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文档简介
课时作业12事务的相互独立性时间:45分钟分值:100分一、选择题(每小题5分,共计35分)1.下列事务A、B是独立事务的是(A)A.一枚硬币掷两次,A={第一次为正面},B={其次次为反面}B.袋中有2白,2黑的小球,不放回地摸两球,A={第一次摸到白球},B={其次次摸到白球}C.掷一枚骰子,A={出现点数为奇数},B={出现点数为偶数}D.A={人能活到20岁},B={人能活到50岁}解析:把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A是独立事务;B中是不放回地摸球,明显A事务与B事务不相互独立;对于C,其结果不行能同时发生,A、B应为互斥事务;D是条件概率,事务B受事务A的影响.2.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.9,在两批种子中各取一粒,则两粒种子都发芽的概率是(D)A.0.26 B.0.08C.0.18 D.0.72解析:两粒种子都发芽的概率是P=0.8×0.9=0.72.3.某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”,若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为eq\f(2,5)和eq\f(3,5),两户是否获得扶持资金相互独立,则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为(C)A.eq\f(2,15) B.eq\f(2,5)C.eq\f(19,25) D.eq\f(8,15)解析:两户中至少有一户获得扶持资金的概率P=eq\f(2,5)×eq\f(2,5)+eq\f(3,5)×eq\f(3,5)+eq\f(2,5)×eq\f(3,5)=eq\f(19,25).故选C.4.在某道路A、B、C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这个道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为(A)A.eq\f(35,192) B.eq\f(25,192)C.eq\f(35,576) D.eq\f(21,192)解析:从题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为eq\f(5,12)、eq\f(7,12)、eq\f(3,4).在这个道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为eq\f(5,12)×eq\f(7,12)×eq\f(3,4)=eq\f(35,192).5.从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体型合格的概率为eq\f(1,5),身体关节构造合格的概率为eq\f(1,4),从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(D)A.eq\f(13,20) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,5)解析:这两项都不合格的概率是(1-eq\f(1,5))(1-eq\f(1,4))=eq\f(3,5),所以至少有一项合格的概率是1-eq\f(3,5)=eq\f(2,5).6.某居民小区有两个相互独立的平安防范系统A和B,系统A和系统B在随意时刻发生故障的概率分别为eq\f(1,8)和p.若在随意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为eq\f(9,40),则p=(B)A.eq\f(1,10) B.eq\f(2,15)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,5)解析:记“系统A发生故障”和“系统B发生故障”分别为事务A和B,“随意时刻恰有一个系统不发生故障”为事务C,则P(C)=P(eq\x\to(A))P(B)+P(A)P(eq\x\to(B))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,8)))·p+eq\f(1,8)(1-p)=eq\f(9,40),解得p=eq\f(2,15),故选B.7.荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳动时,均从一片荷叶跳到另一片荷叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A荷叶上,则跳三次之后停在A荷叶上的概率是(A)A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,9)C.eq\f(4,9) D.eq\f(8,27)解析:由题知逆时针跳一次的概率为eq\f(2,3),顺时针跳一次的概率为eq\f(1,3).则逆时针跳三次停在A上的概率为P1=eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)=eq\f(8,27),顺时针跳三次停在A上的概率为P2=eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)=eq\f(1,27).所以跳三次之后停在A上的概率为P=P1+P2=eq\f(8,27)+eq\f(1,27)=eq\f(1,3).二、填空题(每小题6分,共计18分)8.从甲袋中摸出一个红球的概率是eq\f(1,3),从乙袋中摸出1个红球的概率是eq\f(1,2),从两袋内各摸出1个球,则(1)2个球不都是红球的概率eq\f(5,6).(2)2个球都是红球的概率eq\f(1,6).(3)至少有1个红球的概率eq\f(2,3).(4)2个球中恰好有1个红球的概率eq\f(1,2).解析:(1),(2),(3),(4)中的事务依次记为A,B,C,D,则P(A)=1-eq\f(1,2)×eq\f(1,3)=eq\f(5,6);P(B)=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)=eq\f(1,6);P(C)=1-(1-eq\f(1,2))×(1-eq\f(1,3))=eq\f(2,3);P(D)=eq\f(1,3)×(1-eq\f(1,2))+(1-eq\f(1,3))×eq\f(1,2)=eq\f(1,2).9.某人有8把外形相同的钥匙,其中只有一把能打开家门.