第三章经典单方程计量经济学模型

第三章经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型1§3.1多元线性回归模型一、线性代数有关知识的回顾二、多元线性回归模型三、多元线性回归模型的基本假定2一、线性代数知识的回顾1、矩阵与行列式矩阵是把n×m个数排成n行m列的表，并用该表来研究线性运算。行列式是把个数排成n行和n列，并计算出它的值。因此，可以看出，矩阵是一张表，而行列式是一个值。例如是矩阵，而是行列式。32、有关矩阵的几个概念（1）向量与矩阵向量可以看成是n×1或者是1×n的矩阵。例如是行向量，是列向量。注意：上述的行向量和列向量实际上是同一向量，只是写法形式上不同。（2）矩阵的秩设矩阵

4矩阵A的秩r(A)是指A中不为零的行列式最大阶数。例如A中有行列式但该行列式不是最大阶数非零的行列式，因为在该矩阵中，还有行列式5矩阵A的秩是3。若方阵A的秩等于它的阶数，称A是非奇异矩阵。（3）矩阵的转置矩阵的转置就是把矩阵的行变成对应的列，把矩阵的列变成对应的行。例如则A的转置是6（4）矩阵的逆设A是n阶非奇异矩阵，若存在矩阵B满足，称矩阵A是可逆的，矩阵B是矩阵A的逆矩阵。注意：n阶矩阵A是非奇异的A的秩是nA是可逆的（5）逆矩阵的求法逆矩阵的求法常见的有行变换法和列变换法两种。行变换法是把矩阵A与它同阶的单位矩阵I并排放列，对应的行对齐，组成一个新的大矩阵，对大矩阵进行行的初等变换，使得原来的矩阵A的部分变成单位矩阵，原来单位矩阵的部分就是A的逆矩阵。例如

现在求A的逆矩阵如下78所以A的逆矩阵是

9（6）矩阵的运算ⅰ加法运算矩阵的加法运算是同阶矩阵对应的元素相加。例如10（ⅱ）矩阵的乘法设A是m×n阶矩阵，B是n×p阶矩阵，则AB的(i，j）元素是A的第i行与B的第j列对应元素乘积的和。例如则有注意：1、矩阵相乘时必须满足前面矩阵的列数与后面矩阵的行数相等

2、矩阵的乘法是不满足交换律，即AB≠BA。（A与B可以相乘，B与A不一定能相乘，即使能相乘，也不一定相等。）11二、多元线性回归模型多元线性回归模型的一般形式是，称为回归系数。上述回归函数的确定形式是将上述模型的随机形式写成矩阵形式12其中13同样，在给出总体中的一个样本时，可以估计样本回归函数，并让它近似地代表未知的总体回归函数。样本回归函数可以表示为其随机形式是写成矩阵形式是14，其中15例题在一项对社区家庭对某种消费品的消费需要调查中，得到下表所示的资料。我们用多元线性回归模型表示如下16序号对商品的消费支出Y商品单价家庭月收入1591.923.5676202654.524.4491203623.632.07106704647.032.46111605674.031434035.30143408724.038.70159609757.139.631800010706.846.681930017写成矩阵形式是18三、多元线性回归模型的基本假定假定1：解释变量是非随机的或者固定的。假定2：随机干扰具有零均值，同方差及序列不相关。

19假设3：解释变量与随机干扰项不相关。假设4：随机干扰项满足正态分布

i=1,2,…,n假设5：样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数。假设6：回归模型设定正确。20§3.2多元线性回归模型的参数估计一、普通最小二乘估计二、参数估计量的性质三、例题讲解21一、普通最小二乘估计1、的最小二乘估计设是样本数据，多元回归模型是22根据最小二乘原理，参数估计值应使

达到最小。根据微积分学知识，对Q求偏导数，并令其等于零，得23化简得到正规方程组24（1）25将上述过程用矩阵形式表达出来是

在满足基本假定的情况下，多元线性回归模型的设计矩阵X是列满秩的（X的秩和X的列数相等）。

（2）根据最小二乘原理，应使下列（3）为最小。

（3）根据微积分学原理，对（3）求关于的偏导数，并令其等于零，得

26也就是（4）（4）就是正规方程组。其中

在正规方程组（4）的两边，左乘，得27例2.1.1的讲解根据课本第28页的表2.1.3中的样本数据，有28按行变换法求的逆矩阵，得29302、随机干扰项的方差的估计

其中i=1，2，…，n.K为回归方程中解释变量的个数31二、参数估计量的性质和一元线性回归模型一样，多元线性回归模型的参数估计量也具有下列性质：1、线性性2、无偏性3、有效性见书（P63）32三、例题讲解例3.2.2在例2.5.1中，我们已经建立了中国居民人均消费的一元线性模型。这里我们在建立多元线性回归模型。在中国，居民消费是在国内生产总值经过初次分配和再分配后形成的，所以选择人均国内生产总值（GDPP）是恰当的，另外，居民消费有一定的惯性，因此，在模型中，再引入前一年的居民人均消费（CONSP（-1））作为另一解释变量。样本观测值在表2.5.1（在下页）33年份人均居民消费支出人均GDP19781979198019811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199819992000395.8437.0464.1501.9533.5572.8635.6716.0746.5788.3836.4779.7797.1861.4966.61048.61108.71213.11322.81380.91460.61564.41690.8675.1716.9763.7792.4851.1931.41059.21185.21269.61393.61527.01565.91602.31727.21949.82187.92436.12663.72889.13111.93323.13529.33789.734应用EViews5.0软件计算如下DependentVariable:CONSP Method:LeastSquares Date:10/15/07Time:14:58 Sample(adjusted):223 Includedobservations:22afteradjustments Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob.

C 120.7253 36.51374 3.306299 0.0037 GDPP 0.221359 0.060973 3.630462 0.0018 CONSP(-1) 0.451408 0.1703182.650380 0.0158

R-squared 0.995403

Meandependentvar 928.4909AdjustedR-squared0.994919

S.D.dependentvar 372.6339S.E.ofregression26.56264

Akaikeinfocriterion9.523012Sumsquaredresid13405.90

Schwarzcriterion 9.671791Loglikelihood -101.7531

F-statistic 2056.887Durbin-Watsonstat 1.278902

Prob(F-statistic) 0.000000

35所以回归函数（随机形式）是36作业1、求下列矩阵的逆矩阵2、研究发现，学生用于购买书籍及课外读物的支出与本人受教育年限和家庭收入水平有关。对18名学生进行调查的统计资料如下表所示。试求出学生购买书籍及课外读物的花费与受教育年限和家庭收入水平的回归方程。。37学生序号购买书籍及课外读物支出（元/年）受教育年限（年）家庭人均可支配收入（元/年）1234567891011121