大学离散数学试卷

大学离散数学试卷一、选择题

1.下列哪个不是离散数学中的基本概念？

A.集合

B.关系

C.函数

D.指数

2.在集合论中，下列哪个是无限集合？

A.{1,2,3,...}

B.{1,2,3}

C.{1,2,3,4,...}

D.{1,2,3,4,5,...}

3.下列哪个是集合的子集？

A.{1,2,3}⊆{1,2,3,4}

B.{1,2,3}⊆{1,2,3}

C.{1,2,3}⊆{1,2}

D.{1,2,3}⊆{1,2,3,4,5}

4.在关系论中，下列哪个是等价关系？

A.反身关系

B.对称关系

C.传递关系

D.反对称关系

5.下列哪个是一对一函数？

A.f(x)=x^2

B.f(x)=x

C.f(x)=2x

D.f(x)=x+1

6.在图论中，下列哪个是连通图？

A.有向图

B.无向图

C.稀疏图

D.完整图

7.下列哪个是图论中的路径？

A.连通路径

B.回路

C.环

D.线

8.在组合数学中，下列哪个是组合数？

A.C(5,2)

B.P(5,2)

C.A(5,2)

D.D(5,2)

9.下列哪个是图论中的树？

A.有向树

B.无向树

C.完整树

D.稀疏树

10.在数理逻辑中，下列哪个是命题？

A.p∧q

B.p∨q

C.p→q

D.p↔q

二、判断题

1.离散数学中的集合运算只包括并集、交集和差集。（）

2.一个集合的所有子集的集合称为该集合的幂集，幂集的大小总是比原集合大。（）

3.在关系论中，如果对于任意的a和b，只要aRb成立，那么bRa也一定成立，则称该关系为对称关系。（）

4.在图论中，如果从图中的一个顶点出发，可以到达图中的所有其他顶点，则称该图是连通图。（）

5.在组合数学中，排列数A(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数目，且k≤n。（）

三、填空题

1.在集合论中，如果集合A包含于集合B，则记作________。

2.在关系论中，一个关系是________如果它同时满足反身性、对称性和传递性。

3.在图论中，一个图中的顶点数和边数之间的关系可以用________表达。

4.在组合数学中，从n个不同元素中取出k个元素的组合数可以用________表示。

5.在数理逻辑中，符号“¬”表示________，用于否定一个命题。

四、简答题

1.简述集合论中集合的基本运算及其性质。

2.解释关系论中关系的几种基本性质，并举例说明。

3.描述图论中图的几种基本类型，并说明它们之间的区别。

4.阐述组合数学中排列和组合的区别，并给出排列数和组合数的计算公式。

5.在数理逻辑中，如何使用逻辑运算符构建复合命题，并举例说明。

五、计算题

1.计算集合A={1,2,3,4,5}和集合B={2,3,4,5,6}的交集和并集。

2.设关系R是集合A={1,2,3,4}上的一个关系，其中R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(3,1)}。判断关系R是否满足对称性、反身性和传递性。

3.一个无向图中，顶点数为10，边数为15。求该图的最大度数。

4.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中选择3个不同的数，计算不同的选择方式数。

5.计算逻辑命题“p∨(¬q∧r)”的真值表。其中，p、q和r分别代表三个不同的命题。

六、案例分析题

1.案例背景：

假设有一个图书管理系统，其中包含书籍、作者和出版社三个实体。书籍实体包含属性如书名、ISBN、作者和出版社等；作者实体包含属性如作者名、出生日期等；出版社实体包含属性如出版社名、成立年份等。现有以下关系：

-每本书都有一个作者，一个作者可以写多本书。

-每本书由一个出版社出版，一个出版社可以出版多本书。

问题：

（1）请根据上述关系，设计一个表示书籍、作者和出版社之间关系的图。

（2）分析这个图中是否存在环，如果存在，请说明原因；如果不存在，请解释为什么。

2.案例背景：

在一个社交网络中，用户可以添加朋友，形成一个好友关系网络。每个用户都有一个唯一的用户ID，好友关系是非对称的，即如果用户A是用户B的好友，则用户B不一定是用户A的好友。

