2024-2025学年新教材高中数学第十章复数10.2.1复数的加法与减法教师用书教案新人教B版必修第四册

PAGE1-10．2复数的运算10．2.1复数的加法与减法[课程目标]1.能利用复数的代数形式进行加法、减法运算；2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．学问点一复数的加法[填一填](1)复数的加法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1＋z2为z1与z2的和，并规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.(2)复数加法的交换律与结合律：对随意复数z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．[答一答]1．怎样应用复数的加法法则进行运算？提示：(1)复数加法法则规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加．很明显，两个复数的和仍旧是一个复数．复数的加法可以推广到多个复数相加的情形．(2)在这个规定中，当b＝d＝0时，与实数的加法法则一样．学问点二复数加法的几何意义[填一填]假如复数z1，z2所对应的向量分别为eq\o(OZ1,\s\up16(→))与eq\o(OZ2,\s\up16(→))，则当eq\o(OZ1,\s\up16(→))与eq\o(OZ2,\s\up16(→))不共线时，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则z1＋z2所对应的向量就是eq\o(OZ,\s\up16(→))，如图所示．由复数加法的几何意义可以得出||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|.学问点三复数的减法[填一填](1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的相反数记作－z，并规定－z＝－(a＋bi)＝－a－bi.复数z1减去z2的差记作z1－z2，并规定z1－z2＝z1＋(－z2)．(2)假如z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.[答一答]2．怎样应用复数的减法法则进行运算？提示：(1)两个复数相减，就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减．(2)两个复数的差仍是复数．(3)复数的减法运算法则可以推广到多个复数相减的情形，即若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，则z1－z2－…－zn＝(a1－a2－…－an)＋(b1－b2－…－bn)i(ai，bi∈R，i＝1,2,3，…，n)．学问点四复数减法的几何意义[填一填]假如复数z1，z2所对应的向量分别为eq\o(OZ1,\s\up16(→))与eq\o(OZ2,\s\up16(→))，设点Z满意eq\o(OZ,\s\up16(→))＝eq\o(Z2Z1,\s\up16(→))，则z1－z2所对应的向量就是eq\o(OZ,\s\up16(→))，如图所示．由复数减法的几何意义可以得出||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|.1．复数的加减运算．(1)若有括号，括号优先；若无括号，可从左到右依次进行；(2)算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加减．2．复平面内两点间距离公式的复数表示．复平面内两点间的距离公式d＝|z1－z2|.其中z1、z2是复平面内的两点Z1、Z2所对应的复数，d表示Z1和Z2之间的距离．类型一复数的加减运算[例1]计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R[分析]利用复数加减运算的法则计算．[解](1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i(a，b∈eq\a\vs4\al(复数加、减运算的方法技巧：,1复数的实部与实部相加、减，虚部与虚部相加、减；,2把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项.)[变式训练1](1)已知i是虚数单位，复数z＝(4＋i)＋(－3－2i)的虚部是(C)A．1 B.eq\r(2)C．－1 D．－i解析：z＝(4＋i)＋(－3－2i)＝(4－3)＋(1－2)i＝1－i.故复数z的虚部为－1.(2)已知复数z1＝7－6i，z2＝4－7i，则z1－z2＝(A)A．3＋i B．3－iC．11－13i D．3－13i解析：z1－z2＝(7－6i)－(4－7i)＝(7－4)＋[－6－(－7)]i＝3＋i.类型二复数加减运算的几何意义[例2]如图所示，已知平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)eq\o(AO,\s\up16(→))所表示的复数，eq\o(BC,\s\up16(→))所表示的复数；(2)对角线eq\o(CA,\s\up16(→))所表示的复数；(3)对角线eq\o(OB,\s\up16(→))所表示的复数及eq\o(OB,\s\up16(→))的长度．[分析]要求某个向量所对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等干脆给出所求的结论．[解](1)∵eq\o(AO,\s\up16(→))＝－eq\o(OA,\s\up16(→))，∴eq\o(AO,\s\up16(→))所表示的复数为－3－2i.∵eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AO,\s\up16(→))，∴eq\o(BC,\s\up16(→))所表示的复数为－3－2i.