中考数学模拟检测卷附带有答案

中考数学模拟检测卷（附带有答案）

学校:进级：姓名：考号：

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。

1.我国古代数学家祖冲之推算出口的近似值为里它与n的误差小于0.0000003.将

113

0.0000003用科学记数法可以表示为（）

A.3X1()7B.0.3X106C.3XI0-6D.3X107

2.如图是某儿何体的三视图，该儿何体是)

V.左

视视

图图

C.圆锥D.正四棱柱

3.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）

x-1<0

4.在实数（工会0）,cos30°,我中，有理数的个数是（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

5.某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB〃CZ）,道路48与AE的夹角NBAE=

50°.城市规划部门想新修一条道路CE,要求则NE的度数为（)

BD>

E

A.23°B.25°C.27。D.30°

6.在某次射击训练过程中，小明打靶10次的成绩（环）如表所示：则小明射击成绩的众数

和方差分别为（）

靶次第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次

成绩（环）89910107891010

A.10和0.1B.9和0.1C.10和1D.9和1

7.如图，O为正方形A8C。对角线AC的中点，/VICE为等边三角形.若A8=2,则OE

的长度为（）

22

8.若〃L〃=2,则代数式血二n_.包的值是（）

mm+n

A.-2B.2C.-4D.4

9.若二次函数），=aP+2的图象经过。（1,3）,Q（〃］，〃）两点，则代数式〃2-4〃?2-4〃+9

的最小值为（）

A.IB.2C.3D.4

10.已知点P是等边△ABC的边8C上的一点，若NAPC=104°,则在以线段AHBP,

CP为边的三角形中，最小内角的大小为（）

A.14°B.16°C.24°D.26°

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。

11.若二次根式存或在实数范围内有意义，则x的取值范围为一.

12.如图，在平面直角坐标系中，平移△A4C至△4川。的位置.若顶点4(-3,4)的

对应点是4(2,5),则点8(-4,2)的对应点8的坐标是

篙北的解集为

13.不等式组，

14.如图，/W是。。的切线，8为切点，QA与交于点C,以点A为圆心、以0C的长

为半径作而，分别交AB,AC于点E,F.若0C=2,AB=4,则图中阴影部分的面积

15.如图，矩形A8C。的对角线4C,〃。相交于点0,点E,尸分别是线段OB,QA上的

点，若AE=BF,AB=5,AF=\,BE=3,则B/的长为

16.如图，正方形48CD的中心与坐标原点。重合，将顶点。(1,0)绕点A(0,1)逆

时制旋转90"得点Di,再将£>1绕点6逆时针旋转90°得点。2,再将。2绕点。逆时针

旋转90°得点。3，再将绕点。逆时针旋转90°得点。4,再将绕点4逆时针旋转

90°得点。5……依此类推，则点02022的坐标是

三、解答题：本大题共8小题，共72分，解答时，要写出必要的文字说明，证明过程或演

算步骤。

%>3（x-1）,

17.（6分）解不等式组

24<1.

18.（8分）某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机

抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：

七年级抽取成绩的频数分布直方图如图.

80WxV90,90WXW100)

70,72,73,73,75,75,75,76

77,77,78,78,79,79,79,79.

c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下:

年级平均数中位数

七年级76.5m

八年级78.279

请结合以上信息完成下列问题：

（1）七年级抽取成绩在60WxV90的人数是—，并补全频数分布直方图；

（2）表中机的值为一；

（3）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78,则（填“甲”或“乙”）

的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；

（4）七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数.

19.（8分）如图，为东西走向的滨海大边，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”

健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观

光船到滨海大道的距面CB为200米.当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，

观光船沿北偏西40'、的方向航行至点。处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观

光船从C处航行到。处的距离.

（参考数据：sin40°弋0.64,cos40020.77,tan40020.84,sin680-0.93,cos6802

20.（8分）如图，直线），=依+6与双曲线），=处相交于A（1,2）,3两点，与x轴相交于

x

点C（4,0）.

（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；

（2）连接。4,OB,求△AOB的面积；

（3）直接写出当x>0时.，关于％的不等式丘的解集.

x

21.(8分)【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、

例如：如图①，在△ABC和△AEC中，AD,A77分别是8c和用C边上的高线，且人。

=477、则△ABC和△AEC是等高三角形.

【性质探究】

如图①，用S/SA8C，S”宣。分别表示△4BC和aA'B'C的面积

则S"8C=』BC・4Z),S^A'B'C=—B'C・A'D'

22

,：AD=A,D'

SMBC：SABC=BC：B'C.

