2024-2025学年高中数学第1章统计§22.2分层抽样与系统抽样教师用书教案北师大版必修3

PAGE1-2.2分层抽样与系统抽样学习目标核心素养1.通过实例，精确把握分层抽样、系统抽样的概念．(重点)2．会用分层抽样、系统抽样解决实际问题．(难点)3．了解各种抽样方法的适用范围，能依据详细状况选择恰当的抽样方法．(难点)1.通过学习分层抽样、系统抽样的概念，培育数学抽象素养．2．通过运用分层抽样、系统抽样解决实际问题，提升数据分析素养.一、分层抽样1．分层抽样的概念将总体按其属性特征分成若干类型(有时称为层)，然后在每个类型中依据所占比例随机抽取肯定的样本，这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．2．对分层抽样的公允性的理解在分层抽样的过程中，每个个体被抽到的概率是相同的，与分层的状况无关．假如总体的个体数是N，共分k层，n为样本容量，Ni(i＝1,2,3，…，k)是第i层中的个体数，则第i层中所要抽取的个体数ni＝n×eq\f(Ni,N)，而每一个个体被抽取的可能性是eq\f(ni,Ni)＝eq\f(n,N)，与层数无关，所以对全部个体而言，其被抽到的概率是相同的，也就是说分层抽样是公允的．二、系统抽样的概念将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中依据简洁随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法叫系统抽样，有时也叫等距抽样或机械抽样．思索：系统抽样一般适用于具有怎样特征的样本？[提示]系统抽样的实质是“分组”抽样，适用于总体中的个体数较大的状况．1．下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是()A．从10名同学中抽取3人参与座谈会B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本C．从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量B[A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简洁随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，不适合用分层抽样；B中总体中的个体差异明显，适合用分层抽样．]2．为了解1200名学生对学校食堂饭菜的看法，准备从中抽取一个样本容量为40的样本，考虑采纳系统抽样，则分段间隔k为()A．10B．20C．30D．40C[分段间隔k＝eq\f(1200,40)＝30.]3．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的状况，支配采纳分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生()A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人 D．30人，50人，10人B[先求抽样比eq\f(n,N)＝eq\f(90,3600＋5400＋1800)＝eq\f(1,120)，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3600×eq\f(1,120)＝30(人)，乙校抽取5400×eq\f(1,120)＝45(人)，丙校抽取1800×eq\f(1,120)＝15(人)，故选B.]4．某高校为了解在校本科生对参与某项社会实践活动的意向，拟采纳分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．60[依据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为eq\f(4,4＋5＋5＋6)×300＝60.]分层抽样【例1】某企业共有3200名职工，其中青、中、老年职工的比例为3∶5∶2.若从全部职工中抽取一个容量为400的样本，则采纳哪种抽样方法更合理？青、中、老年职工应分别抽取多少人？每人被抽到的可能性相同吗？[解]因为总体由差异明显的三部分(青、中、老年)组成，所以采纳分层抽样的方法更合理．因为青、中、老年职工的比例是3∶5∶2，所以应分别抽取：青年职工400×eq\f(3,10)＝120(人)；中年职工400×eq\f(5,10)＝200(人)；老年职工400×eq\f(2,10)＝80(人)．由样本容量为400，总体容量为3200可知，抽样比是eq\f(400,3200)＝eq\f(1,8)，所以每人被抽到的可能性相同，均为eq\f(1,8).1．分层抽样运用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区分，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占的比例抽取．2．用分层抽样抽取样本时，需照看到各层中的个体，所以每层抽取的比例应等于样本容量在总体中的比例．3．在分层抽样中，确定抽样比k是抽样的关键．一般地，抽样比k＝eq\f(n,N)(N为总体容量，n为样本容量)，按抽样比k在各层中抽取个体，就能确保抽样的公允性．4．在每层抽样时，应采纳简洁随机抽样或系统抽样的方法进行．eq\O([跟进训练])1．(1)为了调查城市PM2.5的状况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为8,16,24.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为()A．3B．4C．5D．6(2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石 B．169石C．338石 D．1365石(1)B(2)B[(1)依据分层抽样的特点可知，抽样比例为eq\f(12,48)＝eq\f(1,4)，则应抽取的中型城市数为16×eq\f(1,4)＝4.(2)设1534石米内夹谷x石，则由题意知eq\f(x,1534)＝eq\f(28,254)，解得x≈169.故这批米内夹谷约为169石．]系统抽样【例2】某单位共有在岗职工624人，为了调查职工上班时从离开家到来到单位的平均用时，确定抽取10%的工人进行调查，如何采纳系统抽样完成这一抽样？[解]第一步：由题意知，应抽取在岗职工62人作为样本，即分成62组，由于eq\f(624,62)的商是10，余数是4，所以每组有10人，还剩4人．