2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.2.3对数函数的性质与图像学案含解析新人教B版必修第二册

4.2.3对数函数的性质与图像学习目标1.通过详细实例,了解对数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出详细对数函数的图像,探究并了解对数函数的单调性与特别点,发展直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养.3.能初步运用对数函数的性质解决诸如比较大小等简洁问题,提升数学运算和数学建模的核心素养.4.类比指数函数的探讨过程,经验设计对数函数性质和图像的探讨内容和方法,再次提升和丰富函数性质和图像探讨的基本思想和基本活动阅历.自主预习1.我们之前是以怎样的探讨思路来学习指数函数及其性质的?指数函数都有哪些性质?(1)由特别到

归纳得到一般函数:(2)由“图像的特征(形)”到“(数)”

y=ax0<a<1a>1性质定义域值域过定点奇偶性单调性范围当x>0时,;

当x<0时,.

当x>0时,;

当x<0时,.

2.指数式ax=N化为对数式是什么?对数式中a的取值范围是什么?N的取值范围是什么?3.计算:log214=;log122log121=;log13log33=.

课堂探究1996年在青州龙兴寺遗址出土400余尊佛像被列为当年中国十大考古发觉之首.先后在美、日、德、英、瑞等世界各国举办过多次展览,轰动海内外!其中一尊衣着雍容华贵的无臂菩萨像,被誉为“东方维纳斯”.我们已经知道,文物埋藏x年后体内碳14的含量y满意y=12x5730,也就是说问题1:(1)假如测得某文物中碳14的含量为0.5,那么文物的埋藏时间x应等于多少?(2)给定一个y值有多少个x与之对应?(3)这里的x能看成y的函数吗?为什么?一般地,函数称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.

(一)回顾阅历,明确思路问题2:类比指数函数的探讨过程,对于对数函数性质和图像,你能提出问题的探讨思路吗?(二)动手操作,形成感知问题3:请画出函数y=log2x中的图像,依据画函数图像的步骤,想一想列表时,自变量你会选取哪些有代表性的数值呢?xy=log2xy=log1问题4:我们体验了y=log2x的作图过程,视察其图像的特点,你能得出对数函数y=log2x的哪些性质?问题5:类比指数函数性质的探究过程,还须要画出另一个特别函数y=log12x的图像,请先用描点法画出其图像,然后思索如何由y=log2仔细视察上面两个对数函数的图像特征,它们有哪些异同点,填写下面的表格.视察y=log2x的图像视察y=log12图像特征代数表述图像特征代数表述图像位于y轴的

定义域

图像位于y轴的

定义域

图像向上、向下

值域

图像向上、向下

值域

自左向右看,图像

单调性

自左向右看,图像

单调性

(三)理性相识,概括性质问题6:为了得到对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的性质,我们还须要画出更多详细的对数函数的图像进行视察,底数如何选取?合作探究:借助于几何画板,选取底数a(a>0,且a≠1)的若干不同的值,在同始终角坐标系内画出相应的对数函数图像,视察这些函数图像的位置、公共点和改变趋势,它们有哪些共性?由此,你能概括出对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的值域和性质吗?0<a<1a>1图像定义域值域性质定点单调性(四)巩固练习,学以致用例1求下列函数的定义域.(1)y=lg(4-x);(2)y=lnx2.例2比较下列各题中两个值的大小.(1)log0.33与log0.35;(2)ln3与ln3.001;(3)log70.5与0.变式训练比较下列两个值的大小.loga3与loga5(a>0,且a≠1).方法提炼:拓展性问题:已知log0.72m<log0.7(m-1),求m的取值范围.(五)课堂小结,总结升华通过本节课的学习,你有什么收获?(学问层面,思想方法层面)(六)当堂检测1.设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),f(x)的定义域是.

