2021北京高三(上)期中数学汇编：指数函数、对数函数与幂函数

1/12021北京高三（上）期中数学汇编指数函数、对数函数与幂函数一、单选题1．（2021·北京四中高三期中）对于定义在R上的函数，若存在非零实数，使在和上均有零点，则称为的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（

）A． B．C． D．2．（2021·北京·新农村中学高三期中）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量，地震释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，已知两次地震的里氏震级分别为级和级，若它们释放的能量分别为和，则的值所在的区间为（

）（参考数据：，）A． B． C． D．3．（2021·北京市第三十五中学高三期中）下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在上单调递减的是（

）A． B．C． D．4．（2021·北京四中高三期中）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（

）A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度5．（2021·北京一七一中高三期中）基本再生数与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型；描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（

）A．3.5天 B．2.6天 C．1.8天 D．1.2天6．（2021·北京市房山区良乡中学高三期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．7．（2021·北京市第五中学通州校区高三期中）下列函数中，是偶函数且值域为的是（

）．A． B．C． D．8．（2021·北京朝阳·高三期中）已知函数若存在，使函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2021·北京十五中高三期中）下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间内有零点的函数是（

）A． B． C． D．10．（2021·北京十四中高三期中）函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与曲线关于轴对称，则（

）A． B． C． D．11．（2021·北京市房山区良乡中学高三期中）函数的定义域为（

）A． B． C． D．12．（2021·北京市第五中学通州校区高三期中）函数的图象与函数的图象的交点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．313．（2021·北京市丰台区新北赋学校高三期中）设x，y是实数，则“，且”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件14．（2021·北京市第四十三中学高三期中）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（

）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）15．（2021·北京十四中高三期中）渔民出海打鱼，为了保证运回的鱼的新鲜度（以鱼肉内的主甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏．已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t（分）满足的函数关系式为若出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（

）参考数据:A．33分钟 B．43分钟 C．50分钟 D．56分钟16．（2021·北京一七一中高三期中）若函数则函数的值域是（

）A． B． C． D．17．（2021·北京市第三中学高三期中）已知，，，则实数，，的大小关系是A． B． C． D．18．（2021·北京市房山区良乡中学高三期中）函数的零点一定位于区间A．（1,2） B．（2,3） C．（3,4） D．（4,5）19．（2021·北京市丰台区新北赋学校高三期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为A． B． C． D．二、填空题20．（2021·北京四中高三期中）函数的定义域是_________.21．（2021·北京·新农村中学高三期中）设函数，则满足的的取值范围是___________.22．（2021·北京市第十三中学高三期中）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量(单位：焦耳)与地震里氏震级之间的关系为.已知两次地震的里氏震级分别为级和级，若它们释放的能量分别为和，则_____________.23．（2021·北京市第三中学高三期中）已知函数，若，则的取值范围是__________．24．（2021·北京海淀·高三期中）已知函数，则函数的零点个数为__________.25．（2021·北京·首都师范大学附属中学高三期中）已知函数则________；的值域为_______．26．（2021·北京通州·高三期中）已知，若，则______．27．（2021·北京朝阳·高三期中）函数的定义域为________28．（2021·北京市第十三中学高三期中）已知，若同时满足条件：①或；②.则m的取值范围是________________.三、双空题29．（2021·北京市第四十三中学高三期中）已知函数则_______；的最小值为____．

