2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价1.4.1.2空间中直线平面的垂直含解析新人教A版选择性必修第一册

PAGE七空间中直线、平面的垂直(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.如图所示,在空间直角坐标系中BC=2,原点O是BC的中点,点D在平面Oyz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°,则的坐标为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.如图所示,过D作DE⊥BC,垂足为E.在Rt△BCD中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=QUOTE.所以DE=CD·sin30°=QUOTE,OE=OB-BD·cos60°=1-QUOTE=QUOTE.所以D点坐标为QUOTE,即的坐标为QUOTE.2.(2024·楚雄高二检测)直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,=λ,=3,若PN⊥BM,则λ= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.如图,以AB,AC,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则P(λ,0,1),NQUOTE,B(1,0,0),MQUOTE,=QUOTE,=QUOTE,所以·=λ-QUOTE+QUOTE-QUOTE=0,即λ=QUOTE.3.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且⊥平面ABC,则等于 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由·=0得3+5-2z=0,所以z=4.又因为⊥平面ABC,所以即QUOTE解得QUOTE所以=QUOTE.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于 ()A.AC B.A1D C.BD D.A1A【解析】选C.建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),EQUOTE.所以=QUOTE,=(-1,1,0),=(-1,-1,0),=(-1,0,-1),=(0,0,-1).因为其中只有·=(-1)×QUOTE+(-1)×QUOTE+0×1=0,所以CE⊥BD.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知平面α的一个法向量a=(x,1,-2),平面β的一个法向量b=QUOTE,若α⊥β,则x-y=.

【解析】因为α⊥β,所以a⊥b,所以-x+y-1=0,得x-y=-1.答案:-16.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,假如B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和为.

【解析】以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(图略),设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1-y),B(1,1,1),所以=(x-1,0,1),=(1,1,y),因为B1E⊥平面ABF,所以·=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0,即x+y=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=QUOTECC1.求证:AB1⊥MN.【证明】设AB中点为O,作OO1∥AA1.以O为坐标原点,OB为x轴,OC为y轴,OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得AQUOTE,BQUOTE,CQUOTE,NQUOTE,B1QUOTE,因为M为BC中点,所以MQUOTE.所以=QUOTE,=(1,0,1),所以·=-QUOTE+0+QUOTE=0.所以⊥,所以AB1⊥MN.8.如图,在四棱锥E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=120°.求证:平面ADE⊥平面ABE.【证明】取BE的中点O,连接OC,则OC⊥EB,又因为AB⊥平面BCE,所以以点O为原点建立空间直角坐标系,如图所示.则由已知条件有C(1,0,0),B(0,QUOTE,0),E(0,-QUOTE,0),D(1,0,1),A(0,QUOTE,2).设平面ADE的法向量为n=(a,b,c),则n·=(a,b,c)·(0,2QUOTE,2)=2QUOTEb+2c=0,n·=(a,b,c)·(-1,QUOTE,1)=-a+QUOTEb+c=0.令b=1,则a=0,c=-QUOTE,所以n=(0,1,-QUOTE).又因为AB⊥平面BCE,所以AB⊥OC,所以OC⊥平面ABE,所以平面ABE的法向量可取为m=(1,0,0).因为n·m=(0,1,-QUOTE)·(1,0,0)=0,所以n⊥m,所以平面ADE⊥平面ABE.(15分钟·30分)1.(5分)(多选题)(2024·连云港高二检测)已知点P是△ABC所在的平面外一点,若=(-2,1,4),=(1,-2,1),=(4,2,0),则 ()A.AP⊥AB B.AP⊥BPC.BC=QUOTE D.AP∥BC【解析】选AC.A.·=-2-2+4=0,所以⊥,即AP⊥AB.因此正确.B.=+=(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),·=3+6-3=6≠0,所以AP与BP不垂直,因此不正确.C.=-=(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),所以||=QUOTE=QUOTE,因此正确.D.假设=k,则QUOTE无解,因此假设不正确,因此AP与BC不行能平行,因此不正确.2.(5分)如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,AF∶FD的值为 ()A.1∶2 B.1∶1 C.3∶1 D.2∶1【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形的边长为1,PA=a,则B(1,0,0),EQUOTE,P(0,0,a).设点F的坐标为(0,y,0),则=(-1,y,0),=QUOTE.因为BF⊥PE,所以·=0,解得y=QUOTE,即点F的坐标为QUOTE,所以F为AD的中点,所以AF∶FD=1∶1.3.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cosx+1,2cos2x+2,0)和点Q(cosx,-1,3),其中x∈[0,π],若直线OP与直线OQ垂直,则x的值为.

