2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2四种命题学案含解析新人教A版选修2-1

PAGE5-1．1.2四种命题[目标]1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的概念.2.会写出一个命题的其他三种命题，并会推断真假．[重点]给出一个命题，写出它的其余三种命题．[难点]对一些词语的否定，如“都是”、“全都”、“有的”等词语的否定．学问点四种命题的相关概念[填一填]1．原命题与逆命题：(1)关系：条件与结论互换．(2)结构形式：若原命题为“若p，则q”，则逆命题为eq\a\vs4\al(“若q)，eq\a\vs4\al(则p)”．(3)结论：这两个命题叫做互逆命题．2．原命题与否命题：(1)关系：条件与结论都要否定．(2)结构形式：若原命题为“若p，则q”，则否命题为“若綈eq\a\vs4\al(p)，则綈eq\a\vs4\al(q)”．(3)结论：这两个命题叫做互否命题．3．原命题与逆否命题：(1)关系：条件与结论既要否定，又要互换．(2)结构形式：若原命题为“若p，则q”，则逆否命题为“若綈eq\a\vs4\al(q)，则綈eq\a\vs4\al(p)”．(3)结论：这两个命题叫做互为逆否命题．[答一答]1．在四种命题中，原命题是固定的吗？提示：不是．原命题是人为指定的，是相对于其他三种命题而言的，可以把任何一个命题看作原命题，进而探讨它的其他形式．2．如何写出一个命题的其他三种命题？提示：写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题时，首先要找出该命题的条件和结论．逆命题是将原命题的条件和结论交换位置；否命题是对原命题的条件和结论都加以否定；逆否命题是对原命题的条件和结论交换位置，同时都加以否定．在对原命题的条件和结论进行否定时，肯定要留意问题的全面性，千万不能遗漏或者重复，如“x>0”的否定是“x≤0”，而不是“x<0”．3．命题“若x≥0，则2x＋1≥1”的否命题是什么？提示：若x<0，则2x＋1<1.1．对四种命题概念的相识(1)原命题与逆命题：①逆命题是将原命题的条件与结论互换，写原命题的逆命题时，不要交换命题的前提条件；②原命题也可以看作是它的逆命题的逆命题．(2)原命题与否命题：①写一个命题的否命题时，要对条件和结论都进行否定，避开出现不否定条件，而只否定结论的错误；②原命题也可以看作是它的否命题的否命题．(3)原命题与逆否命题：将原命题的条件和结论“换位”得逆命题，“换质”(即否定)得否命题，既“换位”又“换质”得逆否命题．2．四种命题的相互关系(1)原命题是相对于逆命题、否命题、逆否命题而言的，任何一个给定的命题都可以作为原命题．(2)明确原命题的逆命题、否命题、逆否命题的条件和结论的位置关系和否定关系是解决四种命题的关键．类型一写出一个命题的其他三种命题【例1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)垂直于同一平面的两直线平行；(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．【分析】由题目可以获得以下主要信息：①第一个命题的条件是垂直于同一平面的两条直线，结论是两直线平行；②其次个命题的条件和结论特别清晰．解答本题时可先分清命题的条件和结论，写成“若p，则q”形式，再写出逆命题、否命题和逆否命题．【解】(1)逆命题：假如两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面．否命题：假如两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行．逆否命题：假如两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面．(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0.否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0.1写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再依据四种命题的结构写出所求命题.2另外在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能变更条件和结论.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)直角等于90°；(2)若m≤0，n≤0，则m＋n≤0.解：(1)原命题：若一个角是直角，则它等于90°.逆命题：若一个角等于90°，则它是直角．否命题：若一个角不是直角，则它不等于90°.逆否命题：若一个角不等于90°，则它不是直角．(2)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0且n≤0.