【性质应用】

(l)如图②，。是△ABC的边BC上的一点.若BD=3,DC=4,则SMBD：SMDC

(2)如图③，在△ABC中，。，E分别是BC和A8边上的点.若BE：AB=\：2,CD：

BC=\：3,SMBC=1,则SMEC=,S&CDE=;

(3)如图③，在△ABC中，D,E分别是8c和48边上的点.若BE：AB=1：m,CD：

BC=\：〃，SMBC=a,贝lj.

22.(10分)已知：如图，AB为。。的直径，CQ与。0相切于点C,交AB延长线于点。，

连接AC,BC,ZD=30°,CE平分NACB交OO于点E,过点8作8F_LC£垂足为

F.

(I)求证：C4=CO：

（2）若AB=12,求线段8尸的长.

23.（12分）如图，抛物线），=-/+版+c与x轴相交于A,3两点（点A在点3的左侧），

备用图

（I）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）过点P作用1/_1_3轴于点加，PNJJ于点N,当1＜小＜3时，求PM+PN的最大值；

（3）设直线4P,8P与抛物线的对称轴分别相交于点E,F,请探索以4F,B,G（G

是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着尸点的运动而发生变化，若不

变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由.

24.（12分）如图1,△A6C是等腰直角三角形，AC=BC=4,ZC=90°,M,N分别是

边AC,4c上的点，以CM,CN为邻边作矩形PMCN,交A3于E,F.设CM=a.CN

=〃，若次?=8.

（1）判断由线段4氏EF,组成的三角形的形状，并说明理由；

（2）①当〃=方时，求NEC”的度数；

②当。工》时，①中的结论是否成立？并说明理由.

备用图

图1备用图

参考答案与解析

一、选择题：本大题共1。个小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

I.我国古代数学家祖冲之推算出TT的近似值为港，它与n的误差小于0.(X)00003.将

113

0.0000003用科学记数法可以表示为()

A.3X10-7B.0.3X10-6c.3XI06D.3XI07

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为OX1()F,与较大

数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数凝，指数由原数左边起第一个不为零的数

字前面的0的个数所决定.

【解答】解：用科学记数法可以表示0.0()00003得：3X107；

故选：4.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为〃X|()F,其中1W|4|<IO,

〃为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

2.如图是某几何体的三视图，该几何体是()

主左

视视

图图

B.球C.圆锥D.正四棱柱

【分析】根据简单几何体的三视图的特征进行判断即可.

【解答】解：该几何体的主视图、左视图都是长方形，而俯视图是圆形，因此这个几何

体是圆柱

故选：A.

【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前

提.

x+1]0'的解集在数轴上表示正确的是（）

3.不等式组《

x-l<0

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，表示在数轴上

即可.

x+l》O①

【解答】解：不等式组

x-l〈O②

由①得：A5=-1

由②得：X<1

・•・不等式组的解集为

表示在数轴上，如图所示：

故选:B.

【点评】此题考查了解一元一次方程组，以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握

不等式组的解法是解本题的关键.

4.在实数近，（xr0）,cos30°,我中，有理数的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析［根据零指数第，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答.

【解答】解：在实数正，/（xWO）=1,cos300=看病=2中，有理数是我，

2

/B0）

所以，有理数的个数是2

故选:B.

【点评】本题考杳了零指数哥，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是

解题的关键.

5.某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB〃CD,道路A8与AE的夹角NB4E=

50°.城市规划部门想新修一条道路CE,要求则NE的度数为（）

A.23°B.25°C.27°D.30°

【考点】等腰三角形论性质；平行线的性质.

【分析］先根据平行线的性质，由AB〃C。得到NZ）FE=N84E=50°，根据等腰三角

形的性质得出/C=NE,再根据三角形外角性质计算NE的度数.

【解答】解：'：Mi//CD

：.NDFE=NBAE=50°

■:CF=EF

・・・NC=NE

•：/DFE=/C+/E

/.ZC=AZDFE=AX50°=25°

22

故选：B.

【点评】本题考查了等腰二角形的性质、平行线的性质，熟记等腰二角形的性质、平行

线的性质是解题的关键.

6.在某次射击训练过程中，小明打靶10次的成绩（环）如表所示：则小明射击成绩的众数

和方差分别为（）

靶次第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次

成绩（环）89910107891010

A.10和0.1B.9和0.1C.10和1D.9和1

【分析】分别根据众数的定义以及方差的公式解答即可.

