2025年春新北师大版数学七年级下册全册课件

新北师大版数学七年级下册全册教学课件2025年春季新版教材第一章整式的乘除1幂的乘除北师大版-数学-七年级下册第1课时同底数幂的乘法学习目标1.经历探究同底数幂乘法运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力。【难点】2.了解同底数幂乘法的运算性质,运用性质熟练进行计算,并能解决一些实际问题。【重点】3.在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心。新课导入光在真空中的速度大约是3×108m/s，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年。一年以3×107秒计算，比邻星与地球的距离约为多少？解：根据距离=速度×时间，可得比邻星与地球的距离约为：3×108×3×107×4.22=37.98×（108×107）(m)。108×107等于多少呢？新知探究知识点

同底数幂的乘法法则1108×107=（10×10×···×10）×（10×10×···×10）（乘方的意义）7个108个10=10×10×···×1015个10

=1015（乘方的意义）(乘法的结合律)探究1：108×107如何计算呢？尝试•交流am·an等于什么(m,n都是正整数)？为什么？新知探究am·an(

个a)·(a·a·…·a)(

个a)=(a·a·…·a)(

个a)=a()

(乘方的意义)(乘法的结合律)(乘方的意义)mn

m+nm+n=(a·a·…·a)新知探究归纳总结同底数幂的乘法法则：am·an=am+n

(m，n都是正整数)。同底数幂相乘,底数

，指数

。不变相加结果：①底数不变②指数相加应用条件：①乘法

②底数相同在本章中,如果没有特别说明，幂的指数中的字母都是正整数。新知探究思考•交流am

·an

·ap等于什么？为什么？am·an·ap=(am·an)·ap=am+n·ap=am+n+p；am·an·ap=am·(an·ap)=am·an+p=am+n+p；am·an·ap=（a·…·a）·（a·…·a）·（a·…·a）m个an个ap个a=am+n+p新知探究典型例题例1

计算：（1）102×103；（2）10m×10n（m，n都是正整数）解：（1）102×103=102+3=105。(2)10m×10n=10m+n。新知探究

（4）105×（-10）8。

幂的底数必须相同，相乘时指数才能相加新知探究针对练习

解：（1）-3

典型例题新知探究例2

计算：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3·(2a＋b)n－4；(2)(x－y)2·(y－x)5。解：(1)原式＝(2a＋b)(2n＋1)＋3＋(n－4)

＝(2a＋b)3n。(2)原式＝－(x－y)2·(x－y)5＝－(x－y)7。提示：将底数看成一个整体进行计算归纳总结底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算。

针对练习新知探究1.

(－x)3·(－x)2·(－x)＝________,(x－y)2·(x－y)4＝________。2.

计算：(a－b)3·(b－a)·(a－b)5＝___________。x6(x－y)6－(a－b)9典型例题新知探究

归纳总结同底数幂的乘法法则可以逆用，即am+n=am·an。知识点

同底数幂的乘法法则的逆用2154新知探究典型例题例4

光在真空中的速度约为3×108m/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102m/s。地球距离太阳大约有多远？解：3×108×5×102

=15×1010=1.5×1011(m)。因此，地球距离太阳大约有1.5×1011m。知识点

同底数幂的乘法法则的实际应用3课堂小结同底数幂的乘法法则am·an=am+n(m，n都是正整数)am·an·ap=am+n+p(m，n，p都是正整数)同底数幂相乘，底数不变，指数相加注意底数相同时底数不相同时直接应用法则先变成同底数，再应用法则

课堂训练1.计算：(1)52×57;

(2)7×73×72;

(3)－x2·x3;

(4)(－c)3·(－c)m。

59

76－x5(－c)3+m课堂训练2.

