空间向量学习知识重点归纳情况总结

空间向量知识点归纳总结

知识要点。

1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2.空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB=OA+AB=a-¥b,~BA=OA-OB=a-b,OP=Aa^^R）

运算律：⑴加法交换律：a^b=b+a

⑵加法结合律：（5+3）+^=不+（在+不）

⑶数乘分配律：20+万）=质+与

3.共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线

向量或平行向量，2平行于记作不〃月。

当我们说向量B共线（或1〃坂）时，表示G、B的有向线段所在的直线可能是同

一直线，也可能是平行直线。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量1、b存在实数九使1=4坂。

4.共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，万与向量力,5共面的条件是存在实数

x,y使广二依+）石。

5.空间向量基本定理：如果三个向量口反不不共面，那么对空间任一向量。，存在一个

唯一的有序实数组x,y,z,使万=点+）3+zd。

若三向量舒忑不共面，我们把｛1,5,曾叫做空间的一个基底，石出忑叫做基向量，空

间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设O,A,8,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数

x,y,z,使OP=xC^4+），QB+zOC。

6.空间向量的直角坐标系：

（1）空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系。-tyz中，对空间任一点A,存在唯一的有序实数组（x,y,z）,使

加=总+讶+不，有序实数组a,y,z）叫作向量A在空间直角坐标系O-种中的坐标,

记作A（x,y,z）,x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正交基底，用

表示。

（3）空间向量的直角坐标运算律：

①若。=（4，々2，/），石=（4也也），则a+B=（q+4，生+a，q+4）,

a—b=（a}一瓦%_3，4_4），^a=（Aa^,2a,）（2GR），

ab=+a2b2+%4，

a〃石o4=Ab、,%=Ab?,%=Ab3（AeR）,

aLb<=>a]b]+帖2+%4=。。

②若A（x，y,Z1）,B（X2，y2,z2）f则荏=（%-%,必一如打一马）。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点

的坐标。

（4）模长公式：若a=（q,4,q）,b=（b^b2,b3）,

则|a|=\laa=Ja；+出2+"，I51=赤石=Jb；+b；+公

（5）夹角公式：8S（75）=Eh=r=她+吟+她_

两点间的距离公式：若

（6）A（%,y,Z]）,B（Xj,y2,z2）,

则|而222

|=V^=7（x2-x1）+（y2-y,）+（z2-zl）,

或加=—6A+（必-11）」+g-々）2

7.空间向量的数量积。

（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量在空间任取一点。，作

OA=ck~OB=l）,则NAO8叫做向量1与5的夹角，记作<25>；且规定0«v25>《乃，

显然有<亍,5>=〈反汗>；若>=三,则称a与5互相垂直，记作：aLbo

2

（2）向量的模：设次=彳，则有向线段函的长度叫做向量值的长度或模，记作：|1|。

（3）向量的数量积：已知向量。,方，则|M|・|，|・cosv落叫做。出的数量积，记

作亍•日，即M・B=mi|B|・cos<45>。

（4）空间向量数量积的性质：

®a-e=\a\cos<a,e>a@a.Lboab=0o③

（5）空间向量数量积运算律：

①（然）石=20石）=方（防。®ab=ba（交换律）。

@a（b+c）=ab+ac（分配律）。

（6）：空间向量的坐标运算：

1.向量的直角坐标运算

设万二回,4，6），方=（伪/2也）则

（1）万+5=（q+伪,电+1,4+4）；

(2)a—b=(a]-b^ay-b2ya3-b3)；

（3）%]=（几q,力^，也）（xGR）；(4)a•b=q,+a2b2+/4;

2.设A(%,y,Z]),B(x2,y2,z2),则4吕=。3-方=(x,-xpy2-ypz2

11

3、设〃=(x，y[,Z1),Z?=(x2,y2,z2),则

1111111111

aPb<=>«=Ab(bwO)：a±b<=>ab=O<^>%毛+yy2+z^z2=0.