【解析】由OP⊥OQ,得·=0.即(2cosx+1)·cosx+(2cos2x+2)·(-1)=0.所以cosx=0或cosx=QUOTE.因为x∈[0,π],所以x=QUOTE或x=QUOTE.答案:QUOTE或QUOTE4.(5分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,则AE=.

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则B1(0,0,3a),DQUOTE,C(0,QUOTEa,0).设E(QUOTEa,0,z)(0≤z≤3a),则=QUOTE,=(QUOTEa,0,z-3a).由题意得2a2+z2-3az=0,解得z=a或2a.故AE=a或2a.答案:a或2a【加练·固】(2024·北海高二检测)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E,要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为.

【解析】以C1为原点,C1A1为x轴,C1B1为y轴,C1C为z轴,建立空间直角坐标系,由题意A1(1,0,0),B1(0,1,0),DQUOTE,C1(0,0,0),A(1,0,2),设F(0,1,t),0≤t≤2,则=QUOTE,=(-1,1,-2),=(0,1,t),因为AB1⊥平面C1DF,所以所以1-2t=0,解得t=QUOTE.所以线段B1F的长为QUOTE.答案:QUOTE5.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E为PC的中点,EF⊥BP于点F.求证:(1)PA∥平面EDB;(2)PB⊥平面EFD.【证明】由题意得,DA,DC,DP两两垂直,所以以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,如图,设DC=PD=1,则P(0,0,1),A(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),EQUOTE.所以=(1,1,-1),=QUOTE,=QUOTE,设F(x,y,z),则=(x,y,z-1),=QUOTE.因为⊥,所以x+QUOTE-QUOTE=0,即x+y-z=0.①又因为∥,可设=λ,所以x=λ,y=λ,z-1=-λ.②由①②可知,x=QUOTE,y=QUOTE,z=QUOTE,所以=QUOTE.(1)设n1=(x1,y1,z1)为平面EDB的法向量,则有即QUOTE所以QUOTE取z1=-1,则n1=(-1,1,-1).因为=(1,0,-1),所以·n1=0.又因为PA⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB.(2)设n2=(x2,y2,z2)为平面EFD的法向量,则有即QUOTE所以QUOTE取z2=1,则n2=(-1,-1,1).所以∥n2,所以PB⊥平面EFD.1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上,则下列结论正确的是 ()A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BDB.当点Q为线段B1P的三等分点(靠近点P)时,DQ⊥平面A1BDC.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BDD.不存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直【解析】选D.以A1为原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),DQUOTE,P(0,2,0),=(1,0,1),=QUOTE,=(-1,2,0),=QUOTE.设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则取z=-2,则x=2,y=1,所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,-2).假设DQ⊥平面A1BD,且=λ=λ(-1,2,0)=(-λ,2λ,0),则=+=QUOTE,因为也是平面A1BD的法向量,所以n=(2,1,-2)与=QUOTE共线,于是有QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE成立,但此方程关于λ无解.故不存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直.2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点(不与C,C1重合).(1)求证:A1E⊥BD;(2)若平面A1BD⊥平面EBD,试确定E点的位置.【解析】(1)以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a).设E(0,a