2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.4幂函数学案含解析新人教B版必修第二册

4.4幂函数学习目标1.通过详细问题,了解幂函数的概念.2.从描点作图入手,画出y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-13.理解和驾驭幂函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.自主预习1.一般地,幂函数的表达式为,其特征是以幂的为自变量,为常数.

2.幂函数的图像及性质(1)在同一坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的图像如图.结合图像,填空.(1)全部的幂函数图像都过点,在(0,+∞(2)当α>0时,幂函数图像过点,且在第一象限内单调;当0<α<1时,图像上凸,当α>1时,图像.

(3)若α<0,则幂函数图像过点,并且在第一象限内单调,在第一象限内,当x从+∞趋向于原点时,函数在y轴右方无限地靠近于y轴,当x趋于+∞时,图像在x轴上方无限靠近x轴.

(4)当α为奇数时,幂函数图像关于对称;当α为偶数时,幂函数图像关于对称.

(5)幂函数在第象限无图像.

课堂探究例1(1)下列函数:①y=x3;②y=12x;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x;⑦y=ax(a>1).其中幂函数的个数为(A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知y=(m2+2m-2)xm

2-2+2n-3是幂函数,求跟踪训练1(1)已知幂函数f(x)=k·xα的图像过点12,22,则A.12 B.1 C.3(2)已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,则a+b等于()A.2 B.1 C.12例2比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1和2.51.1;(2)a2+2-跟踪训练2比较下列各组数的大小.(1)250.(2)-23-例3探讨函数y=x23的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并依据核心素养专练1.以下结论正确的是()A.当α=0时,函数y=xα的图像是一条直线B.幂函数的图像都经过(0,0),(1,1)两点C.若幂函数y=xα的图像关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数的图像不行能在第四象限,但可能在其次象限2.下列不等式成立的是()A.13-B.342C.232D.8-73.函数y=x-3在区间[-4,-2]上的最小值是.

4.若幂函数fx=(m2-m-1)xm2-2m-参考答案自主预习1.y=xα底数指数2.(1)(1,1)(2)(0,0),(1,1)递增下凸(3)(1,1)递减(4)原点(0,0)y轴(5)四课堂探究例1(1)B解析:幂函数有①⑥两个.(2)由幂函数定义求参数值.解:由题意得m2+2m-所以m=-3或1,n=32跟踪训练1(1)C解析:由幂函数的定义知k=1.又f12=22,所以12α=22,解得α=(2)A解析:因为fx=ax2a+1-b+1是幂函数,所以a=1,-b+1=0,即a=1,b=1,则a+b=2.例2(1)考查幂函数y=x1.1,因为在其区间[0,+∞)上是增函数,而且2.3<2.5,所以2.31.1<2.51.1.(2)考查幂函数y=x-13,因为其在区间(0,+∞)上是减函数,而且a2+2≥2,所以(a2+2)跟踪训练2解:(1)因为幂函数y=x0.5在(0,+∞)上是单调递增的,又25>13,所以25(2)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,又-23<-35,所以-2例3因为y=x23=3记fx=x23,则f(-x)=(-x)23=3(-x)2=3x2=x通过列表描点,可以先作出y=x23在x∈[0,+∞)时的函数图像,再依据对称性,可作出它在x∈(-∞由图像可以看出,函数在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增.核心素养专练1.D2.A3.-18解析:因为函数y=x-3=1x3所以当x=-2时,ymin=(-2)-3=-184.2解析:由题意,得m2-m-1=1,得m=2或m=-1.当m=2时,m2-2m-3=-3,符合要求.当m=-1时,m2-2m-3=0不符合要求.故m=2.学习目标1.驾驭幂函数的概念、图像和性质.2.熟识α=1,2,3,12,-1时的五类幂函数的图像、性质及其特点3.能利用幂函数的图像与性质解决综合问题.自主预习1.在关系式N=ab(a>0,a≠1)中.①假如把b作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?②假如把N作为自变量,b作为因变量,这是什么函数?③假如把a作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?2.视察函数y=x,y=x2,y=x12,y=x-3幂函数的定义:3.给出下列函数,其中是幂函数的有.

①y=3x2②y=x2-1③y=-1x④y=⑤y=x-13课堂探究1.问题①:给出下列函数:y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x问题②:依据问题①,假如让我们起一个名字的话,你将会给它们起个什么名字呢?请给出一个一般性的结论.2.问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?探讨幂函数的性质呢?问题④:依据函数y=x12,y=x3问题⑤:画出y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图像,通过对以上五个函数图像的3.例题讲解例1已知y=(m2+2m-2)xm2-1+2n-3是定义域为R的幂函数,求m例2比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1,2.51.1;(2)(a2+2)-13变式训练1比较下列各组的大小.(1)-8-78和-1978;(2)(-2)-3和(-(3)(1.1)-0.1和(1.2)-0.1;(4)(4.1)25,(3.8)-例3探讨函数y=x23的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并依据变式训练2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.(1)y=x25;(2)y=x-34核心素养专练1.(多选题)给出下列说法,其中正确的是()A.幂函数的图像均过点(1,1)B.幂函数的图像都在第一象限内出现C.幂函数在第四象限内可以有图像D.随意两个幂函数的图像最多有两个交点2.已知幂函数f(x)的图像经过点(8,4),则f127的值为(A.19 B.9 C.13.已知a=243,b=425,c=2A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b4.若幂函数y=(m2-3m+3)xm-2的图像不过原点,则()A.1≤m≤2 B.m=1或m=2C.m=2 D.m=15.(开放性题)(1)已知函数f(x)=xα的定义域为[0,+∞),则满意条件的α可以是.(写出两个满意条件的α值)

(2)已知幂函数f(x)=xα的图像经过点(0,0),(1,1),(-1,1),(4,2)中的三个点,则满意条件的α可以是.

6.如图所示是6个函数的图像,则图中的a,b,c,d从大到小排列为.

7.已知幂函数f(x)=xα的图像经过点2,18,则α=,若f(a+1)<f(3-2a),实数a8.求出下列函数的定义域,并推断函数的奇偶性.(1)f(x)=x2+x-2;(2)f(x)=x+3x(3)f(x)=x3+x13;(4)f(x)=2x4+9.在同一个直角坐标系中,作出下列函数的图像,并总结出一般规律.(1)y=x-3,y=x-13,(2)y=x9参考答案自主预习略课堂探究1.略2.略3.例1m=-3,n=3例2(1)2.31.1<2.51.1(2)(a2+2)-1变式训练1(1)-8-78<-1978(2)(-2)-3<((3)(1.1)-0.1>(1.2)-0.1(4)(-1.9)34<(3.8例3通过列表描点,可以先作出y=x23在x∈[0,+∞)时的函数图像,再依据对称性,可作出它在x∈(-∞,0]时的图像.作图略.由图像可以看出,函数y=x23在区间(-∞变式训练2(1)定义域为R,是偶函数,在[0,+∞)单调递增,在(-∞,0]上单调递减.(2)定义域为(0,+∞),非奇非偶函数,在(0,+∞)上单调递减.(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是偶函数,在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.核心素养专练1.AB2.D3.A4.B5.(1)α=12或α=34(2)2或127.-3