2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.5增长速度的比较训练含解析新人教B版必修第二册

PAGE5-第四章4.5请同学们仔细完成[练案10]A级基础巩固一、选择题1．已知函数y＝f(x)＝2x2的图像上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)的值为(D)A．4 B．4xC．4＋2(Δx)2 D．4＋2Δx[解析]eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－2×12,Δx)＝4＋2Δx．2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(B)A．0.40 B．0.41C．0.43 D．0.443．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均改变率为3，则实数m的值为(B)A．3 B．2C．1 D．4[解析]由已知得：eq\f(m2－1－12－1,m－1)＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2．4．有一组试验数据如表所示：t12345s1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是(C)A．y＝logax(a＞1) B．y＝ax＋b(a＞1)C．y＝ax2＋b(a＞0) D．y＝logax＋b(a＞1)[解析]通过所给数据可知s随t的增大而增大，其增长速度越来越快，而A，D表示的函数增长越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，只有C表示的函数符合题意．5．假如函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均改变率为3，则a＝(C)A．－3 B．2C．3 D．－2[解析]依据平均改变率的定义，可知eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2a＋b－a＋b,2－1)＝a＝3．二、填空题6．函数y＝－2x＋1在随意区间上的平均改变率为__－2__，也就是说自变量每增加一个单位，函数值将__减小2__个单位．[解析]eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(－2x1＋1－－2x2＋1,x1－x2)＝－2，∴自变量每增加一个单位，函数值将减小2个单位．7．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是__y＝x2__．[解析]当x变大时，x比lnx增长要快，∴x2要比xlnx增长的要快．8．质点运动规律s＝eq\f(1,2)gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于__30＋5Δt__.(g＝10m/s2)[解析]Δs＝eq\f(1,2)g×(3＋Δt)2－eq\f(1,2)g×32＝eq\f(1,2)×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝30＋5Δt．三、解答题9．计算函数y＝log3x在区间[1,2]与[2,3]上的平均改变率，并以此说明函数值改变的规律．[解析]因为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(log3x2－log3x1,x2－x1)，所以y＝log3x在区间[1,2]上的平均改变率为eq\f(log32－log31,2－1)＝log32．在区间[2,3]上的平均改变率为eq\f(log33－log32,3－2)＝log3eq\f(3,2)，∴函数y＝log3x在区间[1,2]与[2,3]上均是增函数，又log32＞log3eq\f(3,2)∴函数值y增加的速度越来越慢．10．已知f(x)＝2x，g(x)＝3x，分别计算这两个函数在区间[2,3]上的平均改变率，并比较它们的大小．[解析]f(x)＝2x在[2,3]上的平均改变率为eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(23－22,3－2)＝4，g(x)＝3x在[2,3]上的平均改变率为eq\f(Δg,Δx)＝eq\f(33－32,3－2)＝18．∴f(x)在[2,3]上的平均改变率小于g(x)在[2,3]上的平均改变率．B级素养提升一、选择题1．f(x)＝3x与f(x)＝3x在[a，a＋1]上的平均改变率分别为k1，k2，当k2＞k1时，a的取值范围为(D)A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，log3\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(3,2)，＋∞))[解析]对f(x)＝3x，eq\f(Δy,Δx)＝3，对f(x)＝3x，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3a＋1－3a,a＋1－a)＝2×3a，由2×3a＞3时，得a＞log3eq\f(3,2)．所以a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(3,2)，＋∞))．2．某公司为适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长快速，后期增长越来越慢．若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(D)A．一次函数 B．二次函数C．指数型函数 D．对数型函数[解析]本题考查对常见函数模型不同增长特点的理解．四种函数模型中只有对数型函数具有初期利润增长快速、后来增长越来越慢的特点，故选D．3．函数f(x)＝eq\r(x)从1到a的平均改变率为eq\f(1,4)，则实数a的值为(B)A．10 B．9C．8 D．7[解析]f(x)＝eq\r(x)从1到a的平均改变率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(a)－1,a－1)＝eq\f(1,1＋\r(a))＝eq\f(1,4)，解得a＝9．4．(多选题)下面对函数f(x)＝logeq\f(1,2)x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与h(x)＝x－eq\s\up4(\f(1,2))在区间(0，＋∞)上的衰减状况说法错误的是(ABD)A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快[解析]视察函数f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与h(x)＝x－eq\s\up4(\f(1,2))在区间(0，＋∞)上的大致图像如图，可知：函数f(x)的图像在区间(0,1)上递减较快，但递减速度渐渐变慢，在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g(x)的图像在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图像在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢，在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．二、填空题5．函数y＝log3x在[a，a＋1](a＞0)上平均改变率大于1，则a的取值范围为__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))__．[解析]因为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(log3a＋1－log3a,a＋1－a)＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))＞1＝log33，a＞0，所以1＋eq\f(1,a)＞3，所以0＜a＜eq\f(1,2)．6．已知函数f(x)的定义域为R．(1)若f(x)在随意区间内的平均改变率均为正数，则f(x)是__增__函数(填“增”或“减”)；(2)若f(x)在随意区间内的平均改变率均比g(x)＝2在同一区间内的平均改变率小，则f(x)是__减__函数(填“增”或“减”)．[解析]设x1，x2∈R，且x1≠x2，(1)则有eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＞0，∴f(x)是增函数．(2)由于g(x)＝2在[x1，x2]上的平均改变率为0，∴eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＜0，∴f(x)是减函数．7．函数y＝eq\f(1,x2)在x0到x0＋Δx之间的平均改变率为__－eq\f(2x0＋Δx,x0＋Δx2x\o\al(2,0))__．[解析]∵Δy＝eq\f(1,x0＋Δx2)－eq\f(1,x\o\al(2,0))，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(1,x0＋Δx2)－\f(1,x\o\al(2,0)),Δx)＝－eq\f(2x0＋Δx,x0＋Δx2x\o\al(2,0))．三、解答题8．下面是y随x的增大而得到的函数值表：x12345678910y＝2x2481632641282565121024y＝x2149162536496481100y＝2x＋79111315171921232527y＝log2x011.58522.3222.5852.80733.1703.322试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的改变趋势？(2)各函数增长速度的快慢有什么不同？[解析](1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．(2)由题表可以看出：各函数增长速度的快慢不同，其中y＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为y＝x2，增长速度也在变快；而y＝2x＋7的增长速度不变；增长速度最慢的是y＝log2x，其增长速度越来越慢．9．巍巍泰山为五岳之首，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受．下面是一段登山路途