判断。(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)x3·x5=x15

(

)(2)x·x3=x3

(

)(3)x3+x5=x8

(

)(4)x2·x2=2x4

(

)(5)(－x)2·(－x)3=(－x)5=－x5

(

)(6)a3·a2－a2·a3=0

(

)(7)a3·b5=(ab)8

(

)(8)y7+y7=y14

(

)××××××√√第一章整式的乘除1幂的乘除第2课时幂的乘方北师大版-数学-七年级下册学习目标1.理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义。【重点】2.掌握幂的乘方法则的推导过程并能灵活应用。【难点】新课导入

地球、木星、太阳可以近似地看作球体。木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的_______倍和_______倍。103(102)3

新课导入你知道(102)3

等于多少吗？幂的意义同底数幂的乘法法则=102×3思考：(am)n

=?其中m,n都是正整数。(102)3

=102×102×102

根据(

)=102+2+2根据(

)=106新知探究1知识点

幂的乘方法则提出问题：计算下列各式，并说明理由。(1)(62

)4；

(2)(a2

)3；

(3)(am

)2。

(3)(am

)2

＝am

·am＝am+m＝a2m。解：(1)(62

)4

＝62×62×62×62

＝62+2+2+2

＝68

＝62×4。(2)(a2

)3

＝a2

·a2

·a2＝a2+2+2＝a6＝a2×3。新知探究尝试•思考如果m，n正整数，（am）n=?乘方的意义同底数幂的乘法法则乘法的意义=am+m+…+mn个m=amnn个am（am）n=

am

·am

·…·am

·am新知探究归纳总结注意：1.“底数不变”是指幂的底数a不变，“指数相乘”是指幂的指数m与乘方的指数n相乘。2.底数可以是具体的数，也可以是代数式。幂的乘方法则：(am)n

=amn

(m，n

都是正整数)。幂的乘方，底数

，指数

。不变相乘新知探究典型例题计算：(1)

(102)3；

(2)(b5)5；

例1

解：(1)(102)3=102×3=106。(2)(b5)5=b5×5=b25。(3)[(x－2y)3]4=(x－2y)3×4=(x－2y)12。(3)[(x－2y)3]4；新知探究(4)－(x2)m；

(5)(y2)3·y；

(4)－(x2)m=－x2×m=－x2m。(5)(y2)3·y=y2×3·y=y6·y=y7。(6)2(a2)6–(a3)4=2a2×6－a3×4=2a12–a12=a12。(6)2(a2)6－(a3)4。新知探究针对练习

解：（1）(103)3=109。

（3）(x3)4·x2=x12·x2=x14。新知探究2.判断下面计算是否正确？如果有错误请改正：(1)(x5)5=x10；

（

）(2)a6·a4=a24；

（

）

(3)m6+m4=m10；

（

）

(4)2y6+y6=3y

12。

（

）

××××改正：(x5)5=x25。改正：a6·a4=a10。改正：无法计算。改正：2y6+y

6=3y6。新知探究想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同

点和不同点？同底数幂相乘am·an=am+n指数相加幂的乘方

指数相乘底数不变新知探究2知识点

幂的乘方法则的逆用典型例题例2

比较340与430的大小。解：因为340＝(34)10，430＝(43)10，且34＝81，43＝64，81＞61，所以(34)10＞(43)10，即340＞430。新知探究针对练习1.已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值：(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n。（3）103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108。解：（1）103m＝(10m)3＝33＝27。（2）102n＝(10n)2＝22＝4。新知探究2.已知2x＋5y－3＝0，求4x

·32y

的值。解：因为2x＋5y－3＝0，所以2x＋5y＝3，所以4x

·32y＝(22)x

·(25)y

＝22x

·25y＝22x＋5y＝23＝8。课堂小结幂的乘方（am）n=amn(m，n都是正整数）注意法则幂的乘方:底数不变，指数相乘幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：(am)n=amn；am﹒an=am+n幂的乘方法则的逆用：amn=(am)n=(an)m(m，n都是正整数）课堂训练1．判断题，错误的予以改正。(1)a4＋a4＝2a8；()(2)(x3)3＝x6；()(3)(－4)2×(－4)4＝(－4)6＝－46；()(4)[(m－n)4]3－[(m－n)6]2＝0。()×××√改正：a4＋a4＝2a4。改正：(x3)3＝x9。改正：原式＝46。52．若(x2)m＝x10，则m＝