【解答】解：由题意可知，10环出现的次数最多，为4次，故众数为10；

这10次的成绩的平均数为：J-X（7+2X8+3X9+4X10）=9

10

222

故方差为：_LXl（7-9）2+2义（8-9）+3X（9-9）+4X（10-9）J=1.

10

故选：C.

【点评】本题考查了众数和方差.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，

表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这

组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

7.如图，。为正方形A3C。对角线AC的中点，AACE为等边三角形.若A8=2,则OE

的长度为（）

C.272D.2^3

【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC然后利用等边三角形的性质可求出。£

【解答】解；•・•四边形A8CD为正方形，AB=2

：,AC=2-j2

•・・。为正方形ABC。/角线AC的中点，aACE为等边三角形

：,AC=AE=2-/2,AO=42

:.OE=V2XV3=V6.

故选：B.

【点评】本题主要考看了正方形的性质，同时也利用了等边三角形的性质，有一定的综

合性.

22

8.若m-〃=2,则代数式111-n•包的值是（）

mm+n

A.-2B.2C.-4D.4

【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把〃L”的值代入计算即可.

［解答］解：原式=（m+n）（nrn）•里

mm+n

=2（m-n）.

当〃?-〃=2时.原式=2X2=4.

故选：D.

【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

9.若二次函数），=纨2+2的图象经过。（1,3）,Q（〃］，〃）两点，则代数式〃2-4序-4〃+9

的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；因式分解-运用公式法.

【分析】利用非负数的性质，利用配方法解决问题即可.

【解答】解：•••二次求数）=々1+2的图象经过户（1,3）

/•3=。+2

.9.a=\

.•・y=7+2

,:Q（m,n）在y=/+2上

/.n=nr+2

n2-4〃P-4〃+9=（〃尸+2）2--4（；n2+2）+9=m4-4m2+5=（m2-2）2+l

,:（W2-2）20

w2-4/w2・4/I+9的最小值为1.

故选:A.

【点评】本题考查二次函数图像上的点的坐标特征，非负数的性质等知识，解题的关键

是学会利用配方法解决问题.

10.已知点。是等边△ABC的边8c上的一点，若NAPC=104°,则在以线段AP,BP,

CP为边的三角形中，最小内角的大小为（）

A.14°B.16°C.24°D,26°

【分析】过点P作交AC于点。，过点PE〃AC交AB于点E,四边形AEP。为

平行四边形，根据平行线的性质易得△CQP为等边三角形，4BEP为等边三角形，则

CP=DP=AEfBP=EP,因此△从£「就是以线段AP,BP,CP为边的三角形，求出△

人七夕的三个内角即可求解.

【解答】解：如图，过点尸作尸。〃48交4c于点。，过点PE〃AC交A8于点E

则四边形4EP。为平行四边形

：.DP=AE

•••△ABC为等边三角形

/.ZB=ZC=ZBAC=60°

*：PD//AB

:・NCPD=NB=60°,NCOP=N84C=60°

•••△CDP为等边三角形

：,CP=DP=CD

：.CP=DP=AE

•：PE//AC

：.ZBEP=ZBAC=60a,N6PE=ZC=60°

•••△8£P为等边三角形

:・BP=EP=BE

•••△A£P就是以线段4P,BP,CP为边的三角形

,/NAPC=104°

・・・NAPB=1800-ZAPC=16Q

NA尸&'=NAP8-N8P/=16°

^PAE=ZAPC-NB=44°

NAE尸=180°-N8EP=120°

，以线段AP,BP,CP为边的三角形的三个内角分别为16°、44°、120°

，最小内角的大小为16°.

故选:B.

【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的

性质、三角形外角性质，根据题意正确画出图形，推理论证得到△人£尸就是以线段

AP,BP,。尸为边的三角形是解题关键.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。

11.若二次根式存或在实数范围内有意义，则x的取值范围为.

2-

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：由题意得：3・2x20

解得：启旦

2

故答案为：

2

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解

题的关键.

12.如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至。的位置.若顶点人(-3,4)的

对应点是Ai(2,5),则点8(-4,2)的对应点8的坐标是(1,3).

【考点】坐标与图形变化■平移.

【分析】根据点A(-3,4)的对应点是4(2,5),可得点4向右平移5个单位，向

上平移1个单位至4,进而可以解决问题.

【解答】解：•・•点A(-3,4)的对应点是Ai(2,5)

・••点3(・4,2)的对应点的坐标是(1,3).