(2)∵eq\o(CA,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))，∴eq\o(CA,\s\up16(→))所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)∵对角线eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))，∴它所对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，∴|eq\o(OB,\s\up16(→))|＝eq\r(12＋62)＝eq\r(37).1.正确理解复数与向量的一一对应关系，可将复数问题转化为向量问题.2.求复数，可先求对应的向量，利用数形结合思想得出数量关系.[变式训练2]已知平行四边形的三个顶点分别对应复数2i,4－4i,2＋6i.求第四个顶点对应的复数．解：如图，设这个平行四边形已知的三个顶点分别为Z1，Z2，Z3，它们对应的复数分别是z1＝2i，z2＝4－4i，z3＝2＋6i，第四个顶点所对应的复数为z4，则①当这个平行四边形是以eq\o(Z1Z2,\s\up16(→))和eq\o(Z1Z3,\s\up16(→))为一组邻边时，有eq\o(Z1Z4,\s\up16(→))＝eq\o(Z1Z2,\s\up16(→))＋eq\o(Z1Z3,\s\up16(→))，∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，即z4＝(z2＋z3)－z1＝6.②当这个平行四边形是以eq\o(Z2Z1,\s\up16(→))和eq\o(Z2Z3,\s\up16(→))为一组邻边时，有eq\o(Z2Z4′,\s\up16(→))＝eq\o(Z2Z1,\s\up16(→))＋eq\o(Z2Z3,\s\up16(→)).∴z4－z2＝(z1－z2)＋(z3－z2)．∴z4＝(z1＋z3)－z2＝－2＋12i.③当这个平行四边形是以eq\o(Z3Z1,\s\up16(→))和eq\o(Z3Z2,\s\up16(→))为一组邻边时，有eq\o(Z3Z4″,\s\up16(→))＝eq\o(Z3Z1,\s\up16(→))＋eq\o(Z3Z2,\s\up16(→)).∴z4－z3＝(z1－z3)＋(z2－z3)．∴z4＝(z1＋z2)－z3＝2－8i.综上所述，这个平行四边形的第四个顶点对应的复数为6或－2＋12i或2－8i.类型三复数加减法的几何意义的应用[例3]已知复数z1＝2－2i.(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．[分析](1)|z|＝1的几何意义是什么？(到原点的距离等于1的点)(2)|z－z1|的几何意义是什么？(z对应的点Z与z1对应的点Z1间的距离)[解](1)由于z1＝2－2i，所以|z1|＝2eq\r(2).(2)如图，|z|＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1在坐标系中的对应点为Z1(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点Z1(2，－2)到圆上点的距离的最大值．由图可知，|z－z1|max＝2eq\r(2)＋1.[变式训练3]已知|z|＝2，求|z＋1＋eq\r(3)i|的最大值和最小值．解：方法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，∴|z＋1＋eq\r(3)i|表示圆上的点到点(－1，－eq\r(3))的距离．又∵点(－1，－eq\r(3))在圆x2＋y2＝4上，∴圆上的点到点(－1，－eq\r(3))的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z＋1＋eq\r(3)i|的最大值和最小值分别为4和0.方法二：由已知，得复数z的对应的点在复平面内，以原点为圆心，半径为2的圆上，设ω＝1＋eq\r(3)i＋z，所以z＝ω－1－eq\r(3)i.所以|z|＝|ω－(1＋eq\r(3)i)|＝2，所以复数ω对应的点在复平面内，以(1，eq\r(3))为圆心，半径为2的圆上，此时圆上的点A对应的复数ωA的模有最大值，圆上的点B对应的复数ωB的模有最小值，如图，故|1＋eq\r(3)i＋z|max＝4，|1＋eq\r(3)i＋z|min＝0.1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(B)A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i解析：z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.2．复数z＝(5＋2i)－(2－i)，则|z|＝(B)A．5 B．3eq\r(2)C．18 D．25解析：依题意z＝5－2＋(2＋1)i＝3＋3i，所以|z|＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2).故选B.3．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)．在复平面内，z1－z2对应的点在(B)A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限解析：∵z1＝1＋3i，z2＝3＋i，∴z1－z2＝－2＋2i，故z1－z2在复平面内对应的点(－2,2)在其次象限．4．如图，在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋eq\f(a,2)i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b的值为－4.解析：由复数加法的几何