。课堂训练3.计算：(1)(103)3；

(2)(x3)4·

x2；(3)–(x2)3；

(4)x·x4

–x2·x3。

（4）x·x4–x2·x3＝x5–x5=0。解：a3m+2n＝a3m·a2n＝(am)3·(an)2＝23×52＝200。4．若am＝2，an＝5，求a3m+2n的值。解：（1）(103)3＝109。（2）

(x3)4·

x2＝

x12·

x2＝x14。（3）–(x2)3＝–x6。第一章整式的乘除1幂的乘除第3课时积的乘方北师大版-数学-七年级下册学习目标1.经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。【难点】2.了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。【重点】新课导入地球可以近似地看成是球体，地球的半径约为6×103千米，它的体积大约是多少立方千米?

那么，(6×103)3=？新知探究知识点

积的乘方法则1(2)(3×5)m；

＝尝试•思考根据乘方的意义，试做下列各题：(1)(3×5)4；(3×5)4＝(3×5)(3×5)(3×5)(3×5)

＝3×3×3×3×5×5×5×5

＝34×54。(3×5)m＝(3×5)(3×5)…(3×5)m个（3×5）＝3m×5m。新知探究(3)(ab)n。＝anbn。(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)n个(ab)＝(a·a·…·a)(b·b·…·b)n个an个b(乘方的意义)(乘法的交换律

和结合律)(乘方的意义)新知探究[延伸]

三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质?怎样用公式表示?(abc)n=an·bn·cn归纳总结积的乘方的运算法则：(ab)n=anbn

(n是正整数)。积的乘方等于

。把积中各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘新知探究运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是系数不要漏乘方。典型例题例1

计算：(1)(2a2)3·a4＝

；(2)(x2y)3＝

；(4)－(－3a3)2·(a2)3＝

；(5)(－2a3b3)2＋(－2a2b2)3＝

。8a10x6y3

－9a12－4a6b6

新知探究

针对练习解：原式＝(－1)2x2my6m

＝x2my6m。解：原式＝(－5)3a3b3

＝－125a3b3。解：原式＝－32x4y2

＝－9x4y2。

新知探究涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，然后算加减，最后合并同类项。例2

典型例题计算：(1)(－2a2)3·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3；(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3。解：原式＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9

＝－8a9＋16a9－125a9

＝－117a9。解：原式＝a6b12－a6b12＝0。新知探究对公式an·bn＝(ab)n要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形转化为公式的形式，运用此公式可进行简便运算。知识点

积的乘方法则的逆用2典型例题

新知探究

针对练习解：(ab)2x＝a2xb2x＝(ax)2·(bx)2＝42×52＝400。

课堂小结积的乘方积的乘方等于把积中各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘(ab)n=anbn

(n是正整数)反向运用法则an·bn=

(ab)n课堂训练1.计算(-x2y)2的结果是（

）A．x4y2

B．-x4y2C．x2y2

D．-x2y22.计算(-x2)3的结果是（

）A.-x5

B.x5

C.-x6

D.x63.下列四个算式中：①（a3）3=a3+3=a6；②［（b2）2］2=b2×2×2=b8；③［（-x）3］4=（-x）12=x12；④（-y2）5=y10，正确的算式有（

）A.0个

B.1个

C.2个

D.3个ACC课堂训练

解：因为a5＝(59)5＝545，b9＝(95)9＝945，所以4545＝(5×9)45＝545×945＝a5b9。第一章整式的乘除1幂的乘除第4课时同底数幂的除法北师大版-数学-七年级下册学习目标1.了解同底数幂的除法的运算性质，并能解决一些问题。【重点】2.理解并掌握科学记数法表示小于1的数的方法。【重点】3.能将用科学记数法表示的数还原为原数。【难点】新课导入

一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌。要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？1012÷109你知道怎么计算吗？新知探究知识点

同底数幂的除法法则1探究1：计算下列各式，并说明理由（m，n都是正整数，且m>n）。(1)108÷105;

