小，按照上面的方式再做一做，∠1与∠2的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行？①3.如图②，直线AB，CD被直线l所截：②具有∠1与∠2这样位置关系的角，可以看作是在被截直线的同一侧，在截线的同一旁，相对位置是相同的角，我们把这样的角称为同位角。4.图中还有其他的同位角吗？这些角相等也可以得出两直线平行吗？归纳结论两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简称“同位角相等，两直线平行”。两直线平行，用符号“∥”表示。如直线a与直线b平行，记作a∥b。5.动手画一画：(1)你能过直线AB外一点P画直线AB的平行线吗？能画几条？(2)在如图中，分别过C，D画直线AB的平行线EF，GH。那么EF与GH有怎样的位置关系？归纳结论过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。平行于同一条直线的两条直线平行。【运用新知，深化理解】1.如图，FE⊥CD，∠2＝26°，当∠1＝64°时，AB∥CD。第1题图如图，当∠1＝∠D时，可以得到AD∥BC，其理由是同位角相等，两直线平行。第2题图3.如图，已知∠1＝∠2，试说明AB与CD的关系。解：AB∥CD。理由：因为∠1＝∠2(已知)，∠2＝∠3(对顶角相等)，所以∠1＝∠3(等量代换)，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)。4.如图，BE平分∠FBD，∠ABC＝∠C，那么直线FB与AC平行吗？试说明理由。解：FB∥AC。理由：因为BE平分∠FBD，所以∠DBE＝∠FBE，因为∠DBE＝∠ABC，所以∠FBE＝∠ABC，因为∠ABC＝∠C，所以∠FBE＝∠C，所以FB∥AC。

第2课时利用内错角、同旁内角判定两直线平行【学习目标】1.会识别由“三线八角”构成的内错角和同旁内角。2.经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论，并能解决一些问题。3.会用尺规作一条直线的平行线。【学习重难点】重点：1.弄清内错角和同旁内角的意义，会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”的结论。2.会用尺规作一条直线的平行线。难点：会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”的结论。【学习过程】【情景导入，初步认识】小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB(如图①)。他只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？①【思考探究，获取新知】如图②，直线AB，CD被直线l所截。②∠4和∠5在截线的两侧，在被截线的内部，具有这样位置关系的角叫作内错角。∠4和∠7在截线的同旁，在被截线的内部，具有这种位置关系的角叫作同旁内角。2.请找出其他的内错角和同旁内角。3.议一议：(1)内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？(2)同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？归纳结论两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简称“内错角相等，两直线平行”。两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简称“同旁内角互补，两直线平行”。4.如图，已知点P在直线AB外，用尺规作直线MN，使MN经过点P，且MN∥AB。解：作法：(1)在直线AB上任取一点O，过点O，P作直线CD。(2)以点P为顶点，以PD为一边，在直线CD的右侧作∠DPN＝∠DOB。如图，PN边所在的直线MN就是要作的直线。【运用新知，深化理解】1.如图，∠1与∠2是内错角的是(D)2.如图，与∠C互为同旁内角的角有(C)第2题图A.1个B.2个C.3个D.4个如图，下列条件中不能判定DE∥BC的是(C)第3题图A.∠1＝∠CB.∠2＝∠3C.∠1＝∠2D.∠2＋∠4＝180°4.已知直线PQ，小嘉和小淇想画出PQ的平行线，他们的作法如下(图①和图②)：小嘉：①将直尺紧贴直线PQ；②含60°角的三角板的顶点C落在直尺上；③使三角板斜边BC与量角器的60°刻度线重合，则AB∥PQ。小淇：①作射线PC；②在射线PC上任取点A，用尺规作与∠APQ相等的角，即∠CAB＝∠APQ；③连接AB，则AB∥PQ。①②下列说法中正确的是（C）A.小嘉的作法正确，小淇的作法不正确B.小嘉的作法不正确，小淇的作法正确C.小嘉和小淇的作法都正确D.小嘉和小淇的作法都不正确5.如图，已知△ABC，过点A画BC的平行线。