中考数学基础知识

第一单元数与式

第讲实数

知识梳理

一、实数的分类

实数

二、实数的有关概念及性质

.数轴

()规定了、、的直线叫做数轴；

()实数与数轴上的点是一一对应的.

.相反数

()实数的相反数是，零的相反数是零；

()与互为相反数=+=.

・倒数

()实数(力)的倒数是；

()与互为倒数0.

.绝对值

()数轴上表示数的点与原点的，叫做数的绝对值，记作.

.平方根、算术平方根、立方根

()平方根

①定义：如果一个数的平方等于，即=,那么这个数叫做的平方

根(也叫二次方根)，数的平方根记作.

②一个正数有两个平方根，它们互为；的平方根是；负数没有平

方根.

()算术平方根

①如果一个正数的平方等于，即=,那么这个正数叫做的算术平

方根，的算术平方根记作.零的算术平方根是零，即=.

②算术平方根都是非负数，即>(>).

()立方根

①定义：如果一个数的立方等于，即=,那么这个数叫做的立方

根(也叫三次方根)，数的立方根记作…

②任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数

的符号相同.

.科学记数法、近似数、有效数字

()科学记数法

把一个数表示成(&V,是整数)的形式叫做科学记数法.当〉时，

将数的小数点向右移动几位得到原数，就等于几；将数的小数点向左

移动几位得到原数，就等于负几。

()近似数与有效数字

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位,

这时从第个不为的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近

似数的有效数字.

三、非负数的性质

.常见的三种非负数

・非负数的性质

()非负数的最小值是零；

()任意几个非负数的与仍为非负数；

()几个非负数的与为，则每个非负数都等于.

四、实数的运算

・运算律

()加法交换律：+=.

()加法结合律：(+)+=.

()乘法交换律：=.

()乘法结合律：()=.

()乘法分配律：(+)=.

.运算顺序

()先算乘方，再算乘除，最后算加减；()同级运算，按照从至的顺

序进行；()如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后

算大括号里的.

.零指数暮与负整数指数密

()零指数得的意义为：=(力)；

()负整数指数塞的意义为：一=(力，为正整数).

五、实数的大小比较

.实数的大小关系

在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示

的数.

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，

绝对值大的反而小.

・作差比较法

.倒数比较法

若＞，＞,＞,则V.

・平方法

因为由,(»),可得〉

所以由＞＞,可得,，所以我们可以把与的大小问题转化成比较

与的大小问题.

第讲整式及因式分解

考点一整式的有关概念

.整式

整式是单项式与多项式的统称.

・单项式

单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的因数叫

做单项式的系数；单项式中所有字母指数的叫做单项式的次数.

.多项式

几个单项式的与叫做多项式；多项式中，每一个叫做多项式的项,

其中不含字母的项叫做常数项；多项式中项的次数就是这个多项式的

次数.

考点二整数指数塞的运算

正整数指数骞的运算法则：・=+,()=,()=,=一(，是正整数).

考点三同类项与合并同类项

.所含字母相同，并且相同字母的也分别相同的单项式叫做同类

项.

.把多项式中的同类项合并成一项叫做，合并的法则是系数相加,

所得的结果作为合并后的系数-，字母与字母的指数不变.

考点四求代数式的值

.一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算

关系计算出的结果就叫做代数式的值.

.求代数式的值的基本步骤：()代入：一般情况下，先对代数式进

行化简，再将数值代入；()计算：按代数式指明的运算关系计算出结

果.

考点五整式的运算

()分式无意义的条件是=;()分式有意义的条件是力；

()分式值为零的条件是=且#.

二、分式的基本性质

分式的分子与分母同乘(或除以)一个的整式，分式的值不变.用式

子表示是：

=,=(其中是不等于的整式).

三、分式的约分与通分.约分

根据分式的基本性质将分子、分母中的约去，叫做分式的约分.

•通分

根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为的分式，这种变形

叫分式的通分.

四、分式的运算

在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，

再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的.运算结果必须是

分式或整式.

第讲二次根式

知识梳理

一、二次根式

.概念形如的式子叫做二次根式.

.二次根式有意义的条件要使二次根式有意义，则》.

二、二次根式的性质

三、最简二次根式、同类二次根式

.概念我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽

方的或的二次根式，叫做最简二次根式.

.同类二次根式的概念

几个二次根式化成以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根

式就叫做同类二次根式.

四、二次根式的运算.二次根式的加减法

合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式

化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成

一个二次根式.

・二次根式的乘除法

()二次根式的乘法：-=(>,>).

()二次根式的除法:=(>,>).

