2024-2025学年新教材高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法第2课时函数的表示法学案含解析新人教B版必修第一册

PAGE第2课时函数的表示法课程标准学法解读1．函数的表示方法．(理解)2．函数图像的作用．(理解)函数的三种表示法体现了“式”“表”“图”的不同形态，特殊是“式”与“图”的结合，体现了数形结合思想，学习过程中留意把它们相互结合，特殊要留意加强“式”与“图”的相互转化，从不同的侧面相识函数的本质.必备学问·探新知基础学问1．函数的表示方法__解析法__用数学表达式表示两个变量之间的对应关系__图像法__用图像表示两个变量之间的对应关系__列表法__列出表格来表示两个变量之间的对应关系思索：函数的三种表示方法各自有哪些优缺点？提示：方法优点缺点列表法不须要计算就可以干脆看出与自变量的值相对应的函数值只能表示自变量可以一一列出的函数关系图像法能形象直观地表示出函数的改变状况只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系，从“数”的方面揭示了函数关系；二是可以通过解析式求出随意一个自变量的值所对应的函数值不够形象、直观、详细，而且并不是全部的函数都能用解析法表示出来基础自测1．已知函数f(x)由下表给出，则f[f(3)]＝__1__.x1234f(x)3241解析：由题设给出的表知f(3)＝4，则f[f(3)]＝f(4)＝1.2．若反比例函数f(x)满意f(3)＝－6，则f(x)的解析式为__f(x)＝－eq\f(18,x)__.3．函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域是__[－1,0)∪(0,2]__，值域是__[－1,1)__.4．已知函数f(x)的图像如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0,3)，(3,0)，则f[f(0)]＝__0__.解析：结合题图可得f(0)＝3，则[(f(0)]＝f(3)＝0.5．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是__f(x)＝3x＋2__.解析：法一：令2x＋1＝t，则x＝eq\f(t－1,2).所以f(t)＝6×eq\f(t－1,2)＋5＝3t＋2，所以f(x)＝3x＋2.法二：因为f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，所以f(x)＝3x＋2.关键实力·攻重难类型函数的表示方法┃┃典例剖析__■典例1某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试分别用列表法、图像法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与收款总额y(元)之间的函数关系．思路探究：函数的定义域是{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，值域易得，一一对应可干脆列表表示；其图像应是10个孤立的点；分析题意得到y与x之间的解析式，留意定义域．解析：(1)该函数关系用列表法表示为：x/台12345y/元3000600090001200015000x/台678910y/元1800021000240002700030000(2)该函数关系用图像法表示，如图所示．(3)该函数关系用解析法表示为y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．归纳提升：列表法能直观地表达函数的自变量和函数值之间的关系，图像法能形象、直观地表示出函数的改变状况，解析法简明、全面地概括了变量间的关系．┃┃对点训练__■1．某问答嬉戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分，试分别用列表法、图像法、解析法表示一个参加者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系．解析：(1)该函数关系用列表法表示为：x/道012345y/分50403020100(2)该函数关系用图像法表示，如图所示．(3)该函数关系用解析法表示为y＝50－10x(x∈{0,1,2,3,4,5})．类型函数图像及应用┃┃典例剖析__■典例2(1)某同学骑车上学，离开家不久，发觉作业本忘家里了，于是返回家找到作业再去上学，为了赶时间他快速行驶，如图中横轴表示动身后的时间，纵轴表示离学校的距离．则较符合该同学走法的图像是(D)(2)作出下列函数的图像，并指出其值域：①y＝－x＋1，x∈Z.②y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)．③y＝eq\f(2,x)(－2≤x≤1，且x≠0)．思路探究：(1)先依据t＝0时，确定d的值，再依据改变速度求得．(2)作函数图像，首先明确函数的定义域，其次明确函数图像的形态，体会定义域对图像的限制作用，处理好端点．解析：(1)坐标系中，横轴表示动身后的时间，纵轴表示离学校的距离．据此，将该同学上学的过程分为四个时间段：①第一时间段，该同学从家动身往学校行驶，随时间的增长，他到学校的距离越来越小，图像呈现减函数的趋势．②其次时间段，该同学在中途返回家里，随时间的增长，他到学校的距离越来越大，图像呈现增函数的趋势．③第三时间段，该同学停在家里找作业本，此时他到学校的距离不变，是一个常数，图像呈现水平的线段．④第四时间段，该同学从家动身，急速往学校行驶，随时间的增长，他到学校的距离越来越小，而且由于他行驶速度很快，故图像呈现“直线下降”的锐减趋势．由以上分析，可知符合题意的图像是D．(2)①定义域为Z，所以图像为离散的点．图像如图(1)所示，由图可知y＝－x＋1，x∈Z的值域为Z.②y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5(0≤x＜3)，定义域不是R，因此图像不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分．图像如图(2)所示．由图可知y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)的值域为[－5,3)．③用描点法可以作出函数的图像如图(3)所示．由图可知y＝eq\f(2,x)(－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．归纳提升：常见的函数图像的画法1．描点法描点法的一般步骤是：列表、描点、连线：列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的依次连接起来．2．变换作图法变换作图法常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等．┃┃对点训练__■2．函数y＝－eq\f(1,x＋1)的大致图像是(B)解析：∵x＋1≠0，∴x≠－1，y≠0，故选B．类型求函数的解析式1．待定系数法求函数解析式┃┃典例剖析__■典例3(1)已知f(x)是一次函数，且满意2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式．