(说明：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)解：如图所示。6.如图，AB与CD相交于点O，∠A＋∠1＝110°，∠B＋∠2＝110°，判断AC与DB的位置关系，并说明理由。解：AC∥DB。理由：因为AB与CD相交于点O，所以∠1＝∠2，因为∠A＋∠1＝110°，∠B＋∠2＝110°，所以∠A＝∠B，所以AC∥DB(内错角相等，两直线平行)。7.如图，BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线，且∠1＋∠2＝90°，那么直线AB，CD的位置关系如何？并说明理由。解：AB∥CD。理由：因为BE是∠ABD的平分线，DE是∠BDC的平分线，所以∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，因为∠1＋∠2＝90°，所以∠ABD＋∠BDC＝180°，所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)。

2.3平行线的性质第1课时平行线的性质【学习目标】经历探索平行线性质的过程，掌握平行线的三条性质，并能用它们进行简单的推理和计算。【学习重难点】重点：平行线的三条性质及简单应用。难点：平行线的性质的简单应用。【学习过程】【情景导入，初步认识】1.如果知道两条直线平行，对应的同位角、内错角、同旁内角会产生怎样的关系呢？2.已知直线a∥b，测量角的度数，把结果填入表内，并分析各角之间的关系。角∠1∠2∠3∠4∠5∠6∠7∠8度数60°120°120°60°60°120°120°60°(1)图中有几对同位角？它们的大小有什么关系？(2)图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？(3)图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？(4)换一组平行线试一试，能得到同样的结论吗？解：(1)图中有4对同位角，相等。(2)图中有2对内错角，相等。(3)图中有2对同旁内角，互补。(4)能得到同样的结论。归纳结论两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简称“两直线平行，同位角相等”。两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简称“两直线平行，内错角相等”。两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简称“两直线平行，同旁内角互补”。【运用新知，深化理解】1.如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上，若∠ADE＝125°，则∠DBC的度数为(A)第1题图A.55°B.65°C.75°D.125°如图，直线c与直线a，b相交，且a∥b，则下列结论①∠1＝∠2；②∠1＝∠3；③∠3＝∠2中正确的个数有(D)第2题图A.0个B.1个C.2个D.3个3.如图，AB∥CD，BF∥CE，则∠B与∠C有什么关系？请说明理由.解：∠B与∠C互补，理由：因为AB∥CD，所以∠B＝∠1。因为BF∥CE，所以∠C＝∠2。因为∠1＋∠2＝180°，所以∠B＋∠C＝180°。即∠B与∠C互补。4.如图，DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝70°，∠ACB＝50°，求∠EDC和∠BDC的度数。解：因为CD是∠ACB的平分线，所以∠ACD＝∠BCD。因为∠ACB＝50°，所以∠BCD＝25°。因为DE∥BC，所以∠EDC＝∠BCD＝25°。因为DE∥BC，所以∠BDE＋∠B＝180°。所以∠BDE＝180°－∠B＝110°。所以∠BDC＝∠BDE－∠EDC＝85°。

第2课时平行线的性质与判断的综合【学习目标】深刻理解平行线的性质与判定的区别：性质是根据两条直线平行，去证角的相等或互补；判定是根据两角相等或互补，去证两条直线平行。【学习重难点】重点：熟练掌握平行线的性质与判定的综合应用。难点：熟练掌握平行线的性质与判定的综合应用。【学习过程】【情景导入，初步认识】请用学过的同位角、内错角、同旁内角的概念及两直线平行的条件填空：(1)因为∠1＝∠5(已知)，所以a∥b(同位角相等，两直线平行)。(2)因为∠4＝∠5(已知)，所以a∥b(内错角相等，两直线平行)。(3)因为∠4＋∠6＝180°(已知)，所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行)。归纳结论1.平行线的性质：(1)两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简述为：两直线平行，同位角相等；(2)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简述为：两直线平行，内错角相等；(3)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简述为：两直线平行，同旁内角互补。