2024-2025学年新教材高中数学第五章统计与概率5.1.1第2课时分层抽样训练含解析新人教B版必修第二册

PAGE1-第五章5.15.1.1第2课时请同学们仔细完成[练案13]A级基础巩固一、选择题1．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是(D)A．简洁随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样[解析]由于老年人、中年人、青年人的身体状况有着明显的差异，所以采纳分层抽样较为适合，但由于按36/163去分层无法满足，因此先从老年人中剔除1人再用分层抽样．2．某市对大、中、小学生的视力进行抽样分析，其中大、中、小学生的人数比为2∶3∶5，若采纳分层抽样的方法抽取一个样本，且中学生中被抽到的人数为150，则抽取的样本容量n等于(C)A．1500 B．1000C．500 D．150[解析]设抽到的大、中、小学生的人数分别为2x,3x,5x，由3x＝150，得x＝50，所以n＝100＋150＋250＝500．3．某市新上了一批便民公共自行车，有绿色和橙黄色两种颜色，且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2∶1，现在根据分层抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口，则其中绿色公共自行车的辆数是(D)A．8 B．12C．16 D．24[解析]设放在该校门口的绿色公共自行车的辆数是x，则eq\f(x,36)＝eq\f(2,1＋2)，解得x＝24．4．某校老年、中年和青年老师的人数见下表，采纳分层抽样的方法调查老师的身体状况，在抽取的样本中，青年老师有320人，则该样本中的老年老师人数为(C)类别人数老年老师900中年老师1800青年老师1600合计4300A．90 B．100C．180 D．300[解析]由题意，总体中青年老师与老年老师比例为eq\f(1600,900)＝eq\f(16,9)；设样本中老年老师的人数为x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年老师与老年老师的比例相等，即eq\f(320,x)＝eq\f(16,9)，解得x＝180．5．某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为9∶7，为了解学生的视力状况，现要求按分层抽样抽取一个样本容量为eq\f(n,15)的样本，若样本中男生比女生多8人，则n＝(A)A．960 B．1000C．1920 D．2000[解析]设样本中男生数为x，女生数为y，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝8，,x∶y＝9∶7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝36，,y＝28，))所以样本容量为36＋28＝64，由64＝eq\f(n,15)，得n＝960．二、填空题6．某校有行政人员、教学人员和教辅人员共200人，其中教学人员与教辅人员的比为10∶1，行政人员有24人，现采纳分层抽样的方法抽取容量为50的样本，那么教学人员应抽取的人数为__40__．[解析]由题意可知，该校有教学人员160人，抽取容量为50的样本，那么教学人员应抽取eq\f(160,200)×50＝40人．7．某高校为了解在校本科生对参与某项社会实践活动的意向，拟采纳分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取__60__名学生．[解析]∵300×eq\f(4,4＋5＋5＋6)＝60，∴取60人．8．防疫站对学生进行身体健康调查，红星中学共有学生1600名，采纳分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是__760__．[解析]设该校的女生人数是x，则男生人数是1600－x，抽样比是eq\f(200,1600)＝eq\f(1,8)，则eq\f(1,8)x＝eq\f(1,8)(1600－x)－10，解得x＝760．三、解答题9．某电台在因特网上就观众对某一节目的宠爱程度进行调查，参与调查的总人数为12000人，其中持各种看法的人数如下表：很宠爱宠爱一般不宠爱2435456739261072电视台进一步了解观众的具体想法和看法，准备从中抽取60人进行更为具体的调查，应当怎样进行抽样？[解析]可用分层抽样方法，其总体容量为12000.“很宠爱”占eq\f(2435,12000)＝eq\f(487,2400)，应抽取60×487÷2400≈12(人)；“宠爱”占eq\f(4567,12000)，应抽取60×4567÷12000≈23(人)；“一般”占eq\f(3926,12000)，应抽取60×3926÷12000≈20(人)；“不宠爱”占eq\f(1072,12000)，应抽取60×1072÷12000≈5(人)．因此采纳分层抽样法在“很宠爱”“宠爱”“一般”和“不宠爱”的2435人、4567人、3926人和1072人中分别抽取12人、23人、20人和5人．10．对某单位1000名职工进行某项特地调查，调查的项目与职工任职年限有关，人事部门供应了如下资料：任职年限5年以下5～10年10年以上人数300500200试利用上述资料，设计一个样本容量为100的抽样方法．