(2)10m÷10n;

n个108个105个10(m-n)个10

m个10新知探究尝试•思考

am÷an=？am÷an=am-n。

m个an个a

m-n个a(m，n

都是正整数，m>n

)新知探究归纳总结同底数幂的除法法则：am

÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n）。同底数幂相除，底数

，指数

。不变相减新知探究解：原式＝(b－a)4÷(b－a)

＝(b－a)3。典型例题例1

计算：

(1)x6÷x2；

(2)(－3)7÷(－3)4；

(3)(－ab2)5÷(－ab2)2；

(4)(a－b)4÷(b－a)。解：原式＝x6－2＝x4。解：原式＝(－3)3＝－27。解：原式＝(－ab2)3

＝－a3b6。新知探究计算：(1)25÷23＝

；(2)a9÷a3÷a＝

；(3)(－xy)3÷(－xy)2÷(－xy)＝

；(4)(a－b)5÷(b－a)3＝

；(5)(－y2)3÷y6＝

；(6)am＋1÷am－1·(am)2＝

。针对练习4a51－(a－b)2－1a2m＋2新知探究

am-n

=am÷an已知：am

=8，an

=5。求：(1)am－n

的值；

(2)a3m－3n

的值。知识点

同底数幂的除法法则的逆用2典型例题例2

新知探究

知识点

零指数幂与负整数指数幂3探究2：填空：你有什么发现？能用符号表示你的发现吗？

33221100-1-1-2-2-3-3新知探究

思考•交流新知探究

任何

的数的零次幂都等于

；任何不等于零的数的-p(p是正整数)次幂，等于这个数的

。归纳总结

不等于零1p次幂的倒数新知探究

典型例题例3

用小数或分数表示下列各数：（1）10－3；

（2）70×8－2；

（3）1.6×10－4。

新知探究计算下列各式，你有什么发现？

归纳总结am·an=am+n

，am÷an=am-n(a≠0，m,n都是整数)新知探究典型例题

a＞c＞b针对练习

C1新知探究

科学记数法除了可以表示一些绝对值很大的数外，也可以很方便地表示一些绝对值较小的数。

知识点

用科学记数法表示绝对值不大1的数4一个小于1的正数可以表示为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是负整数。典型例题例5

（1）0.0001＝

＝

；

（2）0.000000001295＝

。1.295×10－9新知探究【方法总结】用科学记数法表示数时应注意：(1)1后面0的个数与10的n次方对应。如1000…0＝10n；(2)绝对值小于1的数1前0的个数与10的负n次方对应。如0.00…01＝10－n。n个0n个0n个0新知探究1.下列科学记数法表示正确的是(

)A．0.008＝8×10－2

B．0.0056＝5.6×10－2C．0.0036＝3.6×10－3

D．15000＝1.5×103

2.实验表明，人体内某细胞的形状可以近似地看成球状，并且它的直

径为0.00000156m，则这个数可用科学记数法表示为(

)A．0.15×10－5

m

B．0.156×105

mC．1.56×10－6

m

D．1.56×106

m3.一块900mm2的芯片上能集10亿个元件，每一个这样的元件约占多

少平方毫米？约占多少平方米？(用科学记数法表示)

解：9×10－7mm2;

9×10－13m2。针对练习CC新知探究解：(1)2×10－7＝0.0000002。(2)3.14×10－5＝0.0000314。(3)7.08×10－3＝0.00708。(4)2.17×10－1＝0.217。典型例题例6用小数表示下列各数：(1)2×10－7；

(2)3.14×10－5；(3)7.08×10－3；

(4)2.17×10－1。把科学记数法表示的数还原成小数：在a前添n个0或把a的小数点向左移动|n|位新知探究

针对练习DD课堂小结零指数幂：a0＝1(a≠0)

运算性质同底数幂的除法am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n）同底数幂相除，底数不变，指数相减科学记数法表示小于1的数表示大于1的数a×10n（1≤|a|＜10，n是整数）课堂训练1.一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，0.0000065用科学记