故答案为：（I,3）.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-平移，解决本题的关键是掌握平移的性质.

13.不等式组的解集为3—V5.

13x-7<8

【分析】分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集.

【解答】解：解不等式2・422,得在3

解不等式3x・7C8,得x75

故不等式组］2X-4?2的解集为34V5.

l3x-7<8

故答案为：3«5.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大

取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

14.如图，A8是。0的切线，B为切点,0A与。。交于点C,以点A为圆心、以。C的长

为半径作砺，分别交A8,4c于点£,F.若OC=2,AB=4,则图中阴影部分的面积为

4-TT♦

【分析】连接0B,根据切线的性质可得NO8A=90°,从而可得N8O4+N4=90°,根

据题意可得O8=OC=AE=AF=2,然后利用阴影部分的面积=4AO8的面积-（扇形

30c的面积+扇形EA尸的面枳）,进行计算即可解答.

【解答】解：连接

•・SB是。0的切线，B为切点

，NOBA=90°

・・・N8OA+NA=90°

由题意得:

OB=OC=AE=AF=2

,阴影部分的面枳=ZSA05的面枳-（扇形BOC的面积+扇形£4尸的面积）

=1AB-OB-^X^2

2360

=AX4X2-TT

2

=4-n

故答案为：4-TC.

【点评】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及扇形面

积的计算是解题的关键.

15.如图，矩形ABC。的对角线4C,BQ相交于点。，点E,尸分别是线段。8,上的

点，若AE=BF,AB=5,AF=\,BE=3,贝UB/的长为

【分析】过A作AN_L6。丁N,过6作5M_LAC丁M,根据矩形的性质得到O8=15O,

2

OA=1AC,AC=BD,根据三角形的面积公式得到HN=8M,根据全等三角形的性质得

2

到。N=OM,FM=EN,设五M=EN=x,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：过A作ANLBD于N,过8作BM_LAC于M

ZANO=NANB=NBMO=N/MM=90°

:四边形人BCQ是矩形

：.OB=LBD,OA=^AC,AC=BD

22

：.OB=OA

SAAOB=—OB*AN=1VA・

22

:・AN=BM

••.RlZ\AONgRtZ\BOM(HL)

：・ON=OM

・・・BN=AM

*：AE=BF

/.RtA/\/VE^ARtABA；F(HL)

:・FM=EN

设FM=EN=x

，：AF=\,BE=3

/.BN=3-x,AM=\+x

.*.3-x=\+x

：,FM=\

.\AM=2

*：AB=5

22

-BM=7AB-AM=V21

:，^F=7FM2+BM2=V1+21=V22

故答案为：V22.

Bp----------------------------^C

nr

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅

助线是解题的关键.

16.如图，正方形A68的中心与坐标原点O重合，将顶点0(1,0)绕点A(0,1)逆

时针旋转90°得点。I,再将。I绕点B逆时针旋转90°得点。2,再将。2绕点。逆时针

旋转90。得点。3,再将。3绕点。逆时针旋转90。得点。4,再将。4绕点A逆时针旋转

90。得点。5……依此类推，则点。2022的坐标是(-2023,2022).

【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化-旋转.

【分析】由题意观察发现：每四个点一个循环，。4〃+2(・4“-3,4〃+2),由2022=505

X4+2,推出。2022(-2023,2022).

【解答】解：•••将顶点。(1,0)绕点人(0,1)逆时针旋转90°得点

ADi(1,2)

•・•再将Di绕点B逆时针旋转90°得点。2,再将。2绕点C逆时针旋转90°得点。3,再

将03绕点D逆时针旋转90°得点。4,再将DA绕点A逆时针旋转90°得点Ds……

：,D2(-3,2),D?(-3,-4),。4(5,-4),(5,6),。6(・7,6),...

观察发现：每四个点一个循环，。4〃+2(-4〃-3,4/1+2)

72022=4X505+2

/.D2022(-2023,2022)；

故答案为：(-2023,2022).

【点评】本题考查坐标与图形的变化-旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题

的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题.

三、解答题：本大题共8小题，共72分，解答时，要写出必要的文字说明，证明过程或演

算步骤。

2x>3(x-1)»

17.(6分)解不等式组：|

24〈1.

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.

【解答】解：

r2x>3(x-l)①

'2奇~<1②

解不等式①得：工W3

解不等式②得：工>2

・•・不等式组的解集为：2VxW3.