第二单元方程(组)与不等式(组)

第讲一次方程(组)

知识梳理

一、等式及方程的有关概念

・等式及其性质

()用等号来表示相等关系的式子，叫做等式.

()等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结

果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是)，所得结果

仍是等式.

.方程的有关概念

()含有未知数的等式叫做方程.

()方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的

解，一元方程的解，也叫它的根.

()解方程：求方程解的过程叫做解方程.

二、一元一次方程

.只含有未知数，并且未知数的最高次数都是，系数不等于零的

方程叫做一元一次方程，其标准形式为，其解为=.

.解一元一次方程的一般步骤：()去分母；()；()移项；0;()未知

数的系数化为.

三、二元一次方程组的有关概念

・二元一次方程

()概念：含有未知数，并且未知数的项的次数都是，这样的整式方

程叫做二元一次方程.

()一般形式：+=(#,r).

()使二元一次方程两边的值的两个未知数的值，叫做二元一次方程

的解.

()解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解.由这些解组成的

集合，叫做这个二元一次方程的解集.

・二元一次方程组

()概念：具有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成了一个

二元一次方程组.

()一般形式：(，，，均不为零).

（）二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的，

叫做二元一次方程组的解.

四、二元一次方程组的解法

解二元一次方程组的基本思想是，即化二元一次方程组为一元一

次方程，主要方法有消元法与消元法.

.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤

（）从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）

的代数式表示出（或），即变成=+（或=+）的形式；

（）将=+（或=+）代入另一个方程，消去（或），得到关于（或）的一元

一次方程；

（）解这个一元一次方程，求出（或）的值；

（）把（或）的值代入=+（或=+）中，求（或）的值.

.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤

（）在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相

反数），则可以直接相减（或相加），消去一个未知数；

（）在二元一次方程组中，若不存在（）中的情况，可选一个适当的数

去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再

把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数；

（）解这个一元一次方程；

（）将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方

程内，求出另一个未知数.

五、列方程（组）解应用题的一般步骤

审：审清题意，分清题中的已知量、未知量.

设：设未知数，设其中某个未知量为，并注意单位.对于含有两

个未知数的问题，需要设两个未知数.

歹IJ:根据题意寻找等量关系列方程（组）.

解：解方程（组.）.

验：检验方程（组）的解是否符合实际意义与数学意义.

答：写出答案（包括单位）.

六、常见的几种方程类型及等量关系

・行程问题中的基本量之间的关系

路程=速度X时间；

相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程；

追及问题：若甲为快者，则被追路程=甲走的路程一乙走的路程;

流水问题：顺=颓+水，逆=颓一水.

・工程问题中的基本量之间的关系

工作效率=.

()甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.

()通常把工作总量看作.

第讲分式方程

知识梳理

一、分式方程

・分母里含有的有理方程叫做分式方程.

.使分式方程分母为零的未知数的值即为；分式方程的增根有两

个特征：

()增根使为零；

()增根是分式方程化成的方程的根.

二、分式方程的基本解法

解分式方程的一般步骤：

()去分母，把分式方程转化为方程.

()解这个整式方程，求得方程的根.

0检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为

零，则它不是原方程的根，而是方程的，必须舍去；如果使最简公分

母不为零，则它是原分式方程的根.

三、分式方程的实际应用

分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意

检验：

()检验所求的解是否是所列分式方程的解；

()检验所求的解是否符合实际意义与数学意义.

第讲一元一次不等式(组)

知识梳理

一、不等式的有关概念及其性质

.不等式的有关概念：

()不等式：用符号“V”或或或表示大小关系

的式子，叫做不等式.

()不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有，组成这个不等

式的解集.

0解不等式：求不等式的的过程叫做解不等式.

.不等式的基本性质：

（）不等式两边都加上（或减去）同，一个数（或整式），不等号的方向，

即若V,则+V+.（或一V-）.

（）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向，即若v,

且〉,则.

（）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向，即若V,

且V,则.

二、一元一次不等式（组）的解法

.一元一次不等式：只含有未知数，且未知数的次数是且系数不

等于的不等式叫一元一次不等式.

.解一元一次不等式的基本步骤：去分母、、移项、、系数化为.

.一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式

合在一起，就组成一个一元一次不等式组.

.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的

解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集.

.一元一次不等式组解集的确定方法.

若V,则有:

（）的解集是，即“同大取大”.

（）的解集是，即“同小取小”.

（）的解集是，即“大小小大中间夹”.

（）的解集是，即“大大小小无解答”.