一天该人醉酒回家,每次从8把钥匙中随意拿一把开门,试用后又不加记号放回,则该人第三次打开家门的概率是eq\f(49,512).解析:由已知每次打开家门的概率为eq\f(1,8),则该人第三次打开家门的概率为(1-eq\f(1,8))(1-eq\f(1,8))×eq\f(1,8)=eq\f(49,512).10.已知A,B,C为三个彼此相互独立的事务,若事务A发生的概率为eq\f(1,2),事务B发生的概率为eq\f(2,3),事务C发生的概率为eq\f(3,4),则发生其中两个事务的概率为eq\f(11,24).解析:由题意可知,所求事务的概率P=eq\f(1,2)×(1-eq\f(2,3))×eq\f(3,4)+eq\f(1,2)×(1-eq\f(3,4))×eq\f(2,3)+(1-eq\f(1,2))×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)=eq\f(1,8)+eq\f(1,12)+eq\f(1,4)=eq\f(11,24).三、解答题(共计27分)11.(12分)某大街在甲、乙、丙三个地方设有交通信号灯,汽车在甲、乙、丙三个地方通过(即通过绿灯)的概率分别是eq\f(1,3)、eq\f(1,2)、eq\f(2,3),对于该大街上行驶的汽车,求:(1)在三个地方都不停车的概率;(2)在三个地方都停车的概率;(3)只在一个地方停车的概率.解:记汽车在甲地遇到绿灯为事务A,汽车在乙地遇到绿灯为事务B,汽车在丙地遇到绿灯为事务C,则P(A)=eq\f(1,3),P(eq\x\to(A))=eq\f(2,3),P(B)=eq\f(1,2),P(eq\x\to(B))=eq\f(1,2),P(C)=eq\f(2,3),P(eq\x\to(C))=eq\f(1,3).(1)在三个地方都不停车的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)=eq\f(1,9).(2)在三个地方都停车的概率为P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))=P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))=eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)=eq\f(1,9).(3)只在一个地方停车概率为P(eq\x\to(A)BC+Aeq\x\to(B)C+ABeq\x\to(C))=P(eq\x\to(A)BC)+P(Aeq\x\to(B)C)+P(ABeq\x\to(C))=P(eq\x\to(A))P(B)P(C)+P(A)·P(eq\x\to(B))P(C)+P(A)P(B)P(eq\x\to(C))=eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)+eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)+eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)=eq\f(7,18).12.(15分)某省电视台实行歌颂大赛,大赛依次设初赛,复赛,决赛三个轮次的竞赛.已知某歌手通过初赛,复赛,决赛的概率分别为eq\f(3,4),eq\f(2,3),eq\f(1,4),且各轮次通过与否相互独立.记该歌手参赛的轮次为ξ.(1)求ξ的分布列;(2)记“函数f(x)=3sineq\f(x+ξ,2)π(x∈R)是偶函数”为事务A,求A发生的概率.解:(1)ξ的可能取值为1,2,3.P(ξ=1)=eq\f(1,4),P(ξ=2)=eq\f(3,4)×eq\f(1,3)=eq\f(1,4),P(ξ=3)=eq\f(3,4)×eq\f(2,3)=eq\f(1,2).ξ的分布列为ξ123Peq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,2)(2)因为f(x)=3sineq\f(x+ξ,2)π(x∈R)是偶函数,所以ξ=1或ξ=3.P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)=eq\f(1,4)+eq\f(3,4)×eq\f(2,3)=eq\f(3,4).——素养提升——13.(5分)在如图所示的电路图中,开关a,b,c闭合与断开的概率都是eq\f(1,2),且是相互独立的,则灯亮的概率是(B)A.eq\f(1,8) B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(7,8)解析:设开关a,b,c闭合的事务分别为A,B,C,则灯亮这一事务E=ABC∪ABeq\x\to(C)∪Aeq\x\to(B)C,且A,B,C相互独立,ABC,ABeq\x\to(C),Aeq\x\to(B)C互斥,所以P(E)=P((ABC)∪(ABeq\x\to(C))∪(Aeq\x\to(B)C))=P(ABC)+P(ABeq\x\to(C))+P(Aeq\x\to(B)C)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(eq\x\to(C))+P(A)P(eq\x\to(B))P(C)=eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)+eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(1-eq\f(1,2))+eq\f(1,2)×(1-eq\f(1,2))×eq\f(1,2)=eq\f(3,8).14.(15分)随机抽取某城市一年(365天)内100天的空气质量指数AQI的监测数据,结果统计如下:(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位:元)与空气质量指数AQI(记为ω)的关系式为S=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0,0≤ω≤100,,4ω-400,100<ω≤300,,2000,ω>300,))试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率;(2)若以上表统计的频率作为概率,求该城市某三天中恰有一天空气质量为轻度污染的概率.(假定这三天中空气质量互不影响)解:(1)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事务A,由200<S≤600,得150<ω≤250,频数为3
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