2024-2025学年高中数学第二章平面向量课时作业182.4平面向量的坐标含解析北师大版必修4

课时作业18平面对量的坐标时间：45分钟满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分)1．假如用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则eq\o(AB,\s\up15(→))可以表示为(C)A．2i＋3j B．4i＋2jC．2i－j D．－2i＋j解析：记O为坐标原点，则eq\o(OA,\s\up15(→))＝2i＋3j，eq\o(OB,\s\up15(→))＝4i＋2j，所以eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝2i－j.2．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则bA．(1，－2) B．(1,2)C．(5,6) D．(2,0)解析：b＝(3,2)－2a3．若eq\o(AB,\s\up15(→))＝(1,1)，eq\o(AD,\s\up15(→))＝(0,1)，eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝(a，b)，则a＋b＝(A)A．－1 B．0C．1 D．2解析：eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→))＝(0,1)－(1,1)＝(－1,0)，故a＝－1，b＝0，a＋b＝－1.4．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于(C)A．－eq\r(2) B.eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2) D．0解析：本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a∥b知1×2＝m2，即m＝eq\r(2)或m＝－eq\r(2).5．已知O是坐标原点，点A在其次象限，|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝2eq\r(3)，∠xOA＝120°，则向量eq\o(OA,\s\up15(→))的坐标为(A)A．(－eq\r(3)，3) B．(3，eq\r(3))C．(3，－eq\r(3)) D．(－eq\r(3)，－3)解析：设点A(x，y)，则x＝|eq\o(OA,\s\up15(→))|cos120°＝2eq\r(3)cos120°＝－eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up15(→))|sin120°＝2eq\r(3)sin120°＝3.即A(－eq\r(3)，3)，∴eq\o(OA,\s\up15(→))＝(－eq\r(3)，3)．6．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝(A)A．{(1,1)} B．{(－1,1)}C．{(1,0)} D．{(0,1)}解析：本题主要考查向量学问及集合的运算．依据题意知，(1,0)＋m(0,1)＝(1,1)＋n(－1,1)，∴有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝1－n,m＝1＋n))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝0,m＝1)).∴P∩Q＝{(1,1)}．7．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量A．(2,6) B．(－2,6)C．(2，－6) D．(－2，－6)解析：∵a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，∴4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－又∵表示4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，∴4a＋(4b－2c)＋2(a－解得d＝(－2，－6)，故选D.8．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)，(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设起先时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(C)A．(－2,4) B．(－30,25)C．(10，－5) D．(5，－10)解析：由已知，可令平移到M(x，y)，有eq\o(PM,\s\up15(→))＝5v，∴(x，y)＝(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)，故选C.二、填空题(每小题5分，共15分)9．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为－1,2解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＋2λ2＝3,2λ1＋3λ2＝4))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－1,λ2＝2)).10．已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且eq\o(AC,\s\up15(→))＝2eq\o(BD,\s\up15(→))，则x＋y＝eq\f(11,2).解析：eq\o(AC,\s\up15(→))＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，eq\o(BD,\s\up15(→))＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)．∵eq\o(AC,\s\up15(→))＝2eq\o(BD,\s\up15(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝2×x－2,2＝2×y－3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2),y＝4)).∴x＋y＝eq\f(3,2)＋4＝eq\f(11,2).11．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝4.解析：本题考查平面对量的坐标运算问题．以向量a和b的交点为原点建立平面直角坐标系，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，依据c＝λa＋μb⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，所以λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2)，则eq\f(λ,μ)＝4.三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(12分)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)．若ka＋2b与2a－4b平行，求实数k解：解法一：向量ka＋2b与2a－4b平行，则存在唯一实数λ，使ka＋2b＝λ(2a－4∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)，2a－4b∴(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－6＝14λ，,2k＋4＝－4λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,k＝－1.))即实数k的值为－1.解法二：∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)，2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，ka＋2b与2a－4b平行，∴(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0.解得13．(13分)已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋teq\o(AB,\s\up15(→))，求：(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在其次象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．解：(1)设P(x，y)，由eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋teq\o(AB,\s\up15(→))，得(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋3t，,y＝2＋3t.))当P在x轴上时，y＝0，即2＋3t＝0，所以t＝－eq\f(2,3).当P在y轴上时，x＝0，即1＋3t＝0，所以t＝－eq\f(1,3).当P在其次象限时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t<0,2＋3t>0))⇔－eq\f(2,3)<t<－eq\f(1,3).(2)不能．理由：若四边形OABP能构成平行四边形，则eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))，即(1＋3t,2＋3t)＝(3,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t＝3，,2＋3t＝3，))这是不行能的．所以四边形OABP不能成为平行四边形．——实力提升类——14．(5分)设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定向量m，n之间的一个运算“⊗”为m⊗n＝(ac－bd，ad＋bc)．已知p＝(1,2)，p⊗q＝(－4，－3)，则q＝(－2,1)．解析：设q＝(x，y)，则p⊗q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝－4，,y＋2x＝－3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.))15．(15分)已知向量u＝(x，y)与向量v＝(y,2y－x)的对应关系记作v＝f(u)．(1)求证：对随意向量a，b与常数m，n恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)；(2)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，用坐标表示f(a)和f(b)；(3)求使f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标．解：(1)证明：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ma＋nb＝(mx1＋nx2，my1＋ny2)，所以f(ma＋nb)＝(my1＋ny2，2(my1＋ny2)－(mx1＋nx2))，而mf(a)＋nf(b)＝m(y1,2y1－x1)＋n(y2,2y2－x2)＝(my1,2my1－mx1)＋(ny2,2ny2－nx2)＝(my1＋ny2