三、不等式（组）的应用

.列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些

关键词语，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不

高于”“大于”“多”等.这些都表达了不等关系，列不等式时，要

根据关键词准确地选用不等号.另外，对一些实际问题的分析还要注

意结合实际.

.列不等式（组）解应用题的一般步骤：（）审题；（）设未知数；（）找出

能够包含未知数的不等量关系；（）列出不等式（组）；。求出不等式（组）

的解；（）检验解是否符合实际情况；（）写出答案（包括单位名称）.

第讲一元二次方程

知识梳理

一、一元二次方程的概念

.只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的整式方程

叫做一元二次方程.

・一元二次方程的一般形式是.

二、一元二次方程的解法

.解一元二次方程的基本思想是，主要方法有：直接开平方法、、

公式法、.

.配方法：通过配方把一元二次方程++=2,—4ac>）变形为

=的形式，再利用直接开平方法求解.

.公式法：一元二次方程++=（*）当一4ac>时，=.

・用因式分解法解方程的原理是：若・=,则=或.

三、一元二次方程根的判别式

・一元二次方程根的判别式是.

（）-4ac>=一元二次方程++=（#）有两个实数根；

（）-480==一元二次方程++=（力）有两个实数根；

（）一4公〈0一元二次方程++=（力）实数根.

四、一元二次方程根与系数的关系

.在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方

程化为一般形式.

.若一元二次方程++=（力）的两个实数根是，，则+=,=.

五、实际问题与一元二次方程

列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（）审题；（）设未知数；（）根据相等关系列方程；0；（）检验；（）写出答案.

第三单元函数及其图象

第讲函数概念与平面直角坐标系

知识梳理

一、平面直角坐标系与点的坐标特征

.平面直角坐标系

如图，在平面内，两条互相垂直的数轴的交点称为原点，水平的

数轴叫，竖直的数轴叫，整个坐标平面被轴、轴分割成四个象限.

・各象限内点的坐标特征

点（，）在第一象限=>,>;

第二象限第一象限

第四象限

点（,）在第二象限=V,>;

点（，）在第三象限QV,<;

点（,）在第四象限=>,<.

.坐标轴上的点的坐标特征

点（，）在轴上==,为任意实数；

点（，）在轴上==,为任意实数；

点（，）在坐标原点==,=.

二、特殊点的坐标特征

.对称点的坐标特征

点（，）关于轴的对称点的坐标为；关于轴的对称点的坐标为；关于

原点的对称点的坐标为.

.与坐标轴平行的直线上点的坐标特征

平行于轴：横坐标，纵坐标；

平行于轴：横坐标，纵坐标.

・各象限角平分线上点的坐标特征

第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标，第二、四象限角

平分线上的点横坐标与纵坐标.

・点的平移

将点（，）向右（或向左）平移个单位，可以得到对应点（+,）［或（一，）］；

将点（，）向上（或向下）平移个单位，可以得到对应点（，+）［或（，-）］.

三、距离与点的坐标的关系

・点与原点、点与坐标轴的距离

点（，）到轴与轴的距离分别是与，点（，）到坐标原点的距离为.

.坐标轴上两点间的距离

（）在轴上两点0,（）间的距离=.

（）在轴上两点（，）,（,）间的距离=.

（）在轴上的点（）与轴上的点（，）之间的距离=.

四、函数有关的概念及图象

.函数的概念

一般地，在某一变化过程中有两个变量与，如果对于的每一个值,

都有确定的值与它对应，那么就说是的函数，是自变量.

・常量与变量

在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不

同数值的量叫做变量.

.函数的表示方法

函数主要的表示方法有三种：（）解析法；（）；（）图象法.

.函数图象的画法

0：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；0：以的值

为横坐标，对应的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；（）：

按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点.

五、函数自变量取值范围的确定

确定自变量取值范围的方法：

・自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母的实数.

.当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为.

.当自变量出现在零次塞或负整数次塞的底数中，它的取值范围

是使底数不为零的实数.

.在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值

范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分.

第讲一次函数

知识梳理

一、一次函数与正比例函数的定义

一般地，如果=+（,是常数，力），那么叫做的一次函数.

特别地，当=时，一次函数=+就成为=（是常数，W）,这时叫做

的正比例函数.

二、一次函数的图象与性质

.一次函数的图象

（）一次函数=+（力）的图象是经过点（，）与的一条直线.

（）正比例函数=（#）的图象是经过点（）与（，）的一条直线.

（）因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一

次函数图象时，只要取两个点即可.