这时，抽样距是10；其次步：用随机数法从这些职工中抽取4人并剔除，不进行调查；第三步：将余下的在岗职工620人进行编号，编号分别为000,001,002，…，619；第四步：在第一组000,001,002，…，009这10个编号中，随机选定一个起始编号，每间隔10抽取一个编号，共抽62个编号，这样就抽取了容量为62的一个样本．1．解决本题时，对总体、个体先进行编号，然后依据样本容量确定分段数及每段间隔长度，再利用简洁随机抽样法在第1段中抽取一个号码作为起始号码，并依次加间隔长度即可获得样本号码．2．系统抽样又称等距抽样，当给出总体数和样本容量后，应先确定组数和组距(留意一般组数等于样本容量/组距)，在第一组抽取起始号码后，只需依次加间隔长度即可得到样本．eq\O([跟进训练])2．(1)某影院有40排座位，每排有46个座位，一个报告会上坐满了听众，会后留下座号为20的全部听众进行座谈，这是运用了()A．抽签法 B．随机数法C．系统抽样法 D．放回抽样法(2)为了解1200名学生对学校某项教改试验的看法，准备从中抽取一个容量为30的样本，考虑采纳系统抽样，则分段的间隔k＝________.(1)C(2)40[(1)此抽样方法将座位分成40组，每组46个个体，会后留下座号为20的相当于第一组抽20号，以后各组抽取20＋46n，n＝1,2,3，…，符合系统抽样特点．(2)依据样本容量为30，将1200名学生分为30段，每段人数即间隔k＝eq\f(1200,30)＝40.]三种抽样方法的综合应用[探究问题]1．简洁随机抽样是不放回抽样吗？提示：是不放回抽样．2．分层抽样时为什么要将总体分成互不重叠的层？提示：在总体中由于个体之间存在着明显的差异，为了使抽取的样本更合理、更具代表性，故将总体分成互不重叠的层，而后独立地抽取肯定数量的个体．3．系统抽样的其次步中，当eq\f(N,n)不是整数时，从总体中剔除一些个体采纳的方法是什么？影响系统抽样的公允性吗？提示：剔除一些个体可以用简洁随机抽样的方法抽取，不影响系统抽样的公允性．【例3】①某学校为了了解高一学生的状况，从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中，某班有10人的成果在110分以上，10人的成果在100～110分，30人的成果在90～100分，12人的成果低于90分，现在从中抽取12人了解有关状况；③运动会服务人员为参与400m决赛的6名同学支配跑道．就这三件事，合适的抽样方法分别为________、________、________.系统抽样分层抽样简洁随机抽样[系统抽样适合总体中个体数量比较大的状况．分层抽样适合总体由差异明显的几部分组成的状况．总体中个体数比较少的时候，选用简洁随机抽样．]三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简洁随机抽样(1)抽样过程中每个个体被抽取的概率相等；(2)均属于不放回抽样从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采纳简洁随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采纳简洁随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成eq\O([跟进训练])3．某社区有700户家庭，其中高收入家庭有225户，中收入家庭有400户，低收入家庭有75户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某中学高二年级有12名篮球运动员，要从中选出3人调查投篮命中率状况，记作②；从某厂生产的802辆轿车中抽取40辆测试某项性能，记作③.为完成上述三项抽样，则应实行的抽样方法是()A．①简洁随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①分层抽样，②简洁随机抽样，③系统抽样C．①简洁随机抽样，②分层抽样．③系统抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简洁随机抽样B[对于①.总体由差异明显的高收入家庭、中收入家庭和低收入家庭三部分组成，而所调查的指标与收入状况亲密相关，所以应采纳分层抽样；对于②，总体中的个体数较少，而且所调查内容对12名调查对象是同等的，应采纳简洁随机抽样；对于③，总体中的个体数较多，且个体之间差异不明显，样本中个体数也较多，应采纳系统抽样．]1．对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式解：(1)eq\f(样本容量n,总体容量N)＝eq\f(各层抽取的样本数,该层的容量)；(2)总体中各层容量之比＝对应层抽取的样本数之比．2．选择抽样方法的规律：(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简洁，号签简洁搅匀，可采纳抽签法．(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采纳随机数法．(3)当总体容量较大，样本容量也较大时，可采纳系统抽样法．(4)当总体是由差异明显的几部分组成时，可采纳分层抽样法.1．思索辨析(1)分层抽样中每层抽样的可能性是不相等的． ()(2)分层抽样时，样本是在各层中分别抽取． ()(3)分层抽样时，假如总体个数不能被样本容量整除，则应先剔除部分个体． ()(4)系统抽样的分段段数与所抽取的样本容量的关系是相等． ()(5)系统抽样时每个个体被抽到的机会不同． ()(6)系统抽样时，假如总体个数不能被样本容量整除，则应先剔除部分个体． ()[解析](1)×，每个个体被抽到的可能性相同．(2)√，由分层抽样的概念知正确．(3)√，由于考虑到实际意义，需剔除部分个体．(4)√，系统抽样时，分段的段数由所抽样本容量确定．(5)×，无论是系统抽样还是分层抽样，每个个体被抽到的机会都相等．(6)√，系统抽样时为了保证间隔k为整数，应先剔除一部分个体．[答案](1)×(2)√(3)√(4)√(5)×(6)√2．为了解某地区的中小学生的视力状况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、中学三个学段学生的视力状况有较大差异，而男女生视力状况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简洁随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样C[由于该地区的中小学生人数比较多，不能采纳简洁随机抽样，解除选项A；由于小学、初中、中学三个学段的学生视力差异性比较大，可实行依据学段进行分层抽样，而男女生视力状况差异性不大，不能依据性别进行分层抽样，解除B和D.故选C.]3．某中学有中学生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习