(2)已知f(x)为二次函数，且满意f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式．思路探究：已知函数分别为一次函数和二次函数，设出函数解析式求出参数即可．解析：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8＝2x＋21，所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5.(2)因为f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.又因为f(x－1)－f(x)＝4x，所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，所以f(x)＝－2x2－2x＋1.2．换元法(或配凑法)求函数解析式┃┃典例剖析__■典例4(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，则f(x)的解析式为__f(x)＝x2－1(x≥1)__.(2)已知函数f(x＋1)＝x2＋2x，则f(x)的解析式为(C)A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝x2＋2x－1C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x2＋2x＋1思路点拨：已知f[g(x)]求f(x)有两种思路：一是将g(x)视为一个整体，应用数学的整体化思想，换元求解；二是将函数解析式的右端凑成含g(x)的形式．解析：(1)方法一：(换元法)令t＝eq\r(x)＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二：(配凑法)f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＝x＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1.因为eq\r(x)＋1≥1，所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)方法一：(换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，即f(x)＝x2－1.方法二(配凑法)因为x2＋2x＝(x2＋2x＋1)－1＝(x＋1)2－1，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－1，即f(x)＝x2－1.3．方程组法求函数解析式典例5(1)已知函数f(x)满意f(x)＋2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x，则函数f(x)的解析式为__f(x)＝－eq\f(x,3)＋eq\f(2,3x)__.(2)已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，则函数f(x)的解析式为__f(x)＝eq\f(b,a－1)x，a≠±1__.思路点拨：(1)求函数f(x)的解析式，由已知条件知，必需消去feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))，不难想到再找寻一个方程，构成方程组，消去feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))得f(x)．(2)类似于(1)的思路，利用x与－x的关系，再列一个方程，通过方程组求解．解析：(1)在已知等式中，将x换成eq\f(1,x)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋2f(x)＝eq\f(1,x)，与已知方程联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＋2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋2fx＝\f(1,x)，))消去feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))，得f(x)＝－eq\f(x,3)＋eq\f(2,3x).(2)在原式中以－x替换x，得af(－x)＋f(x)＝－bx，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(afx＋f－x＝bx，,af－x＋fx＝－bx.))消去f(－x)，得f(x)＝eq\f(bx,a－1).故f(x)的解析式为f(x)＝eq\f(b,a－1)x，a≠±1.归纳提升：函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)，可用待定系数法．(2)换元法：已知函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要留意新元的取值范围．(3)解方程组法：已知f(x)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))、f(－x)之间的关系式，可依据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．┃┃对点训练__■3．已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f(2)＝3，f(1)＝3，则f(x)＝__x＋eq\f(2,x)__.解析：设f(x)＝k1x＋eq\f(k2,x)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝k1＋k2＝3，,f2＝2k1＋\f(k2,2)＝3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝1，,k2＝2，))所以f(x)＝x＋eq\f(2,x).4．(1)已知函数y＝f(x)满意feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2))＝x＋1.求f(x)的解析式．(2)已知f(x)是一次函数，且2f(x－1)＋f(x＋1)＝6x，求f(x)的解析式解析：(1)设t＝eq\f(1,x)－2，则x＝eq\f(1,t＋2)，所以f(t)＝eq\f(1,t＋2)＋1＝eq\f(t＋3,t＋2)，所以f(x)＝eq\f(x＋3,x＋2)(x≠－2)．(2)因为f(x)是一次函数，所以设f(x)＝kx＋b(k≠0)，由2f(x－1)＋f(x＋1)＝6x2[k(x－1)＋b]＋k(x＋1)＋b＝6x，即3kx－k＋3b＝6x，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3k＝6，,－k＋3b＝0，))所以k＝2，b＝eq\f(2,3)，即f(x)＝2x＋eq\f(2,3).课堂检测·固双基1．假如一次函数f(x)的图像过点(1,0)及点(0,1)，则f(3)＝(B)A．－3 B．－2C．2 D．3解析：设一次函数的解析式为f(x)＝kx＋b，其图像过点(1,0)、(0,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋b＝0,b＝1，))解得k＝－1，b＝1，所以f(x)＝－x＋