.一次函数图象的性质

函数系数取值大致图象经过的象限函数性质

7卜

随增大而增

>

㈤/A大

y

随增大而减

<

07小

y

/

>,>/

/0X

随增大而增

大

>,<X

。//X

=+/

y-

、

<,>

07

随增大而减

yL小

<,<

一次函数=+的图象可由正比例函数=的图象平移得到，>,上

移个单位；<,下移个单位.

三、利用待定系数法求一次函数的解析式

因为在一次函数=+（力）中有两个未知数与，所以,要确定其关系

式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标（，）,（,）代入得求

出，的值即可，这种方法叫做.

四、一次函数与方程、方程组及不等式的关系

・=+与+=

直线=+与轴交点的横坐标是方程+=的解，方程+=的解是直

线=+与轴交点的横坐标.

,=+与不等式+>

从函数值的角度看，不等式+》的解集为使函数值大于零（即+>）

的的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在轴上方时，

>,因此+>的解集为一次函数在轴上方的图象所对应的的取值范

围.

.一次函数与方程组

两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一

次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方

程所对应的一次函数图象的交点.

第讲反比例函数

一、反比例函数的概念

一般地，形如（是常数，于）的函数叫做反比例函数.

.反比例函数=中的是一个分式，所以自变量，函数与轴、轴无

交点.

・反比例函数解析式可以写成=（力），它表明在反比例函数中自变

量与其对应函数值之积，总等于已知常数.

二、反比例函数的图象与性质

.图象

反比例函数的图象是双曲线.

.性质

（）当〉时，双曲线的两支分别在象限，在每一个象限内，随的增大

而；当V时，双曲线的两支分别在象限，在每一个象限内，随的增大

而.注意双曲线的两支与坐标轴无限靠近，但永远不能相交.（）双曲

线是轴对称图形，直线=或=一是它的对称轴；双曲线也是中心对称

图形，对称中心是坐标原点.

三、反比例函数的应用

・利用待定系数法确定反比例函数解析式

由于反比例函数=中只有一个待定系数，因此只要一对对应的，

值，或已知其图象上一个的坐标即可求出，进而确定反比例函数的解

析式.

・反比例函数的实际应用

解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个

变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加

以解决.

第讲二次函数

知识梳理

一、二次函数的概念

一般地，形如=（,,是常数，力）的函数，叫做二次函数.

二次函数的两种形式：

（）一般形式：；

（）顶点式：=（—）+（金）,其中二次函数的顶点坐标是一

二、二次函数的图象及性质

二次函数=++（,,为常数，力）

A

图象

(»(<)

开口方

开口向上开口向下

向

对称轴直线=一直线=一

顶点坐

标

当V一时，随的当V一时，随的

增大而减小；当增大而增大；当

增减性

＞一时，随的增＞一时，随的增

大而增大大而减小

当=一时，有最当=一时，有最

最值

值值

三、二次函数图象的特征与，，及一4ac的符号之间的关系

四、二次函数图象的平移

抛物线=与=（一），=+,=（一）+中相同，则图象的与大小都相

同，只是位置不同,它们之间的平移关系如下：

五、二次函数关系式的确定

・设一般式：=++（力）・

若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式=++□）,将已

知条件代入，求出，，的值.

・设顶点式：=（一）+（#）.

若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则

设顶点式：=（一）+（力），将已知条件代入，求出待定系数化为一般

式.

六、二次函数与一元二次方程的关系

.二次函数=++(力)，当=时，就变成了++=(w).

.++=(于)的解是抛物线与轴交点的.

.当4=-4ac＞时，抛物线与轴有两个不同的交点；当A=-4ac

=时，抛物线与轴有一个交点；当/=-4acV时，抛物线与轴没有

交点.

第四单元图形初步与三角形

第讲图形的初步认识

知识梳理

一、直线、射线、线段

.直线的基本性质

，()两条直线相交，只有交点.

()经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条.

・线段的性质

所有连接两点的线中，线段最短，即：两点之间最短.

・线段的中点

把一条线段分成两条线段的点，叫做这条线段的中点.

.直线、射线、线段的区别与联系

有几

向几个方

个端表示图形

向延伸

点

两个大写

直字母或

线一个小写—

字母

射两个大写

1___________

线字母

两个大写

线字母或

1]

段一个小写

字母

二、角的有关概念及性质

.角的有关概念

角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.射线端点叫做角

的顶点，两条射线是角的两边.从一个角的顶点引出的一条射线，把

这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的.

・角的单位与换算

°,周角=平角=直角.

・余角与补角

如果两个角的与等于，就说这两个角互为余角；如果两个角的与

等于，就说这两个角互为补角.同角（或等角）的余角；同角（或等角）

的补角.