数法表示为(

)A.6.5×10-5

B.6.5×10-6C.6.5×10-7

D.65×10-62.一种细菌半径是1.21×10-5米，用小数表示为

。3.下面的计算是否正确？如有错误，请改正：（1）a6÷a1

=a；

（2）b6÷b3

=b2；（3）a10÷a9

=a；

（4）(-bc)4÷(-bc)2

=-b2c2。

B0.0000121错误，应等于a6-1

=a5错误，应等于b6-3=b3正确错误，应等于(-bc)4-2=(-bc)2

=b2c2

课堂训练

第一章整式的乘除2整式的乘法第1课时单项式与单项式相乘北师大版-数学-七年级下册学习目标1.掌握单项式与单项式相乘的运算法则。【重点】2.能够灵活地进行单项式与单项式相乘的运算。【难点】新课导入若两张画纸的大小相同，请列式计算两幅画的面积。

这是什么运算？新知探究知识点

单项式与单项式相乘1上述计算过程运用了哪些运算律及运算性质？乘法的交换律、结合律，同底数幂的乘法新知探究xyz·y2z=x·(y·y2)·(z·z)

=xy3z2。

操作•交流怎样计算xyz·y2z？3a2b·2ab3呢？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？3a2b·2ab3=（3×2）·(a2·a)·(b·b3)

=6a2+1b1+3

=6a3b4。根据（乘法交换律、结合律）根据（

同底数幂的乘法）根据(乘法交换律、结合律）根据

(同底数幂的乘法）新知探究拓展：单项式乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用。归纳总结单项式与单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。新知探究[方法总结](1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意按顺序运算；(3)不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相乘仍然成立。典型例题例1

计算：(1)(－3.5x2y2)·(0.6xy4z)；(2)(－2ab3)2·(－a2b)。解：(1)原式＝(－3.5×0.6)(x2·x)(y2·y4)·z＝－2.1x3y6z。(2)原式＝4a2b6·(－a2b)＝－4(a2·a2)·(b6·b)＝－4a4b7。思考：单项式乘单项式的结果是

。单项式新知探究

针对练习

新知探究

×√××3a3·2a2=6a53x2·4x2=12x45y3·3y5=15y8－2x4y6新知探究

知识点

单项式与单项式相乘的实际应用2典型例题

新知探究若长方形的宽是a×103

cm，长是宽的2倍，则长方形的面积为

cm2。针对练习2a2×106宽——a×103

cm长是宽的2倍——2a×103cm面积——a×103×2a×103cm2课堂小结单项式与单项式相乘转化为同底数幂的运算注意实质(1)不要出现漏乘现象；

(2)有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘。单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.法则课堂训练

－7BA课堂训练

课堂训练5.一家住房的结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？解：依题意，得2x·4y＋x·2y＋x·y＝8xy＋2xy＋xy＝11xy(平方米)。答：至少需要11xy平方米的地砖。第一章整式的乘除2整式的乘法第2课时多项式的乘法北师大版-数学-七年级下册学习目标1.能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相乘的法则。2.掌握单项式与多项式相乘的法则并会运用。【重难点】3.经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算。【重难点】4.进一步体会乘法分配律的作用和转化的思想，发展有条理地思考和语言表达能力。新课导入

新知探究知识点

单项式与多项式相乘1操作•交流ab·(abc+2x)及c2·(m+n-p)等于什么?你是怎样计算的?ab·(abc+2x)

=ab·abc+ab·2x

根据（

）=a2b2c+2xab

根据（

）

c2·(m+n-p)=乘法分配律单项式乘单项式c2·m+c2n-c2·p=c2m+c2n-c2p新知探究归纳总结单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。a(m+n)=注意：（1）依据是乘法分配律；（2）结果的项数与原多项式的项数相同。anam+新知探究典型例题例1

