安徽省A10联盟2025届高三上学期12月质检考试数学试题【含答案解析】

A10联盟2025届高三上学期12月质检考数学试题本试卷分第乙卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则元素个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，再根据交集的定义可求.详解】由题意得，，从而．故选：B．2.已知复数满足，则（）A.2 B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算求出复数的代数形式，再由复数模的公式求模.【详解】由题意得，，则，．故选：A.3.设等差数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根据题意得到，再解方程组求解即可.【详解】由，得，解得，则．故选：C．4.已知圆柱和圆锥的底面半径及高均相等，且圆锥侧面展开图为一个半圆，则该圆柱和圆锥的侧面积的比值为（）A.2 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根据圆锥侧面展开图是半圆，结合圆周长和扇形的弧长公式，结合圆锥和圆柱的侧面积公式进行求解即可.【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，由圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，得，即，圆锥的高，所以圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，故圆柱和圆锥的侧面积之比为．故选：D5.已知，则（）A. B.7 C. D.【答案】C【解析】【分析】对已知前二个等式两边同时平方，并相加，根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式、同角的三角函数关系式中商关系进行求解即可.【详解】由得：①；由得：②；①+②得，由得则有，．故选：C．6.已知，若正实数满足，则的最小值是（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的性质得，然后利用基本不等式的常数代换技巧求解最值即可.【详解】由题意得，故是定义在R上的奇函数，由为增函数知是增函数，因为，所以，即，所以.故选：A7.已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为点，且在内仅有3个零点，则的值为（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B【解析】【分析】应用辅助角公式可得，结合正弦型函数的对称性及已知有求，最后由区间零点个数有，即可确定参数值.【详解】由题设，函数其对称中心到对称轴的最短距离是，两对称轴间的最短距离是，所以，即，所以，．因为函数在内仅有3个零点，所以，解得，所以.故选：B8.已知可导函数的定义域为是的导函数，且均为奇函数，，则（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性，结合导数运算法则计算即可.【详解】因为为奇函数，则，即，两边求导得，所以关于直线对称，即，∴①又因为为奇函数，则，即，可知关于点对称，即②，由①②得，，，即8为的周期．注意到，所以，.故选：D．二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（）A.数列是等差数列 B.数列是递增数列C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用与的关系，结合数列增减性的判断、等比数列的通项公式与求和公式即可得解.【详解】因为，当时，，解得；当时，，则，整理得，则，所以是以1为首项，3为公比的等比数列，故A错误，则数列是递增数列，故B正确，且，，故CD正确.故选：BCD.10.设函数，则（）A.当时，的图象关于点对称B.当时，方程有个实根C.当时，是的极大值点D.存在实数，恒成立【答案】ABD【解析】【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项；利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断B选项；当时，利用导数分析函数的单调性，可判断CD选项.【详解】对于A选项，当时，，因为，所以，，所以的图象关于点对称，故A正确；对于B选项，当时，，则，令，可得或，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以，，又因为，如下图所示：由图可知，直线与函数的图象由三个交点，即时，方程有个实根，故B正确；对于C选项，，当时，，此时函数在上单调递增，故C错误；对于D选项，当时，函数在上单调递增，此时恒成立，故D正确．故选：ABD．11.已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线（为切点），则下列结论正确的是（）A.的最小值为B.当轴时，四边形的面积为C.原点到直线距离的最大值为D.的外接圆恒过两个定点【答案】AD【解析】【分析】直接证明切线长可判断A，举反例判断B，用求两圆公共弦所在直线方程法求出直线方程，然后求点到直线的距离可判断C，用参数表示求出的外接圆方程，利用恒等式知识求得两定点坐标后判断D．【详解】A选项，由题意得，，则．设，所以，故A正确；B选项，由于满足条件，但此时，故B错误；C选项，设点到的距离为，以为直径的圆的方程为，即，两圆方程相减得的方程为，所以，故C错误；D选项，由可知，的外接圆是以为直径的圆，由C可知圆的方程为，即，由，解得或，故该圆恒过和，故D正确．