【点评】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，掌握分式的混合运算的方

法以及一元一次不等式组的解法是正确解答的关键.

18.(8分)某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机

抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：

〃：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图.

70,72,73,73,75,75,75,76

77,77,78,78,79,79,79,79.

c：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下:

年级平均数中位数

七年级76.5m

八年级78.279

请结合以上信息完成下列问题：

(1)七年级抽取成绩在60《xV90的人数是38,并补全频数分布直方图;

(2)表中小的值为82_：

（3）七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78,则甲（填“甲”或“乙”）

的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；

（4）七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数.

【分析】（1）根据各组人数求出60WxV90的人数，并补全频数分布直方图；

（2）根据中位数的定义求解即可；

（3）根据该学生的成绩大于七年级的中位数，而小『八年级的中位数，即可判断；

（4）用样本估计总体的思想解决问题.

【解答】解：（1）成绩在60«90的人数为12+16+10=38

（2）第25,26名学生的成绩分别为77,77,所以加=ZZ1ZZ_=77

2

故答案为：77；

（3）•••78大于七年级的中位数,而小于八年级的中位数.

・••甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；

故答案为：甲：

（4）400X方-=64（人）

50

即估”•七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数为64.

【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个

统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键.

19.（8分）如图，A8为东西走向的滨海大边，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”

健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观

光船到滨海大道的距离CB为200米.当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点七'时，

观光船沿北偏西40°的方向航行至点。处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观

光船从C处航行到。处的距离.

（参考数据：sin400%0.64,cos40a^0.77,tan40°比0.84,sin68°比0.93,cos680比

【分析】过点C作CF±DE±F,根据N4CB的止切值川得48=4966,则可得BE的长,

再根据NO的正弦可得答案.

在Rt△人8c中，NCBA=90°

•・・tanNAC8=胆

CB

，AB=CBXian680=20()X2.482496(w)

：.BE=AB-AE=496-200=296(w)

,/ZCFE=/FEB=NCBE=90°

・•・四边形/E8C为矩形

；・CF=BE=296)n

在R【Z\CZ）尸中，ZDFC=90°

VsinZD=^

CD

（〃］）

ACD=29^^4625

0.64

答：观光船从C处航行到。处的距离约为462.5〃?.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求

解是解决此类题目的关键.

20.（8分）如图，直线），=去+5与双曲线>=耳相交于A（1,2）,B两点,与x轴相交于

x

点C（4,0）.

（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；

（2）连接04,OB,求△AO3的面积：

（3）直接写出当x>0时，关于工的不等式h+〃>又的解集.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；

（2）直线AC：y=-2x+&与双曲线：y=l（x>0）相交于A（1,2）,8两点，联立

33X

方程组，求出点8的坐标为（3,2）,根据组合法［即基本图形面积的和差）即可以解

3

决问题；

（3）根据图象即可解决问题.

【解答】解：（1）将4（1,2）,C（4,0）代入y=履+6

k+b=2

4k+b=0

3

・•・直线4c的解析式为)，=-

33

将A(1,2)代入)，=史(x>0)

x

得m=2

・••双曲线的解析式为)，=2(x>0)；

(2)•・•直线AC的解析式为y=-21+区与y轴交点D

33

・••点D的坐标为(0,应)

3

•・•直线4C：)，=-2计星与双曲线：y=2(x>0)相交于A(1,2),B两点

33x

••・点6的坐标为(3,2)

3

•••△A08的面积=工x4X@--1x^X—--X—'<1=-：

2323233

(3)观察图象

VA(1,2),8(3,2)

3

・•・当x>0时，关于x的不等式收少>且的解集是i<x<3.

x

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数

和反比例函数解析式、三角形面积等：解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综

合性较强.

21.(8分)【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、

例如：如图①，在△ABC和△ABC中，AD,47J分别是8c和SC边上的高线，且4D

=A'D\则△ABC和△AbC是等高三角形.

【性质探究】

如图①，用S”3C,分别表示△ABC和△4'B'C’的面积

则S"3C=28C-A。，SAA'B'C=^B,C-A'D'

22

•••AO=A'D'

S^ABC-S+BC=BC：BC.

【性质应用】

(1)如图②，。是△48C的边8C上的一点.若BD=3,DC=4,则SAAM：S^ADC=

3：4；

(2)如图③，在△48C中，。，E分别是8C和A8边上的点.若BE：AB=\：2,CD：

BC=\：3,SMBC=1，则S48£C=_2_,S^CDE=_—_;

~2~—6-

(3)如图③，在△ABC中，D,E分别是8c和AB边上的点.若BE：AB=l：m,CD：

BC=\：n,SMBC=a,贝ijS^COE=_-^__.