参考答案1．B【分析】根据函数存在“折点”的条件，对每一选项逐一判断即可.【详解】对于A选项，，所以没有零点，从而没有“折点”，故A不符合题意；对于B选项，当时，，因为单调递增，所以在上有零点，又因为是偶函数，所以在上有零点，从而存在“折点”，故B符合题意；对于C选项，因为，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得极大值，在处取得极小值，而，所以在上只有一个零点，所以C不符合题意；对于D选项，因为，令解得，只有一个零点，故D选项不符合题意；故选：B2．B【分析】利用对数的运算可求得结果.【详解】由题意可得，两式作差得，所以，，因为，则，故.故选：B.3．C【分析】根据函数定义域，单调性及奇偶性的定义直接判断.【详解】对于A选项，函数是定义域为的偶函数，且函数在上单调递增，A选项错误；对于B选项，函数是定义域为的非奇非偶函数，B选项错误；对于C选项，函数是定义域为上的偶函数，且函数在上单调递减，C选项正确；对于D选项：函数是定义域为的非奇非偶函数；故选：C.4．C【分析】根据已知条件，结合平移“左加右减”准则，即可求解．【详解】要得到函数的图象，则只需要把函数的图象向左平移个单位长度，即可.故选：C．5．C【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.【详解】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：C.6．A【分析】根据对数函数的单调性及指数函数值可得结论．【详解】,，，所以．故选：．7．D【分析】分别判断每个选项函数的奇偶性和值域即可.【详解】对A，，即值域为，故A错误；对B，的定义域为，定义域不关于原点对称，不是偶函数，故B错误；对C，的定义域为，定义域不关于原点对称，不是偶函数，故C错误；对D，的定义域为，，故是偶函数，且，即值域为，故D正确.故选：D.8．C【分析】画出函数图象，题目等价于存在，使得与恰有三个交点，数形结合即可求解.【详解】画出的函数图象如下，当时，的图象为向上或向下平移个单位得到，存在，使函数恰有三个零点等价于存在，使得与恰有三个交点，观察图形可得，当时，与恰有三个交点，满足题意，当时，要存在，使与恰有三个交点，需满足，即，综上，实数的取值范围是.故选：C.9．B【分析】由题可判断函数的单调性，再结合零点存在定理即得.【详解】对于A，为减函数，故A错误；对于B，为增函数，且时，，时，函数在区间内有零点，故B正确；对于C，，在上单调递减，在上单调递增，故C错误；对于D，为增函数，时，，时，函数在区间内没有零点，故D错误.故选：B10．C【分析】根据函数图象变换关系，利用逆推法进行求解即可．【详解】解：关于轴对称的函数为，即，然后向左平移一个单位得到，得，即，故选：C．11．A【分析】由函数有意义，得到，即可求得函数的定义域.【详解】解：由题意，函数有意义，则满足，即，解得，所以函数的定义域为.故选：A.12．C【分析】作出函数图像,数形结合即可得答案.【详解】解：由于函数图像是由函数图像向左平移个单位得到，进而函数在定义域内单调递增，且过定点，渐近线为，函数，故函数对称轴为，顶点坐标为，开口向上，所以作出的图像如图，故图像有两个交点.故选：C【点睛】本题考查对数函数的图像，考查数形结合思想，解题的关键在于根据函数性质作出函数图像，是基础题.13．A【解析】首先判断“，且”能否推出“；再判断能否推出“，且”，利用充分条件和必要条件的定义即可判断.【详解】若“，且”,则，，所以“，且”是“充分条件；若，则，可得，但得不出“，且”，如，可得，所以得不出“，且”，所以“，且”是“充分不必要条件；故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键是要熟悉充分条件和必要条件的定义，能正确判断条件能否推出结论，结论能否推出条件.14．C【解析】判断函数的单调性，以及（2），（3）函数值的符号，利用零点存在性定理判断即可．【详解】函数，是增函数且为连续函数，又（2），（3），可得所以函数包含零点的区间是．故选：．【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.15．A【分析】由题意可得：，可得的解析式，再令，利用对数的运算性质求解可得答案.【详解】解：由题意可得：，解得，故：令，可得，两边同时去对数，故分钟，故选：A【点睛】本题主要考查指数型函数模型的实际应用，考查学生数学建模的能力与计算能力，属于中档题.16．A【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可求出答案.【详解】当时，单调递增，，当时，单调递减，，所以函数的值域是：故选：A【点睛】本题主要考查分段函数求值域，求出每段函数的值域，再求并集即可，属于基础题.17．B【分析】根据对数函数和指数函数的单调性容易得出，从而可得出，，的大小关系．【详解】解：，，，．故选：．【点睛】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．18．B【详解】试题分析：因为，，所以，根据根的存在性定理可知，函数的零点在区间内.考点：零点存在性定理.19．D【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．20．.【分析】根据函数的解析式列出不等式组，进而解出答案即可.【详解】由题意，.故答案为：.21．【分析】分、和三种情况解不等式即可求解.【详解】当即时，即，可得，此时无解，当即时，即，所以，令，则在上单调递增，，所以恒成立，所以符合题意，当即时，即恒成立，所以符合题意，综上所述：满足不等式的的取值范围是，故答案为：.22．##【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【详解】，∴，，∴，，∴，故答案为：23．【分析】画出函数图象，可得，，再根据基本不等式可求出.【详解】画出的函数图象如图，不妨设，因为，则由图可得，，可得，即，又，当且仅当取等号，因为，所以等号不成立，所以解得，即的取值范围是.故答案为：.24．2【分析】根据给定条件直接解方程即可得函数的零点个数.【详解】解方程，当时，，而，于是得，即，当时，，解得，所以函数的零点个数为2.故答案为：225．

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【分析】第一空直接代入即可；第二空需分情况讨论（1）求当时的值域，（2）求当时的值域，最后取两值域的并集即可．【详解】解：；当时，，当时，，所以的值域为故答案为：1；．26．【解析】先由指数式化为对数式可得，，再利用即可求的值.【详解】由，可得：，，所以，则，故答案为：27．【解析】保证真数大于零即可.【详解】故故定义域为：故答案为：28．【详解】根据可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在是必须是，当m=0时，不能做到f(x)在时，所以舍掉，因此，f(x)作为