计算：

[方法总结]单项式乘多项式，单项式要乘多项式的每一项；注意符号变化和运算顺序。新知探究针对练习

新知探究典型例题

新知探究（2）如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？

新知探究针对练习1.一个长方体的长、宽、高分别是3x－4，2x和x，则它的表

面积是

。2.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为2ab和(a＋b)，

则这个三角形的面积是

。3.先化简，再求值：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中

a＝2。

解：原式＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2

＝－28a2＋15a，

当a＝2时，原式＝－82。22x2－24xa2b＋ab2新知探究知识点

多项式与多项式相乘2探究：某地区在退耕还林期间，将一块长为m

、宽为a

的长方形林区的长、宽分别增加n

和b

，用两种方法表示这块林区现在的面积。解：由图可知林区面积可表示为(a＋b)(m＋n)，也可以表示成ma＋mb＋na＋nb，由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb。新知探究如何计算(a+b)(m＋n)？(a+b)(m＋n)=11223344bnam+an+bm+新知探究归纳总结多项式与多项式的乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。特别解读：1.法则的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式相乘的和的形式。2.多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积。3.计算结果一定要注意合并同类项。新知探究典型例题例3

计算：(1)(3x＋2)(x＋2)；

(2)(4y－1)(5－y)。解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4。(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5。

新知探究典型例题例4

先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1。解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2。当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21。新知探究典型例题例5

千年古镇杨家滩的某小区的内部有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形空地，物业部门计划将空地进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积。新知探究解：由题意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝（5a2＋3ab)(平方米)。当a＝3，b＝2时，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63(平方米)。故绿化的面积是63平方米。课堂小结单项式乘多项式1.注意运算顺序和每一项的符号2.不要漏乘3.结果应仍是多项式，且项数与计算前相同乘法分配律依据注意法则a(m+n)=am+an多项式乘多项式1.注意运算顺序和每一项的符号2.不要漏乘3.结果中的同类项要合并(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn注意法则课堂训练1.下列说法不正确的是（

）A.两个单项式的积仍是单项式B.两个单项式的积的次数等于它们的次数之和C.单项式乘多项式，积的项数与多项式项数相同D.多项式乘多项式，合并同类项前，积的项数等于两个多项式的项

数之和2.下列多项式相乘的结果是a2-a-6的是（

）A.(a-2)(a+3)

B.(a+2)(a-3)C.(a-6)(a+1)

D.(a+6)(a-1)D

B课堂训练3.计算：(1)(3x＋4)(2x－1)；解：原式＝6x2＋5x－4。(2)

(2x－3y)(x＋5y)；解：原式＝2x2＋7xy－15y2。(3)(x＋7)(x－6)－(x－2)(x＋1)。解：原式＝x2－6x＋7x－42－(x2＋x－2x－2)

＝2x－40。课堂训练4.先化简，再求值3a(2a2

-4a+3)-2a2(3a+4)，其中a=-2。解：3a(2a2

-4a+3)-2a2(3a+4)=6a3

-12a2

+9a-6a3

-8a2=-20a2

+9a。当a=-2时，原式=-20×(－2)2

+9×(－2)=-98。课堂训练5.如图，在长为10，宽为6的长方形铁皮四角截去四个边

长为

x的正方形，再将四边沿虚线折起，制成一个无盖

的长方体盒子，求盒子的体积。解：(10－2x)(6－2x)x＝4x3－32x2＋60x。第一章整式的乘除3乘法公式第1课时平方差公式的认识北师大版-数学-七年级下册学习目标1.经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推论能力。2.会运用公式进行简单的乘法运算。【重点】新课导入计算下列各题，观察结果有什么特征：(x＋1)(x－1)

(n＋2)(n－2)

＝x2－x＋x－1

＝x2－1。

(x－2y)(x＋2y)

(x＋5y)(x－5y)

＝x2＋2xy－2xy－4y2

＝x2－4y2。结果都为两数的平方差。

＝n2－2n＋2n－4

＝n2－4。＝x2－5xy＋5xy－25y2＝x2－25y2。新知探究知识点

平方差公式探究：计算下列各题：(1)(x＋5)(x－5);

