2024-2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布课时分层作业含解析新人教A版选修2-3

PAGE1-课时分层作业(十六)正态分布(建议用时：40分钟)一、选择题1.如图是正态分布N(μ，σeq\o\al(2,1))，N(μ，σeq\o\al(2,2))，N(μ，σeq\o\al(2,3))(σ1，σ2，σ3>0)对应的曲线，则σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1>σ2>σ3B．σ3>σ2>σ1C．σ1>σ3>σ2D．σ2>σ1>σ3A[由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.]2．若随机变量X～N(1,22)，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)X))等于()A．4B．2C.eq\f(1,2)D．1D[因为X～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)X))＝eq\f(1,4)D(X)＝1.]3．已知随机变量ξ听从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()A．0.447 B．0.628C．0.954 D．0.977C[∵随机变量ξ听从正态分布N(0，σ2)，∴正态曲线关于直线x＝0对称，又P(ξ>2)＝0.023，∴P(ξ<－2)＝0.023.∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.]4．随机变量ξ～N(2,10)，若ξ落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)的概率相等，则k等于()A．1 B．10C．2 D.eq\r(10)C[∵区间(－∞，k)和(k，＋∞)关于x＝k对称，所以x＝k为正态曲线的对称轴，∴k＝2，故选C.]5．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)听从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量ξ听从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.27%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.45%.)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%B[由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.6827，P(－6＜ξ＜6)＝0.9545，故P(3＜ξ＜6)＝eq\f(P－6＜ξ＜6－P－3＜ξ＜3,2)＝eq\f(0.9545－0.6827,2)＝0.1359＝13.59%.]二、填空题6．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.eq\f(1,2)[由于随机变量X～N(μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线x＝μ对称，故P(X≤μ)＝eq\f(1,2).]7．在某项测量中，测量结果X听从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若X在(0,1]内取值的概率为0.4，则X在(0,2]内取值的概率为________．0.8[∵X～N(1，σ2)，且P(0＜X≤1)＝0.4，∴P(0＜X≤2)＝2P(0＜X≤1)＝0.8.]8．工人制造的零件尺寸在正常状况下听从正态分布N(μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有______________________________个．3[因为P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.9973，所以不属于区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的零点个数约为1000×(1－0.9973)＝2.7≈3个．]三、解答题9．在一次测试中，测试结果X听从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，求：(1)X在(0,4)内取值的概率；(2)P(X>4)．[解](1)由X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图，因为P(0<X<2)＝P(2<X<4)，所以P(0<X<4)＝2P(0<X<2)＝2×0.2＝0.4.(2)P(X>4)＝eq\f(1,2)[1－P(0<X<4)]＝eq\f(1,2)(1－0.4)＝0.3.10．生产工艺工程中产品的尺寸误差(单位：mm)X～N(0,1.52)，假如产品的尺寸与规定的尺寸偏差的肯定值不超过1.5mm为合格品，求：(1)X的密度函数；(2)生产的5件产品的合格率不小于80%的概率．[解](1)依据题意，知X～N(0,1.52)，即μ＝0，σ＝1.5，所以密度函数φ(x)＝eq\f(1,1.5\r(2π))eeq\s\up10(－eq\f(x2,4.5)).(2)设Y表示5件产品中的合格品数，每件产品是合格品的概率为P(|X|≤1.5)＝P(－1.5≤X≤1.5)＝0.6827，而Y～B(5,0.6827)，合格率不小于80%，即Y≥5×0.8＝4，所以P(Y≥4)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＝Ceq\o\al(4,5)×0.68274×(1－0.6827)＋0.68275≈0.4929.1．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545.A．2387 B．2718C．3414 D．4777C[由P(－1<X≤1)＝0.6827，得P(0<X≤1)≈0.3414，则阴影部分的面积约为0.3414，故估计落入阴影部分的点的个数为10000×eq\f(0.3414,1×1)＝3414.]2．已知一次考试共有60名同学参与，考生的成果X～N(110,25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间()A．(90,110]内 B．(95,125]内C．(100,120]内 D．(105,115]内C[eq\f(57,60)＝0.95，故可得大约应有57人的分数在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内，即在区间(110－2×5,110＋2×5]内．]3．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．1[由题意知区间(－3，－1)与(3,5)关于直线x＝μ对称，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称，所以正态分布的数学期望为1.]4．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)·eeq\s\up10(eq\f(－x－μ2,2σ2))，x∈R的图象．给出以下四个命题：①对随意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②假如随机变量X听从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函数；③假如随机变量X听从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；④随机变量X听从N(μ，σ2)，P(X<1)＝eq\f(1,2)，P(X>2)＝p，则P(0<X<2)＝1－2p.其中，真命题的序号是________．(写出全部真命题的序号)①②④[假如随机变量X～N(108,100)，所以μ＝108，σ2＝100，即σ＝10，故③错，又f(μ＋x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)eeq\s\up10(－eq\f(μ＋x－μ2,2σ2))＝eq\f(1,\r(2π)σ)eeq\s\up10(－eq\f(x2,2σ2))，f(μ－x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)eeq\s\up10(eq\f(μ－x－μ2,2σ2))＝eq\f(1,\r(2π)σ)eeq\s\up10(－eq\f(x2,2σ2))，故①正确，由正态分布密度函数性质以及概率的计算知②④正确，故填①②④.]5．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z听从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)≈0.9545.[解](1)抽取产品的质量指标值的样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))和样本方差s2分别为eq\o(x,\s\up6(－))＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.3