问题：

（1）设计一个无向图来表示这个社交网络，并解释图中的节点和边分别代表什么。

（2）假设系统需要找出所有与用户X有直接或间接好友关系的用户，请描述一个可能的算法来解决这个问题。

七、应用题

1.应用题：

某学校有5个班级，每个班级有30名学生。学校决定从每个班级中随机抽取3名学生参加比赛。请计算总共可以有多少种不同的学生组合方式。

2.应用题：

一个密码锁由4个数字组成，每个数字可以是0到9之间的任意一个。请问，如果密码锁没有重复数字的限制，那么一共有多少种可能的密码组合？

3.应用题：

在一个无向图中，有6个顶点，顶点之间的边数如下：A-B，A-C，B-C，B-D，C-D，C-E。请计算从顶点A出发，到达顶点E的最短路径长度。

4.应用题：

一个图书馆有10本书，编号为1到10。一个学生需要从图书馆中随机选择3本书借阅。如果要求借阅的书籍编号不连续（即没有两个连续编号的书籍被借出），请计算有多少种不同的借书方式。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.D

2.A

3.B

4.B

5.B

6.B

7.B

8.A

9.B

10.C

二、判断题答案：

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空题答案：

1.A⊆B

2.等价关系

3.度数

4.C(n,k)

5.否定

四、简答题答案：

1.集合的基本运算包括并集、交集、差集和笛卡尔积。它们的性质包括交换律、结合律和分配律。

2.关系的性质包括反身性（每个元素都与其自身相关）、对称性（如果a与b相关，则b与a也相关）和传递性（如果a与b相关，且b与c相关，则a与c也相关）。

3.图的基本类型包括无向图、有向图、连通图、连通有向图、稀疏图和稠密图。它们之间的区别在于边的方向、顶点的连接方式和边的数量。

4.排列是指从n个不同元素中取出k个元素的所有不同顺序的排列方式。组合是指从n个不同元素中取出k个元素的所有不同组合方式，不考虑顺序。排列数A(n,k)=n!/(n-k)!，组合数C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]。

5.逻辑运算符用于构建复合命题。例如，逻辑或（∨）用于连接两个命题，只有当两个命题都为假时，复合命题才为假。逻辑与（∧）用于连接两个命题，只有当两个命题都为真时，复合命题才为真。逻辑非（¬）用于否定一个命题。

五、计算题答案：

1.交集：{2,3,4,5}，并集：{1,2,3,4,5,6}。

2.关系R不满足对称性，因为(1,2)∈R但(2,1)∉R。

3.该图的最大度数为4，因为顶点C连接了三条边。

4.组合数：C(10,3)=10!/[3!(10-3)!]=120。

5.真值表如下：

|p|q|r|¬q|¬q∧r|p∨(¬q∧r)|

|---|---|---|----|--------|--------------|

|T|T|T|F|F|F|

|T|T|F|F|F|F|

|T|F|T|T|T|T|

|T|F|F|T|F|T|

|F|T|T|F|F|F|

|F|T|F|F|F|F|

|F|F|T|T|T|T|

|F|F|F|T|T|T|

六、案例分析题答案：

1.（1）设计一个无向图，其中顶点代表书籍、作者和出版社，边代表它们之间的关系。

（2）图中存在环，因为作者和出版社之间的关系可以形成环。

2.（1）设计一个无向图，其中节点代表用户，边代表好友关系。

（2）可以使用深度优先搜索或广度优先搜索算法来找出所有与用户X有直接或间接好友关系的用户。

七、应用题答案：

1.总共的组合方式数为C(5,1)*C(30,2)*C(30,1)=5*435*30=65,250。

2.可能的密码组合数为10*9*8*7=5,040。

3.最短路径长度为3，路径为A-C-D-E。

4.借书方式数为C(9,1)*C(7,1)*C(5,1)=9*7*5=315。

知识点总结：

本试卷涵盖了离散数学中的多个知识点，包括集合论、关系论、图论、组合数学和数理逻辑。以下是各知识点的详解及示例：

1.集合论：集合论是离散数学的基础，涉及集合的概念、运算和性质。例如，集合的并集、交集和差集运算，以及幂集和集合的子集等。

2.关系论：关系论研究集合之间的二元关系，包括关系的性质、等价关系和函数等。例如，关系