2024-2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.2.2事件的相互独立性课时作业含解析新人教A版选修2-3

课时作业12事务的相互独立性时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共计35分)1．下列事务A、B是独立事务的是(A)A．一枚硬币掷两次，A＝{第一次为正面}，B＝{其次次为反面}B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝{第一次摸到白球}，B＝{其次次摸到白球}C．掷一枚骰子，A＝{出现点数为奇数}，B＝{出现点数为偶数}D．A＝{人能活到20岁}，B＝{人能活到50岁}解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事务；B中是不放回地摸球，明显A事务与B事务不相互独立；对于C，其结果不行能同时发生，A、B应为互斥事务；D是条件概率，事务B受事务A的影响．2．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则两粒种子都发芽的概率是(D)A．0.26 B．0.08C．0.18 D．0.72解析：两粒种子都发芽的概率是P＝0.8×0.9＝0.72.3．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为eq\f(2,5)和eq\f(3,5)，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为(C)A.eq\f(2,15) B.eq\f(2,5)C.eq\f(19,25) D.eq\f(8,15)解析：两户中至少有一户获得扶持资金的概率P＝eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(19,25).故选C.4．在某道路A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为(A)A.eq\f(35,192) B.eq\f(25,192)C.eq\f(35,576) D.eq\f(21,192)解析：从题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为eq\f(5,12)、eq\f(7,12)、eq\f(3,4).在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为eq\f(5,12)×eq\f(7,12)×eq\f(3,4)＝eq\f(35,192).5．从某地区的儿童中预选体操学员，已知这些儿童体型合格的概率为eq\f(1,5)，身体关节构造合格的概率为eq\f(1,4)，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(D)A.eq\f(13,20) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,5)解析：这两项都不合格的概率是(1－eq\f(1,5))(1－eq\f(1,4))＝eq\f(3,5)，所以至少有一项合格的概率是1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5).6．某居民小区有两个相互独立的平安防范系统A和B，系统A和系统B在随意时刻发生故障的概率分别为eq\f(1,8)和p.若在随意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为eq\f(9,40)，则p＝(B)A.eq\f(1,10) B.eq\f(2,15)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,5)解析：记“系统A发生故障”和“系统B发生故障”分别为事务A和B，“随意时刻恰有一个系统不发生故障”为事务C，则P(C)＝P(eq\x\to(A))P(B)＋P(A)P(eq\x\to(B))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8)))·p＋eq\f(1,8)(1－p)＝eq\f(9,40)，解得p＝eq\f(2,15)，故选B.7.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳动时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是(A)A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,9)C.eq\f(4,9) D.eq\f(8,27)解析：由题知逆时针跳一次的概率为eq\f(2,3)，顺时针跳一次的概率为eq\f(1,3).则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27).所以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3).二、填空题(每小题6分，共计18分)8．从甲袋中摸出一个红球的概率是eq\f(1,3)，从乙袋中摸出1个红球的概率是eq\f(1,2)，从两袋内各摸出1个球，则(1)2个球不都是红球的概率eq\f(5,6).(2)2个球都是红球的概率eq\f(1,6).(3)至少有1个红球的概率eq\f(2,3).(4)2个球中恰好有1个红球的概率eq\f(1,2).解析：(1)，(2)，(3)，(4)中的事务依次记为A，B，C，D，则P(A)＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,6)；P(B)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)；P(C)＝1－(1－eq\f(1,2))×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(2,3)；P(D)＝eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,2))＋(1－eq\f(1,3))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).9．某人有8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门．一天该人醉酒回家，每次从8把钥匙中随意拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是eq\f(49,512).解析：由已知每次打开家门的概率为eq\f(1,8)，则该人第三次打开家门的概率为(1－eq\f(1,8))(1－eq\f(1,8))×eq\f(1,8)＝eq\f(49,512).10．已知A，B，C为三个彼此相互独立的事务，若事务A发生的概率为eq\f(1,2)，事务B发生的概率为eq\f(2,3)，事务C发生的概率为eq\f(3,4)，则发生其中两个事务的概率为eq\f(11,24).解析：由题意可知，所求事务的概率P＝eq\f(1,2)×(1－eq\f(2,3))×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×(1－eq\f(3,4))×eq\f(2,3)＋(1－eq\f(1,2))×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,8)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,4)＝eq\f(11,24).三、解答题(共计27分)11．(12分)某大街在甲、乙、丙三个地方设有交通信号灯，汽车在甲、乙、丙三个地方通过(即通过绿灯)的概率分别是eq\f(1,3)、eq\f(1,2)、eq\f(2,3)，对于该大街上行驶的汽车，求：(1)在三个地方都不停车的概率；(2)在三个地方都停车的概率；(3)只在一个地方停车的概率．解：记汽车在甲地遇到绿灯为事务A，汽车在乙地遇到绿灯为事务B，汽车在丙地遇到绿灯为事务C，则P(A)＝eq\f(1,3)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(C))＝eq\f(1,3).(1)在三个地方都不停车的概率为P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9).(2)在三个地方都停车的概率为P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).(3)只在一个地方停车概率为P(eq\x\to(A)BC＋Aeq\x\to(B)C＋ABeq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A)BC)＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(ABeq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(B)P(C)＋P(A)·P(eq\x\to(B))P(C)＋P(A)P(B)P(eq\x\to(C))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(7,18).12．(15分)某省电视台实行歌颂大赛，大赛依次设初赛，复赛，决赛三个轮次的竞赛．已知某歌手通过初赛，复赛，决赛的概率分别为eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,4)，且各轮次通过与否相互独立．记该歌手参赛的轮次为ξ.(1)求ξ的分布列；(2)记“函数f(x)＝3sineq\f(x＋ξ,2)π(x∈R)是偶函数”为事务A，求A发生的概率．解：(1)ξ的可能取值为1,2,3.P(ξ＝1)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝2)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝3)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,2).ξ的分布列为ξ123Peq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,2)(2)因为f(x)＝3sineq\f(x＋ξ,2)π(x∈R)是偶函数，所以ξ＝1或ξ＝3.P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＝eq\f(1,4)＋eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(3,4).——素养提升——13.(5分)在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是eq\f(1,2)，且是相互独立的，则灯亮的概率是(B)A.eq\f(1,8) B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(7,8)解析：设开关a，b，c闭合的事务分别为A，B，C，则灯亮这一事务E＝ABC∪ABeq\x\to(C)∪Aeq\x\to(B)C，且A，B，C相互独立，ABC，ABeq\x\to(C)，Aeq\x\to(B)C互斥，所以P(E)＝P((ABC)∪(ABeq\x\to(C))∪(Aeq\x\to(B)C))＝P(ABC)＋P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(eq\x\to(C))＋P(A)P(eq\x\to(B))P(C)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2))＋eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2))×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).14．(15分)随机抽取某城市一年(365天)内100天的空气质量指数AQI的监测数据，结果统计如下：(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位：元)与空气质量指数AQI(记为ω)的关系式为S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0≤ω≤100，,4ω－400，100<ω≤300，,2000，ω>300，))试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；(2)若以上表统计的频率作为概率，求该城市某三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率．(假定这三天中空气质量互不影响)解：(1)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事务A，由200<S≤600，得150<ω≤250，频数为3