否命题：若m>0或n>0，则m＋n>0.逆否命题：若m＋n>0，则m>0或n>0.类型二四种命题及其真假推断【例2】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并推断其真假．(1)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；(2)若ab＝0，则a＝0；(3)若x2＋y2＝0，则x，y全为零；(4)已知a，b，c为实数，若a＝b，则ac＝bc.【分析】找出命题的条件p和结论q.依据四种命题的条件和结论的关系写出其余三种命题．【解】(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1.假命题．否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根．则q≥1，真命题．(2)逆命题：若a＝0，则ab＝0，真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0，真命题．逆否命题：若a≠0，则ab≠0，假命题．(3)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．(4)逆命题：已知a，b，c为实数，若ac＝bc，则a＝b，假命题．否命题：已知a，b，c为实数，若a≠b，则ac≠bc，假命题．逆否命题：已知a，b，c为实数，若ac≠bc，则a≠b，真命题．1对于不含关联词的命题，要先把命题写成“若p，则q”的形式，有些命题的条件和结论含有前提条件，在改写时，前提条件的位置不能变更，即前提条件不能作为命题的条件.2推断一个命题是真命题，可以依据定义、定理证明，推断一个命题是假命题，只要举出反例即可.写出下面命题的逆命题、否命题、逆否命题，并推断其真假：若a>b，则ac2>bc2.解：原命题：若a>b，则ac2>bc2，是假命题；逆命题：若ac2>bc2，则a>b，是真命题；否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，是真命题；逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，是假命题．类型三素养提升命题中条件与结论的否定错误【例3】写出命题“乘积为奇数的两个整数都不是偶数”的逆命题、否命题、逆否命题，并推断真假．【错解】原命题可写成：若两个整数的乘积为奇数，则它们都不是偶数，是真命题．逆命题：若两个整数都不是偶数，则这两个整数的乘积为奇数，是真命题．否命题：若两个整数的乘积不为奇数，则这两个整数不都是偶数，是真命题．逆否命题：若两个整数不都是偶数，则这两个整数的乘积不为奇数，是真命题．【错因分析】对“都不是”的否定，大家可能都会误认为是“不都是”，这是错误的，应为“至少有一个是”，而“不都是”是对“都是”的否定．【正解】原命题可写成：若两个整数的乘积为奇数，则它们都不是偶数，是真命题．逆命题：若两个整数都不是偶数，则这两个整数的乘积为奇数，是真命题．否命题：若两个整数的乘积不为奇数，则这两个整数中至少有一个是偶数，是真命题．逆否命题：若两个整数中至少有一个是偶数，则这两个整数的乘积不为奇数，是真命题．【解后反思】在否定一个命题的条件或结论时，往往会对问题的否定不全面，尤其是对含有“全”“都”“都不”等词语的命题的否定，极易犯此类错误．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．并推断其真假．(1)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(2)若a、b都是奇数，则ab必是奇数．解：(1)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或x＝7；(真)否命题：若x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0；(真)逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0，则x≠3且x≠7.(真)(2)逆命题：若ab是奇数，则a、b都是奇数；(真)否命题：若a、b不都是奇数，则ab不是奇数；(真)逆否命题：若ab不是奇数，则a、b不都是奇数．(真)1．若x>y，则x2>y2的否命题是(C)A．若x≤y，则x2>y2 B．若x>y，则x2<y2C．若x≤y，则x2≤y2 D．若x<y，则x2<y22．命题“若a2＝b2，则|a|＝|b|”的逆命题为(C)A．若a2＝b2，则|a|≠|b|B．若a2≠b2，则|a|≠|b|C．若|a|＝|b|，则a2＝b2D．若|a|≠|b|，则a2≠b2解析：依据逆命题的定义可知逆命题为：若|a|＝|b|，则a2＝b2.故选C.3．命题“若ab＝0，则a＝0”与命题“若a＝0，则ab＝0”是互逆命题．解析：两个命题的条件和结论交换了，满意互逆命题的概念．4．命题“若直线a，b不平行，则直线a，b相交”的否命题的逆命题为若