4.夹角公式设H=(q吗,%),b=((,她),则(3<,ab>=]ff产

[a：+4+/击36；+匕

5.异面直线所成角[j

cos。=|cos&M|二皿二।|中冷*+平2|

、'\a\-\b\&+短+zj•宿+W☆

6.平面外一点p到平面a的距离

已知AB为平面a的一条斜线，G为平面a的一个法

向量，A到平面a的距离为：d=--z~~1

1〃1

【典型例题】

例1.已知平行六面体ABCD-ABXTD'化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。

（DAB+BC：⑵通+而+包

11

（3）通+而+-无；（4）-（AB+4D+A?）o

G

例2.对空间任一点。和不共线的三点A,aC,问满足向量式：AB

OP=xOA-^yOB^zOC（其中x+y+z=l）的四点P,4，aC是否共面？

例3.已知空间四边形OA8C,其对角线03,AC,M,N分别是对边。ABC的中点,

点G在线段WN上，且MG=2GN,用基底向量弧砺,反表示

向量OG“

B

例4.如图，在空间四边形。ABC中，QA=8,AB=6,AC=4,BC=5,ZOAC=45°,

/。48=60。，求OA与BC的夹角的余弦值。八

说明：由图形知向量的夹角易出错，如v04/＞=135°易错写成＜34部＞=45°,

切记！

例5.长方体4BCO—A4G。中，AB=BC=4,£为RG与5A的交点，F为BC、

与4c的交点，又AhBE,求长方体的高8隹。

空间向量与立体几何练习题

一、选择题

1.如图，棱长为2的正方体ABCD-A4GA在空间直角坐标

系中，若E,尸分别是中点，则前的坐标为()

A.(1,2,-1)BJ-

C.(―1,—2,1)D.(1,-2,—1)

AB

2.如图，ABCAABiQ故是正方体，B这1=现尸\二-^,则跖与如

4

所成角的余弦值是()

3.在四棱锥尸—A8CO中，底面A8CD是正方形，E为PD中点,

若7X=£,PB=b,PC=c,则8£=()

l-1p1一1-11-

A.—a——b+—cB.—a——br——c

222-222

^La--b^-c

222

图

二、填空题

4.若点41,2,3),B(-3,2,7),且正+配=C,则点。的坐标为.

5.在正方体ABCD-4耳。〃中，直线与平面48G夹角的余弦值为—

三、解答题

乃

1、在正四棱柱ABCD-ABCD中，AB1与底面ABCD所成的角为一,

4

(1)求证_LHffABC(2)求二面角4-AC-3的正切值

2.在三棱锥P-ABC中，AB=AC=3

AP=4,口4_1.面”。，ZBAC=90°,。是P4中点，点七在3。上,

且3E=2CE,(1)求证：AC±BD；(2)求直线OE与PC夹角。的余

弦值；(3)求点A到平面BDE的距离d的值.

3.在四棱锥户一力眼中，底面451力是一直角梯形，/胡890°,AD/iBC,AB=BC=a,力大2a,

且为_L底面力为力，必与底面成30°角.

(1)若川江阳，£为垂足，求证：BELPDx

(2)求异面直线/If与切所成角的余弦值.

4、已知棱长为1的正方体/心，E、F分别是8C、GD的中点.(1)求证：E、F、D、8共面;

(2)求点4到平面的面EF的距离；(3)求直线4D与平面为EF所成的角.

6

5、已知正方体力腼一48£〃的棱长为2,点£为棱仍的中点，求：

(I)〃£与平面8Q9所成角的大小；(II)二面角ABG—C的大小;

【模拟试题】

1.已知空间四边形ABC。，连结AC,3。，设M,G分别是BC,CD的中点，化简下列

各表达式，并标出化简结果向量：(1)AB+BC+CD；(2)AB-^-iBD+BC),

2

(3)AG-^(AS+AC)O

2.已知平行四边形ABCQ,从平面AC外一点。引向量。

OE=kdA.OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD.(1)求证：四点E,F,G,H共面；

(2)平面AC〃平面EG。

3.如图正方体中，耳七|=。耳=一片与，

4

求BE与。耳所成角的余弦。

4.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)。

⑴求以向量初,正为一组邻边的平行四边形的面积S；

⑵若向量万分别与向量通,正垂直，旦|。|=6，求向量万的坐标。

5.已知平行六面体ABCD-AB'C'。'中，A6=4,AD=3,A4'=5,ABAD=90°,

^BAA!=^DAA!=60c,求AC的长。

［参考答案］

1.解：如图,

(1)而+配+历=衣+丽=彷

(2)AB+-(5D+BC)=AB+-BC4--BDO

222

=AB+BM+MG=AG；

(3)AG-^(AB+AC)=AG-AM=MG.

2.解：(1)证明：•・•四边形ABC。是平行四边形，.••衣=丽+而，

-EG=OG-OE,

=k-OC-kOA=k(OC-OA)=kAC=k(AB+AD)

=k(OB-OA+OD-OA)=OF-OE+OH-OE

=EF+EH

・・・E,尸,G,H共面;

(2)解：•：百=而一历=k◎一端=ka,又•：反=k•/,

・•.EF//AB.EG//AC.

所以，平面AC〃平面EG。

解：不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系。-孙z,