【分析】(1)根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案;

(2)同(1)的方法即可求出答案；

(3)同(1)的方法即可求出答案.

【解答】解：(1)・・・8。=3,DC=4

SMBD：SMDC=BD：£>C=3：4

故答案为：3：4：

(2)•:BE：AB=\z2

ASABEC：SMBC=BE：AB=1：2

**S^ABC=1

/.5ABEC=—：

2

,:CD：BC=\：3

:•S&CDE;S&BEC=CD：BC=1:3

S&CDE=-^△8£€'=」X—=—:

3326

故答案为：1,1；

26

(3)r：BE：AB=\：m

:,S&BEC：SMBC=BE：AB=\：m

,**S^ABC=d

■1a

••S^BEC=―SA,ABC——;

mm

CD：BC=\：n

••S^CDE：S^BEC=CD：BC=1：n

SACDE=-i5AZJEC=—>—=-^-

nnminn

故答案为：

mn

【点评】此题主要考查了三角形的面积公式，理解等高的两三角形的面积比等于底的比

是解本题的关键.

22.(10分)已知：如图，AB为。。的直径，CO与OO相切于点C,交AB延长线于点。，

连接4C,BC,/。=30°,CE平分/ACB交00于点E,过点〃作BELCE,垂足为

F.

(1)求证：CA=CD；

(2)若A8=12,求线段8尸的长.

【分析】(1)连接OC，利用切线的性质可得/。。。=90°,然后利用直角三角形的两个

锐角互余可得/。0。=60°,从而利用圆周角定理可得NA=30°,最后根据等角对等

边，即可解答；

(2)根据直径所对的圆周角是直角可得NACB=90°,从而利用(1)的结论可得BC=

2AB=6,再利用角平分线的定义可得N8CE=45°,然后在RtABCF中，利用锐角三

2

角函数的定义进行计算即可解答.

【解答】(I)证明：连接0C

•••CD与OO相切于点C

：.Z0CD=9()°

VZD=30°

AZCOD=90°-ZD=60°

，/A=-1/CO/)=3(T

2

，NA=NQ=30°

，C4=C。；

(2)解：YAB为O。的直径

:.ZACB=90°

VZA=30°,AB=\2

ABC=X4B=6

2

TCE平分N4CA

・••ZBCE=-lzACB=45°

2

VBF±CE

NBFC=90°

HBC・sin45°=6X2J

2

工线段4/7的长为3夜.

F.

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，根据题目的

已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

23.（12分）如图，抛物线），=-』+九i+c与x轴相交于A,8两点（点A在点8的左侧），

顶点。（1,4）在直线/：y=刍+£上，动点、P（〃?，〃）在x轴上方的抛物线上.

,3

备用图

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）过点尸作轴于点M,PN_L/于点N,当1V,〃V3时，求尸M+PN的最大值：

（3）设直线AP,8尸与抛物线的对称轴分别相交于点E,F,请探索以A,F,B,G（G

是点£关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着夕点的运动而发生变化，若不

变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【分析】（1）利用顶点式求解，可得结论；

（2）如图，设直线/交x轴于点T,连接PT,BD,BD交PM于点J.设尸5,-

〃P+2/〃+3）.四边形。TBP的面积=△&）「的面积+△尸87的面积

22

XPM=$（PM+PN），推出四边形D7BP的面积最大时，，PM+PN的值最大，求出四边

2

形。的面积的最大值，可得结论；

（3）四边形4F8G的面积不变.如图，设P（〃?，-W2+2W+3）,求出直线人P,BP的

解析式，可得点E，尸的坐标，求出FG的长，可得结论.

【解答】解：（1）•・•抛物线的顶点。（1,4）

・•・可以假设抛物线的解析式为），=-（x-1）2+4=-?+Zv+3：

(2)如图，设直线/交x轴于点T,连接PT,BD,BD交PM于点J.设P(m,

i7T+2m+3).

，4=&

3

.・.I，—一—8

3

・•・直线。丁的解析式为产

33

令y=0,得到x=-2

：.T(-2,0)

：.OT=2

•:B(3,0)

，OB=3

••・Br=5

•••8=132+42=5

：,TD=TB

VPM±BT,PNLDT

，四边形OTZP的面积=^尸。丁的面积的面双=』XOTXPN+2XT8XPM=2