.对顶角与邻补角

在两条相交直线形成的四个角中，如果两个角有公共顶点，一个

角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角称为对顶

角.如果两个角有公共顶点，有一条公共边，它们的另一边互为反向

延长线，这样的两个角为邻补角.对顶角，邻补角.

三、垂线的性质与判定

・垂线及其性质

垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是，则这两条直

线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.

性质：（）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（）直线外一点

与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.（简说成：垂线段最

短）

・点到直线的距离

直线外一点到这条直线的的长度，叫做点到直线的距离..

.判定

若两条直线相交且有一个角为直角，则这两条直线互相垂直.

四、平行线的性质与判定

.概念

在同一平面内，不相交的两条直线，叫做平行线.

.平行公理

经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

.性质

如果两条直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互

补.

.判定

同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角

互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线.

第讲三角形与全等三角形

知识梳理

一、三角形的概念及性质

.概念

()由三条线段顺次相接组成的图形，叫做三角形.()三角形按边可

分为：非等腰三角形与等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角

三角形与直角三角形.

.性质

()三角形的内角与是；三角形的一个外角等于与它不相邻的；三角

形的一个外角大于与它的任何一个内角.()三角形的任意两边之与第

三边；三角形任意两边之差第三边.

二、三角形中的重要线段

.三角形的角平分线

三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交

点之间的线段叫做三角形的角平分线.特性：三角形的三条角平分线

交于一点，这个点叫做三角形的.

.三角形的高线

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作，顶点与垂足之间

的线段叫做三角形的高线，简称高.特性：三角形的三条高线相交于

一点，这个点叫做三角形的.

.三角形的中线

在三角形中，连接一个顶点与它对边的线段叫做三角形的中线.特

性：三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的.

.三角形的中位线

连接三角形两边的线段叫做三角形的中位线.定理：三角形的中

位线平行于第三边，且等于它的.

三、全等三角形的性质与判定

.概念

能够的两个三角形叫做全等三角形.

.性质

全等三角形的、分别相等.

.判定

()有三边对应相等的两个三角形全等，简记为0；()有两边与它们

的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为0；()有两角与它们的夹

边对应相等的两个三角形全等，简记为()；()有两角与其中一角的对

边对应相等的两个三角形全等，简记为()；()有斜边与一条直角边对

应相等的两个直角三角形全等，简记为().

四、定义、命题、定理、公理

・定义

对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义.

.命题

判断一件事情的语句.

()命题由与两部分组成.命题通常写成“如果……，那么……”的

形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论.

()命题的真假：正确的命题称为；错误的命题称为.

()互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题

的，而第一个命题的结论是第二个命题的，那么这两个命题称为互逆

命题.每一个命题都有逆命题.

.定理

经过证明的真命题叫做定理.因为定理的逆命题不一定都是真命

题.所以不是所有的定理都有逆定理.

.公理

有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它

们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫做公理.

五、证明

.证明

从一个命题的条件出发，根据定义、公理及一定理，经过，得出它

的结论成立，从而判断该.命题为真，这个过程叫做证明.

.证明的一般步骤

()审题，找出命题的题设与结论；()由题意画出图形，具有一般性;

()用数学语言写出已知、求证；()分析证明的思路；()写出证明过程，

每一步应有根据，要推理严密.

.反证法

先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理

等相矛盾，从而结论的反面不可能成立，借此证明原命题结论是成立

的.这种证明的方法叫做反证法.

第讲等腰三角形

知识梳理

一、等腰三角形

・等腰三角形的有关概念及分类

有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等

边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰与底的等腰三角形与

三角形.

・等腰三角形的性质

（）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角"）;（）等腰三

角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三

线合一”）；（）等腰三角形是轴对称图形.

・等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简

称为“等角对等边”）.

二、等边三角形的性质与判定

・等边三角形的性质

（）等边三角形的内角相等，且都等于；（）等边三角形的三条边都.

・等边三角形的判定

（）相等的三角形是等边三角形；（）相等的三角形是等边三角形；0

有一个角为的等腰三角形是等边三角形.

三、线段的垂直平分线

.概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条

线段的垂直平分线，也叫.

.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离.

・判定：到一条线段的两个端点的点在线段的垂直平分线上，线

段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合.

四、角的平分线

・性质：角平分线上的点到角的两边的距离.

・判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的上，角的平分

线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合.

第讲直角三角形

知识梳理

一、直角三角形的性质

.直角三角形的两锐角.

.直角三角形中，°角所对的边等于斜边的.

.直角三角形斜边上的中线等于斜边的.