[解析]进行分层抽样可分为三层，因为抽取样本容量与总体个体数之比为eq\f(100,1000)＝eq\f(1,10)，所以每层应抽取的个体数应为5年以下：300×eq\f(1,10)＝30(人)，5～10年：500×eq\f(1,10)＝50(人)，10年以上：200×eq\f(1,10)＝20(人)．然后再在每层用简洁随机抽样的方法进行抽样，将各层抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本．B级素养提升一、选择题1．某中学三个年级共240人，其中七年级100人，八年级80人，九年级60人，为了了解初中生的视力状况，抽查12人参与体检，应采纳(C)A．简洁随机抽样法 B．系统抽样法C．分层抽样法 D．以上方法都行[解析]符合分层抽样的特点．2．某市场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品平安检测．若采纳分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(C)A．4 B．5C．6 D．7[解析]若采纳分层抽样的方法，则植物油类与果蔬类食品分别抽取eq\f(20,100)×10＝2，eq\f(20,100)×20＝4，故抽取的两种食品种数之和为6．3．某中学有中学生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从中学生中抽取70人，则n为(A)A．100 B．150C．200 D．250[解析]由题意，得抽样比为eq\f(70,3500)＝eq\f(1,50)，总体容量为3500＋1500＝5000，故n＝5000×eq\f(1,50)＝100．4．某高校数学系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从全部本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为(B)A．80 B．40C．60 D．20[解析]三年级的学生人数为eq\f(2,10)×5000＝1000(人)应抽取三年级的学生人数为eq\f(1000,5000)×200＝40(人)．二、填空题5．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校中学三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取__15__名学生，从高三年级抽取__20__名学生．[解析]本题考查抽样方法中的分层抽样学问．∵高一、二、三年级的学生数之比是3∶3∶4，∴高二年级学生数在三个年级学生总数中所占比例为eq\f(3,3＋3＋4)＝eq\f(3,10)，∴高二年级学生应抽取eq\f(3,10)×50＝15人．高三年级学生应抽取eq\f(4,10)×50＝20人．对于分层抽样学问关键是求出抽样比，即某层元素在整体中所占比例．6．一汽车厂生产甲、乙、丙三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车甲轿车乙轿车丙舒适型100120z标准型300480600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有甲类轿车10辆，则z的值为__400__，抽取的50辆车中，乙类舒适型的数量为__3__．[解析]由题意知抽样比为eq\f(10,100＋300)＝eq\f(1,40)，则eq\f(50,100＋300＋120＋480＋z＋600)＝eq\f(1,40)，解得z＝400．可得甲、乙、丙三类车数量的比例为2∶3∶5，则乙类车抽到的数量为eq\f(3,10)×50＝15，乙类车中，舒适型与标准型的数量比为1∶4，所以舒适型的数量为eq\f(1,5)×15＝3．三、解答题7．为了对某课题进行探讨探讨，用分层抽样的方法从三所高校A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成探讨小组，有关数据见下表(单位：人)高校相关人数抽取人数Ax1B36yC543(1)求x、y；(2)若从高校B相关的人中选2人作专题发言，应采纳什么抽样法，请写出合理的抽样过程．[解析](1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有：eq\f(x,54)＝eq\f(1,3)⇒x＝18，eq\f(36,54)＝eq\f(y,3)⇒y＝2，故x＝18，y＝2．(2)总体容量和样本容量较小，所以应采纳抽签法，过程如下：第一步，将36人随机的编号，号码为1,2,3，…，36；其次步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；第三步，将号签放入一个不透亮的容器中，充分搅匀，依次抽取2个号码，并记录上面的编号；第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本．8．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参与其中一组．在参与活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参与活动总人数的eq\f(1,4)，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满足程度，现用分层抽样方法从参与活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．[解析](1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别