2.平行线的判定：(1)内错角相等，两直线平行；(2)同位角相等，两直线平行；(3)同旁内角互补，两直线平行。【运用新知，深化理解】1.如图，下列推理中正确的是（C）A.因为∠1＝∠4，所以BC∥ADB.因为∠2＝∠3，所以AB∥CDC.因为AD∥BC，所以∠BCD＋∠ADC＝180°D.因为∠1＋∠2＋∠C＝180°，所以BC∥AD2.如图，已知∠1＝∠2，∠BAD＝∠BCD，则下列结论：①AB∥CD；②AD∥BC；③∠B＝∠D；④∠D＝∠ACB中正确的有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图，直线a∥b，将直角三角板的直角顶点放在直线b上，已知∠1＝55°，则∠2的度数为（A）A.35°B.45°C.55°D.125°4.如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD交于点B，D。若∠1＝∠2，∠3＝75°，求∠4的度数。解：因为∠1＝∠2，所以AB∥CD，所以∠3＝∠4，因为∠3＝75°，所以∠4＝75°。5.如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，试探究∠A与∠F的大小关系，并说明理由。解：∠A＝∠F。理由：因为∠1＝∠2，∠2＝∠3，所以∠1＝∠3，所以DB∥EC，所以∠4＝∠C。又因为∠C＝∠D，所以∠4＝∠D，所以DF∥AC，所以∠A＝∠F。

第三章概率初步3.1感受可能性【学习目标】通过猜测与游戏的方式，感受什么是不可能事件、必然事件、确定事件与不确定事件，知道事件发生的可能性是有大小的。【学习重难点】重点：事件发生的确定性与不确定性。难点：理解生活中不确定现象的特点，不确定事件发生的可能性大小，树立一定的随机观念。【学习过程】【情景导入，初步认识】“天有不测风云”这句话被引申为世界上有很多事情具有偶然性，人们不能事先判定这些事情是否会发生。但是随着人们对事件发生可能性的深入研究，人们发现许多偶然事件的发生也是有规律可循的。【思考探究，获取新知】生活中有哪些事情一定会发生，哪些事情一定不会发生，哪些事情可能会发生？思考：①随机投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数会是10吗？②随机投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数一定不超过6吗？③随机投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数一定是1吗？探究1：下列事件一定能发生吗？(1)陶瓷茶杯从10m高处落到水泥地面上会破碎；(2)太阳从东方升起；(3)今天星期三，明天星期四；(4)瓮中捉鳖。归纳结论在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定会发生，这样的事件叫作必然事件。探究2：下列事件一定能发生吗？(1)太阳从西方升起；(2)一个数的绝对值小于0；(3)水中捞月。归纳结论在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定不会发生，这样的事件叫作不可能事件。必然事件和不可能事件统称为确定事件。探究3：下列事件一定能发生吗？(1)从商店买瓶绿茶饮料中奖了；(2)掷一枚硬币，有国徽的一面朝上；(3)买一张彩票恰好中奖；(4)办公室老师从学生中选一个人去打水，小明被选中。归纳结论在一定条件下进行可重复试验时，有些事件可能发生，也可能不发生，这样的事件称为不确定事件，也称为随机事件。探究4：游戏——掷骰子游戏利用质地均匀的骰子和同桌做游戏，规则如下：(1)两人同时游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子；(2)当掷出的点数和不超过10时，如决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且你的得分为0；(3)比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜。在做游戏的过程中，你是如何决定是继续掷骰子还是停止掷骰子的？议一议：在做游戏时，如果前面掷出的点数和已经是5，你是决定继续掷还是决定停止掷？如果掷出的点数和已经是9呢？探究5：不透明的桶中有3个红球，1个白球，所有的球除颜色外，其他完全相同。从中任意摸一个球，你认为摸到哪种颜色的球的可能性较大，说明理由。归纳结论一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的。【运用新知，深化理解】1.将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是(B)