・勾股定理：直角三角形两直角边的平方与等于斜边的平方.

二、直角三角形的判定

.有一个角等于的三角形是直角三角形.

.有两角的三角形是直角三角形.

.如果三角形一边上的中线等于这边的，则该三角形是直角三角

形.

・勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边

的，那么这个三角形是直角三角形.

第讲锐角三角函数与解直角三角形

知识梳理

一、锐角三角函数定义

在△中，z=°,z,Z,2的对边分别为，，.

/的正弦：==;

/的余弦：==;

N的正切：==.

它们统称为/的锐角三角函数.

锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形,

常通过作垂线构造直角三角形.

二、特殊角的三角函数值

三、解直角三角形

・定义：

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程,

叫做解直角三角形.（直角三角形中，除直角外，一共有个元素，即

条边与个锐角）

.直角三角形的边角关系：

在△中，z=°,Z,Z,/的对边分别为，，.

()三边之间的关系：；

()锐角之间的关系：；

()边角之间的关系：=,=,=,=,=,=.

・解直角三角形的几种类型及解法：

()已知一条直角边与一个锐角(如，Z),其解法为：z=°-z,

=,=(或=);

()已知斜边与一个锐角(如，Z),其解法为：z=°-z,=•,

=,(或=);

()已知两直角边，，其解法为：=,

由=,得N,Z=°-Z;

()已知斜边与一直角边(如，),其解法为：=，由尸，求出N

=°-z.

四、解直角三角形的应用

.仰角与俯角：在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹

角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.

・坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两

点与水平距离之比，常用表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡

度越大，坡面.

第五单元四边形

第讲多边形与平行四边形

知识梳理

一、多边形的有关概念及性质

.多边形的概念

定义：在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接组

成的图形叫做多边形.

对角线：连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

正多边形：各个角都，各条边都的多边形叫做正多边形.

.性质

边形过一个顶点的对角线有条，共有条对角线；边形的内角与为,

外角与为0.

二、平行四边形的定义与性质

・定义

两组对边分别平行,的四边形叫做平行四边形.

.性质

()平行四边形的对边.

()平行四边形的对角.

()平行四边形的对角线

()平行四边形是中心对称图形.

四、平行四边形的判定

.两组对边分别的四边形是平行四边形.

.两组对边分别的四边形是平行四边形.

.一组对边的四边形是平行四边形.

.对角线相互的四边形是平行四边形.

第讲矩形、菱形与正方形

知识梳理

一、矩形的性质与判定

・定义

有一个角是直角的是矩形.

.性质

()矩形的四个角都是.

()矩形的对角线.

()矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴；它

的对称中心是.

.判定

()有三个角是的四边形是矩形.

()对角线的平行四边形是矩形.

二、菱形的性质与判定

.定义

一组邻边相等的叫做菱形.

.性质

()菱形的四条边都.

()菱形的对角线，并且每一条对角线平分一组对角.

.判定

()对角线互相垂直的是菱形.

()四条边都相等的是菱形.

三、正方形的性质与判定

.定义

一组邻边相等的叫做正方形.

.性质

()正方形的四条边都，四个角都是.

()正方形的对角线，且互相；每条对角线平分一组对角.

()正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边

中点的直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对角线的交点

是它的对称中心.

.判定

()一组邻边相等并且有一个角是直角的是正方形.

()一组邻边相等的是正方形.

()对角线互相垂直的是正方形.

()有一个角是直角的是正方形.

()对角线相等的是正方形.

第讲梯形

知识梳理

一、梯形的有关概念及分类

.一组对边平行，另一组对边不平行的叫做梯形.平行的两边叫

做，两底间的叫做梯形的高.

.相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直.角梯

形.

.梯形的分类：

梯形

・梯形的面积=(上底+下底)X高

二、等腰梯形的性质与判定

.性质：

()等腰梯形的两腰相等，两底平行.

()等腰梯形是轴对称图形，过.两底中点的直线是它的对称轴.

・判定：

()两腰相等的梯形是等腰梯形.

三、梯形问题的解决方法

梯形问题常通过三角形问题或平行四边形问题来解答，转化时常

用的辅助线有：

.平移一腰，即从梯形的一个顶点作另一腰的平行线，把梯形分

成一个平行四边形与一个三角形.

・过顶点作高，即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把

梯形转化成一个矩形与两个直角三角形.

.平移一条对角线，即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线,

把梯形转化成平行四边形与三角形.

.延长梯形两腰使它们相交于一点，把梯形转化成三角形.

・过一腰中点作辅助线.