(2)(2y＋z)(2y－z)。解：(1)原式＝x2－5x＋5x－25＝x2－25。

(2)原式＝(2y)2－2yz＋2yz－z2＝4y2－z2。观察以上算式及运算结果，你发现了什么？答：以上各算式可看成两个数的和与两个数的差相乘，结果均为对应两数的平方差的形式。新知探究归纳总结平方差公式：

两数和与这两数差的积，等于它们的

。平方差新知探究填一填：完成下列表格：a1

a0.3xb

x

a

1

1

新知探究练一练：回答下列问题：

新知探究典型例题例1

利用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)。(4)原式＝(x2－4)(x2＋4)

＝x4－16。解：(1)原式＝(3x)2－52

＝9x2－25。(2)原式＝4a2－b2。(3)原式＝(－7m)2－(8n)2

＝49m2－64n2。新知探究[方法总结]应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)

左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全

相同，另一项互为相反数；(2)

右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。新知探究针对练习1.在计算下列各式时，可以用平方差公式的是(

)A．(x＋y)(x＋y)

B．(x－y)(y－x)C．(x－y)(－y＋x)

D．(x－y)(－x－y)

4x3－25x

－a＋bD课堂小结平方差公式紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用(a+b)(a-b)=a2-b2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差符号表示注意内容课堂训练

DD课堂训练

课堂训练

第一章整式的乘除3乘法公式第2课时平方差公式的运用北师大版-数学-七年级下册学习目标1.了解平方差公式的几何背景，发展几何直观，培养数形结合思想。【重点】2.会运用平方差公式进行数的简便运算和整式的混合运算。【难点】新课导入

新知探究知识点

平方差公式的几何意义1探究：如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。(1)请用含a，b的式子表示图1中

阴影部分的面积。a2-b2(2)小颖将阴影部分拼成了一个

长方形(如图2)，这个长方形

的长和宽分别是多少?你能

表示出它的面积吗?

长为a+b，宽为a-b，面积是(a+b)(a-b)新知探究(3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗?

由于(1)(2)表示的面积相同，

所以可以验证平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2。归纳总结

通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释。新知探究还有其他的几何方法解释吗？ab新知探究知识点

平方差公式的运用2典型例题例1

利用平方差公式计算：

通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算。(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)

＝132－0.22

＝169－0.04＝168.96。新知探究针对练习

D新知探究典型例题例2

先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2。解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2。当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15。新知探究针对练习

新知探究典型例题例3

王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈。今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了。你认为李大妈吃亏了吗？为什么？解：李大妈吃亏了。理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.因为a2＞a2－16，所以李大妈吃亏了。课堂小结平方差公式应用几何意义图形变形前后的面积相等化简求值简便计算实际情境课堂训练1.如图，在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方形(如图1)，

将剩余部分沿虚线剪开后拼接(如图2)，通过计算，用拼接前后两个

图形中阴影部分的面积可以验证等式(

)A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2D.(a-b)2=a2-2ab+b22.计算a2-(a+1)(a-1)的结果是(

)A.1

B.-1

C.2a2+1

D.2a2-1AA课堂训练3.简便计算：（1）403×397；

解：原式=(400+3)(400-3)

=4002-32

=159991。（2）(a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)。

解：原式=(a2-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)=(a4-1)(a4+1)(a8+1)=(a8-1)(a8+1)=a16-1。第一章整式的乘除3乘法公式第3课时完全平方公式的认识北师大版-数学-七年级下册学习目标1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。【重点】2.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。【难点】新课导入计算：(1)(x＋1)2；(2)(y－2)2。解：(1)原式＝(x＋1)(x＋1)＝x2＋x＋x＋1＝x2＋2x＋1。

(2)原式＝(y－2)(y－2)＝y2－2y－2y＋4＝y2－4y＋4。思考：由上述计算，你发现了什么结论？发现：原式是两数和(或差)的平方，结果是这两数平方和与它们2倍的和(或差)。新知探究知识点

完全平方公式1探究：计算(a＋b)2，(a－b)2，并归纳计算结果。解：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)