2.下列关系式中,成立的是()A.log34>0>log1310 B.log1310>0C.log34>log1310>0 D.log1310>log核心素养专练阅读课本,结合学案,进行学问整理,形成系统.必做题A组,选做题B组.A组:课本27页练习A第1,3,4,5题,28页练习B第1,2题.B组1.函数y=logax(a>0且a≠1)在[2,4]上的最大值比最小值大1,求a的值.2.已知loga34<1(a>0且a≠1),求a的取值范围3.溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.(1)依据对数函数性质及上述pH的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的改变关系;(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升,计算纯净水的pH.4.查阅资料,了解更多对数函数的相关学问和对数函数在考古、人口增长率、种群繁殖等方面的应用.参考答案自主预习1.(1)一般(2)图像的性质y=ax0<a<1a>1性质定义域R值域(0,+∞)过定点(0,1)奇偶性非奇非偶单调性减函数增函数范围当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1.当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<12.x=logaN;a>0,a≠1;N>03.-2-10-21课堂探究问题1:(1)x=5730;(2)一个y值只有一个x与它对应;(3)能,依据函数的定义.y=logax问题2:通过画特别函数的图像,由图像探讨其性质,探讨其定义域、值域、单调性等.问题3:依据自主预习,对数值有正有负,所以x除了取整数1,2,4,8之外,还要取一些分数:12,14,18问题4:见表格左侧部分视察y=log2x的图像视察y=log12图像特征代数表述图像特征代数表述图像位于y轴的右侧定义域(0,+∞)图像位于y轴的右侧定义域(0,+∞)图像向上、向下无限延长值域R图像向上、向下无限延长值域R自左向右看,图像渐渐上升单调性增函数自左向右看,图像渐渐降低单调性减函数问题5:列表、描点、连线;或是利用与y=log2x的图像关于x轴对称,来画出.表格见上表.问题6:底数分别取几个大于1和大于0小于1的数.填表略例1:(1)(-∞,4)(2)(-∞,0)∪(0,+∞)例2:(1)log0.33>log0.35(2)ln3<ln3.001(3)log70.5<0变式训练当a>1时,loga3<loga5;当0<a<1时,loga3>loga5.拓展性问题:m>1课堂小结略当堂推想略核心素养专练B组1.a=2或a=122.(0,34)∪(1,3.(1)y=-lgx是减函数,所以当溶液中氢离子的浓度增加时,溶液的pH减小,当溶液中氢离子的浓度减小时,溶液的pH增大.(2)pH=74.略学习目标1.能建立函数关系,找出底数.2.能画出函数的图像,能比较底数的大小3.能比较函数值的大小,能求定义域和解对数不等式.自主预习对数函数一般地,函数称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.

对数函数y=logax的性质:(1)定义域是,因此函数图像肯定在y轴的右边.

(2)值域是实数集.

(3)函数图像肯定过点.

(4)当a>1时,y=logax是;当0<a<1时,y=logax是.

(5)对数函数的图像(6)对数函数y=logax和y=log1ax的图像关于课堂探究例1比较下列各题中两个值的大小.(1)log0.33与log0.35;(2)ln3与ln3.001;(3)log70.5与0.例2已知log0.7(2m)<log0.7(m-1),求m的取值范围.例3求下列函数的定义域.(1)y=lg(4-x);(2)y=lnx2.核心素养专练1.下列函数是对数函数的是()A.y=loga(2x) B.y=log22xC.y=log2(x+1) D.y=lgx2.函数f(x)=11-x+lg(3x+A.-13C.-133.函数y=ax与y=-logax(a>0,且a≠1)在同一坐标系中的图像形态可能是()参考答案自主预习y=logax(1)(0,+∞)(2)R(3)(1,0)(4)增函数减函数(6)x轴课堂探究例1解:(1)因为0<0.3<1,所以y=log0.3x是减函数,又因为3<5,所以log0.33>log0.35.(2)因为e>1,所以y=lnx是增函数,又因为3.001>3,所以ln3<ln3.001.(3)因为7>1,所以y=log7x是增函数,又因为log71=0,而且0.5<1,所以log70.