()过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形；

()连接一底的端点与一腰中点，并延长与另一底的延长线相交，把

梯形转化成三角形.

第六单元图形变换

第讲图形的平移、旋转与对称

知识梳理

一、图形的轴对称

・定义

()轴对称：把图形沿着某一条直线对折后，如果能与另一个图形，

那么就说这图形成轴对称，这条直线就是,两个图形中的对应点叫做.

()轴对称图形：把图形沿某条直线对折，如果直线两旁的部分能够

互相，那么叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.

.性质

()对称点的连线被垂直平分；

()对应线段相等，对应角相等；

()成轴对称的两个图形是全等图形.

二、图形的中心对称

.定义

()中心对称:把一个图形绕着一点旋转后，如果与另一个图形重合,

那么这两个图形叫做关于这一点成中心对称，这个点叫做，旋转前后

的点叫做.

()中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转。后，能与原来位置

的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.

.性质

()关于某点成中心对称的两个图形是；

()关于某点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中

心，并且被对称中心.

三、图形折叠问题

折叠问题是轴对称变换，折痕所在直线就是轴对称问题中的对称

轴；应用时注意折叠所对应的图形，抓住它们之间的不变关系及其性

质，寻找相等的量.

四、图形的平移

・定义

在平面内，将一个图形沿移动一定的距离，图形的这种变换，叫

做平移变换，简称.确定一个平移变换的条件是与.

.性质

()平移不改变图形的与，即平移前后的两个图形是；

()连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等；

()对应线段平行(或共线)且相等；

()对应角相等.

五、图形的旋转

.定义

在平面内，把一个平面图形绕着一个定点沿着旋转一定的，图形

的这种变换，叫做旋转变换.这个定点叫做旋转中心，这个角度叫

做.图形的旋转由与所决定.

.性质

()图形上的每一点都绕着沿着相同的方向旋转了大小的角度；

0旋转后的图形与原来的图形的形状与大小都没有发生变化，即它

们是的；.

()旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的相等；

()对应点到旋转中心的连线所成的角相等，并且等于旋转角.

六、简单的平移作图与旋转作图

.平移作图的步骤

()首先找出原图形中的关键点，如多边形的顶点，圆的圆心；

()根据平移的距离与方向，画出特殊点的对应点；

()顺次连接各对应点，就得到原图形平移后的图形.

.旋转作图的步骤

()找出旋转中心与旋转角；

()找出构成图形的关键点；

0作出这些关键点旋转后的对应点；

0顺次连接各对应点

第讲图形的相似

知识梳理

一、比例线段

・比例线段的定义

在四条线段，，，中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段

的比，即，那么这四条线段，，，叫做成比例线段，简称…

・比例线段的基本性质

・黄金分割

把线段分成两条线段与(>),且使是与的，叫做把线段黄金分割，

叫做线段的黄金分割点〜

二、相似多边形

・定义

对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似

多边形对应边的比叫做，相似比为的两个多边形全等.

.性质

()相似多边形的对应角，对应边成；

()相似多边形周长的比等于；

()相似多边形面积的比等于.

三、相似三角形

.定义.

各角对应，各边对应成的两个三角形叫做相似三角形.

.判定

()平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边延长线)相交，所构

成的三角形与相似；

()两角对应，两三角形相似；

()两边对应成且夹角，两三角形相似；

()三边对应成，两三角形相似；

()斜边与一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.

.性质

()相似三角形的对应角，对应边成；

()相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等

于；

()相似三角形周长的比等于；

()相似三角形面积的比等于.

四.位似图形

・定义

每对对应点的连线相交于一点，且每对对应点到该交点的距离比

是一定值(>)，点叫做.

.性质

()位似图形的每对对应点的连线交于位似中心；

()位似图形一定相似；

()位似图形的每对对应点到位似中心的距离比等于；

()位似图形的对应线段平行或在同一直线上；

・画位似图形的步骤

()确定位似；

()连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线)；

()按位似比进行取点；

()顺次连接各点，所得的图形就是所求图形.

第讲视图与投影

知识梳理

一、投影

.平行投影：太阳光线可以看成光线，像这样的光线所形成的投

影称为平行投影.

・中心投影：探照灯、手电筒、路灯与台灯的光线可以看成是从

发出的光线，像这样的光线所形成的投影称为.

二、视图

.视图：从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的

一个视图.在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做；在水平

面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做；在侧面内得到由左向右

观察物体的视图，叫做..

.常见几何体的三种视图：

几何主视左视

俯视图

体图图

长方长方

圆柱圆

形形

三角三角圆与圆

圆锥

形形心

球圆圆圆

.三视图的画法：

()长对正；()高平齐；()宽相等.