＝a2＋ab＋ab＋b2

＝a2＋2ab＋b2。(a－b)2＝(a－b)(a－b)

＝a2－ab－ab＋b2

＝a2－2ab＋b2。新知探究归纳总结完全平方公式：

两数和（或差）的平方，等于

加上（或减去）两数积的

。两数的平方和2倍简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”。新知探究你能用下图解释上面的公式吗?直接求：总面积=(a+b)2

间接求：总面积=a2+ab+ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2aabba²b²abab新知探究

a2-2b(a-b)-b2=a2-2ab+b2aabb(a-b)²b²b(a-b)b(a-b)直接求：蓝色正方形的面积=(a-b)2

间接求：蓝色正方形的面积=(a-b)2=a2-2ab+b2新知探究完全平方公式的特征：1.积为二次三项式；2.积中的两项为两数的平方；3.另一项是两数积的2倍，且与原式中间的符号相同；4.公式中的字母a，b

可以表示数、单项式和多项式。

新知探究典型例题例1

利用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2；

(4)(a＋b＋c)2。解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2。(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2。(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2。(4)原式＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2。注意：当公式中的两个数的系数绝对值不为1时，平方时不要漏掉系数的平方。新知探究思考：(a+b)2与(-a-b)2

相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?解：(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2。(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2。(a-b)2与a2-b2不一定相等，只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2。新知探究针对练习

×(x＋y)2

=x2＋2xy＋y2

(x－y)2

=x2－2xy＋y2(－x＋y)2

=x2－2xy＋y2(2x＋y)2

=4x2＋4xy＋y2×××新知探究典型例题例2

如果36x2＋mxy＋25y2是一个完全平方式，求m的值。解：因为36x2＋mxy＋25y2＝(6x)2＋mxy＋(5y)2，所以mxy＝±2·6x·5y，所以m＝±60，所以m＝60或－60。注意：完全平方式要分清是哪两数的平方和加上或减去它们积的2倍，已知完全平方式求中间系数中字母值时要考虑两种情况。新知探究针对练习

CD新知探究知识点

完全平方公式的几何意义2典型例题例3

我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab。那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此恒等式是(

)A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C课堂小结完全平方公式结果是三项，不要漏掉中间项(a±b)2=a2±2ab+b2两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍符号表示注意内容中间项的符号要正确图形变形前后阴影部分面积相等几何解释课堂训练1.若x＋y＝4，则x2＋2xy＋y2的值是(

)A．2

B．4

C．8

D．162.如图，从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a﹣1)cm的正方形(a＞1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是(

)A．2cm2

B．2acm2 C．4acm2 D．（a2﹣1）cm2DC课堂训练

3.若(3x－b)2＝ax2－12x＋4，则a，b的值分别为(

)A．3，2

B．9，2

C．3，－2

D．9，－2±2B第一章整式的乘除3乘法公式第4课时完全平方公式的运用北师大版-数学-七年级下册学习目标1.综合运用平方差公式和完全平方公式进行乘法运算。【重点】2.准确分辨并利用乘法公式进行运算。【难点】新课导入

有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们。来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖；来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖；来三个，就给每人三块糖；……

第一天，有a个男孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子____块糖；

第二天，有b个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子____块糖；

第三天，这(a+b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子_______块糖。

问：这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？孩子们前两天得到的糖果总和为：a2＋b2。

第三天得到的糖果数为：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。所以(a＋b)2－(a2＋b2)＝a2＋2ab＋b2－a2－b2＝2ab。a2b2(a＋b)2新知探究解：(1)原式＝(100－1)2

＝1002－2×100×1＋1＝9

801。

知识点

完全平方公式的运用1探究：怎样计算992，4012更简单呢？(1)992；

(2)4012。(2)原式＝(400＋1)2＝4002＋2×400×1＋1＝160

801。新知探究解：(1)原式＝(100＋2)2=10000＋400＋4=10404。典型例题例1

运用完全平方公式计算：(1)1022；

(2)1972。