故选：AD．第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若向量、满足，，，则_______．【答案】【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】因为，，，则，所以，，所以，因此，.故答案为：.13.设双曲线的左、右焦点分别为是上一点，且．若的面积为16，则的离心率为_______．【答案】【解析】【分析】由得，可得，结合以及三角形面积公式即可求解.【详解】根据双曲线的定义可得，即，由可得，所以，又因为，所以，即，，即，因为，所以，所以，即，解得，所以．故答案为：.14.若直线上一点可以作曲线的两条切线，则点纵坐标的取值范围为_______．【答案】【解析】【分析】先求出过点的切线方程，分离参数变量，转化为函数直线与曲线有两个交点,借助导数研究单调性和最值，结合图像可解.【详解】曲线即曲线，在曲线上任取一点，对函数求导得，所以曲线在点处的切线方程为，即，又切线过点，则.令，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以．由题意知，直线与曲线有两个交点，则，当时，，当时，，故故答案为：.四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知中，角所对的边分别为，且．（1）若，求的值；（2）记的面积为，当取得最小值时，求的值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用诱导公式以及正弦定理可得，再利用余弦定理可得结果；（2）利用余弦定理由基本不等式计算可得当时取得最小值，代入计算即可.【小问1详解】因为，所以，即，则．因为，所以．【小问2详解】因，当且仅当时，等号成立，此时，则，则16.已知函数．（1）解不等式：；（2）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）解不等式得到，令，求导得到函数单调性，结合，得到答案；（2），求导，不合要求，故，二次求导，得到导函数单调性，得到最值，结合函数走势得到不等式，求出实数取值范围.【小问1详解】由，得，即．令，则，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，则等价于，即，解得，故所求不等式的解集为．【小问2详解】，，由题意知，．当时，在上单调递增，所以至多有一个零点，不合题意，所以．令，因为存在两个极值点，所以有两个正零点，易知，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减．注意到，当，要使有两个零点，需，解得，即实数的取值范围是．17.如图，在平行六面体中，．（1）求证：平面平面；（2）若平面平面，点在线段上，且直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）利用直线与平面垂直的判定证得平面，因为平面，由平面与平面垂直的判断即可得得证；（2）先由平面与平面垂直的性质得到平面，从而可得，建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面的法向量，利用平面与平面的夹角的余弦公式即可求解.【小问1详解】因为．由余弦定理求得，，所以，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．【小问2详解】因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，结合（1）知，两两垂直，则以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，如图所示．则，故，所以，所以．设，则，即，所以．设平面的法向量为，则，令，则，所以．因为，所以，解得，从而，记平面的法向量为，则，令，则，所以．则，即平面与平面的夹角余弦值为．18.已知椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，且抛物线的准线截所得弦长为．（1）求的方程；（2）若过点的直线与交于两点（在轴上方），与轴交于点．①记，求证：定值；②求的最小值．【答案】（1）（2）①证明见解析；②．【解析】【分析】（1）先化简整理抛物线的标准方程，求得椭圆的左焦点为，根据题意列出的关系式，利用待定系数法即可求解；（2）①设直线：，且与椭圆联立方程组，求出韦达定理表达式，根据向量共线的性质可得的定值；②将韦达定理表达式表示出的关系式，采用换元法以及二次函数的最值即可求解.【小问1详解】由题意知，抛物线整理得，焦点为，所以椭圆的左焦点为，则有，又因为抛物线的准线截所得弦长为，将代入，可得，即所得弦长为椭圆通径，解得，故的方程为．【小问2详解】①由题意知，，直线的斜率存在且不为零，设，联立，消去得：，，设Ax1,由，点的横坐标为0，得，从而，所以为定值4．②由①知，，则，令，当，即时，取得最小值．【点睛】关键点点睛：第二小问中，列出韦达定理的表达式，借用向量共线问题对的求值进行运算是解题关键，本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查运算能力，属于较难题.19.若数列满足：，若存在，都有，则称这个数列为下界数列，并把其中最小的值叫做临界值，记为.（1）记数列前项和为，证明：数列是下界数列；（2）记数列前项和为，判断数列是否为下界数列，并说明理由；（3）若数列是首项及公比均为2的等比数列，记，数列的临界值为，证明：．【答案】（1）证明见解析（2）数列不是下界数列，理由见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等比数列的前