.由视图到立体图形：

山视图想象实物图形时不像由实物到视图那样唯一确定，由一个

视图往往可以想象出多种物体.

由视图描述实物时，需了解简单的、常见的、规则物体的视图，

能区分类似的物体视图的联系与区别.如主视图是长方形，可想象出

是四棱柱、三棱柱、圆柱等.俯视图是圆的可以是球、圆柱等.

第七单元圆

第讲圆的有关性质

知识梳理

一、圆的有关概念及其对称性

.圆的定义

()圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形.这个

定点叫做，定长叫做；

()平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点

叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径.

.圆的有关概念

()连接圆上任意两点的叫做弦；

()圆上任意两点间的叫做圆弧，简称弧.

()相等的两个圆是等圆.

()在同圆或等圆中，能够互相的弧叫做等弧.

・圆的对称性

()圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它

的对称轴；

()圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

()圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能与原来的图形

重合.这就是圆的旋转不变性.

二、垂径定理及推论

.垂径定理

垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的两条弧.

.（）过圆心；（）平分弦（不是直径）；（）垂直于弦；（）平分弦所对的优

弧；（）平分弦所对的劣弧.若一条直线具备这五项中任意两项，则必

具备另外三项.

三、圆心角、弧、弦之间的关系

.定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦.

・推论

同圆或等圆中：（）两个圆心角相等；（）两条弧相等；（）两条弦相等.三

项中有一项成立，则其余对应的两项也成立.

四、圆心角与圆周角

・定义

顶点在上的角叫做圆心角；顶点在上，角的两边与圆都的角叫做

圆周角.

.性质

（）圆心角的度数等于它所对的的度数.

（）一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的度数的一半.

（）同弧或等弧所对的圆周角，同圆或等圆中相等的圆周角所对的

弧.

（）半圆（或直径）所对的圆周角是，°的圆周角所对的弦是.

五、圆内接四边形的性质

.圆内接四边形的对角互补.

.圆内接四边形的一个外角等于与其相邻内角的对角.（基础性

数学结论）

第讲与圆有关的位置关系

知识梳理

一、点与圆的位置关系

・点与圆的位置关系

点在圆，点在圆，点在圆.

・点与圆的位置关系的判断

如果圆的半径是，点到圆心的距离为，那么点在圆外Q；点在圆

上Q；点在圆内0.

・过三点的圆

()经过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不

在同一直线上的三点，有且只有一个圆.

()三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外

接圆的圆心叫做三角形的；这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

二、直线与圆的位置关系

.直线与圆的位置关系

.概念

()直线与圆有两个交点，这时我们就说这条直线与圆，这条直线叫

做圆的；()直线与圆有唯一公共点，这时我们说这条直线与圆，这条

直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；()直线与圆没有公共点，这时

我们说这条直线与圆.

・直线与圆的位置关系的判断

如果圆的半径是，直线到圆心的距离为，那么直线与。相交Q；

直线与。相切今；直线与。相离0.

三、切线的判定与性质

.切线的判定方法

()经过半径的并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

()到圆心的距离半径的直线是圆的切线.

.切线的性质

圆的切线垂直于经过的半径.

.切线长定理

过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与

圆心的连线平分这两条切线的夹角.

四、三角形的内切圆

.与三角形内切圆有关的一些概念

()与三角形各边都的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三

角形的，这个三角形叫做圆的三角形；

.三角形的内心的性质

三角形的内心是三角形三条的交点，它到三边的距离相等，且在

三角形内部.

第讲圆的有关计算

知识梳理

一、弧长、扇形面积的计算

.如果弧长为，圆心角的度数为。，圆的半径为，那么弧长的计

算公式为=.

.由组成圆心角的两条半径与圆心角所对弧围成的图形叫做扇

形.若扇形的圆心角为°,所在圆半径为，弧长为，面积为，则=或

=;扇形的周长=+.

二、圆柱与圆锥

.圆柱的侧面展开图是，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的，宽

等于圆柱的.如果圆柱的底面半径是，则侧=兀，全=兀+兀.

.圆锥的轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形.圆锥的

侧面展开图是一个，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的，扇形的半径等

于圆锥的.因此圆锥的侧面积：侧=•兀=兀(为母线长，为底面圆半径)；

圆锥的全面积：全=侧+底=兀+兀.

三、正多边形与圆

・正多边形：各边、各角的多边形叫做正多边形.

.多边形的外接圆：经过多边形的圆叫做多边形的外接圆，这个

多边形叫做圆的内接