湖南省邵阳市北塔区2024年中考数学模拟预测题含解析

湖南省邵阳市北塔区2024年中考数学模拟预测题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.定义：如果一元二次方程orz十）x+c=0（40）满足a+"c=0,那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方

程（a邦）满足a・"c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是

“美好”方程，则下列结论正确的是（）

A.方有两个相等的实数根B.方程有一根等于0

C.方程两根之和等于0D.方程两根之积等于0

2.如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O,E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28,则OE的长等于（）

3.如图，BD是NABC的角平分线，DC/7AB,下列说法正确的是（）

C.AD=BCD.点A与点C关于BD对称

4.一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球（不放回）,

再从余下的2个球中任意摸出1个球则两次摸到的球的颜色不同的概率为（）

5.如图，在△ABC中,NACB=90。,ZABC=60°,BD平分NABC,P点是BD的中点，若AD=6,则CP的长为（）

D

A.3.5B.3C.4D.4.5

6.今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m,若将短边增长到长边相等（长边不变）,

使扩大后的棣地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600机2,设扩大后的正方形绿地边长为xm,下面

所列方程正确的是（）

A.x（x-60）=1600

B.x(x+60)=1600

C.60(x+60)=160()

D.60(K-60)=1600

7.如图，AB是CO的直径，点C,D在上，若NDCB=110,则NAED的度数为（）

A.15B.20C.25D.30

8.已知一元二次方程x2—6x+c=0有一个根为2,则另一根为

C.4I).8

9.如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的主视图是（）

10.下列命题正确的是（）

A.对角线相等的四边形是平行四边形

B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

357911

11.已知。1=—>ai——1。3=»“4=,。5=,…，贝“〃=____•（〃为正整数）.

25101726

12.已知实数m,n满足3加？+6加一5=0,3/+6〃-5=0,且〃1工〃，则”+'=.

tnn

13.一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为・1,则另一个根为.

14.如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E,ZA=30°,ZACB=80°,贝！1NBCE=

15.圆锥的底面半径为4c/〃，高为5”〃，则它的表面积为c加.

16.若一个多边形的每一个外角都等于40。，则这个多边形的边数是.

17.如图是由大小完全相同的正六边形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个正六边形分别涂上其中

的一种颜色，则上方的正六边形涂红色的概率是_______.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，AAHC是等腰三角形，AB=ACf点。是AB上一点，过点。作OE_LBC交5c于点E,交C4

延长线于点凡证明：AAO尸是等腰三角形；若N〃=60。，〃0=4,AD=2f求EC的长，

19.（5分）在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,点P是△ABC内一点，5.ZPAC+ZPCA=—,连接PB,试探究PA、

2

PB、PC满足的等量关系.

（1）当「60。时，将△ABP绕点A逆时针旋转6。。得到△ACP，，连接PP，，如图1所示.由△ABPg^ACP，可以证

得△APP，是等边三角形，再由NPAC+/PCA=30。可得NAPC的大小为度，进而得到△CPP，是直角三角形，

这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为;

（2）如图2,当a=120。时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；

（3）PA、PB、PC满足的等量关系为.

20.（8分）如图，已知AC和BD相交于点O,且AB〃DC,OA=OB.

求证：OC=OD.

21.（10分）如图，在。。中，A〃为直径，OC_LA3,弦CO与交于点R在的延长线上有点E,且

（1）求证：是。。的切线；

（2）若tanA=!，探究线段A5和BE之间的数量关系，并证明；

（3）在（2）的条件下，若OF=L求圆。的半径.

22.（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线yi=2x-2与双曲线y尸勺交于A、C两点，AB_LOA交x轴于点B,

x

且OA=AB.

（1）求双曲线的解析式；

（2）求点C的坐标，并直接写出yiVyz时x的取值范围.

23.（12分）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形

中完成卜列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹.

在图1中画出一个45。角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这

图1

个角的一边；在图2中画出线段AB的垂直平分线.

24.（14分）已知：关于x的方程X?-（2m+l）x+2m=0

（1）求证：方程一定有两个实数根；

（2）若方程的两根为Xi,X2,且|xi|=|xz|,求m的值.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】

试题分析：根据己知得出方程。必+加+c=O（存0）有两个根x=l和X=-1,再判断即可.

解；.・•把x=l代入方程^^+以+。=0得出：a+"c=O,

把x=-1代入方程a^+bx+c^得出a・Z>+c=0,

二方程ax2+bx+c=d（存0）有两个根x=l和x=T,

，1+（-1）=0,

即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；

故选C.

2、A

【解析】

根据菱形的四条边都相等求出AB,再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD,然后判断出OE是△ABD的中位线,

再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可.

【详解】

解：菱形ABCD的周长为28,

AAB=2«-r4=7,OB=OI),

・・・E为AD边中点，

AOE是AABD的中位线，

11

AOE=-AB=-x7=3.1.

22

故选：A.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键.

3、A

【解析】

由BD是NABC的角平分线，根据角平分线定义得到一对角NABD与NCBD相等，然后由DC〃AB,根据两直线平

行，得到一对内错角NABD与NCDB相等，利用等量代换得到NDBC=NCDB,再根据等角对等边得到BC=CD,从

而得到正确的选项.

【详解】

•・・BD是NABC的角平分线，

AZABD=ZCBD,

XVDC/7AB,

AZABD=ZCDB,

AZCBD=ZCDB,

ABC=CD.

故选A.

【点睛】

此题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质.学生在做题时，若遇到两直线平行，往往要想到用两直线平行得

同位角或内错角相等，借助转化的数学思想解决问题.这是一道较易的证明题，锻炼了学生的逻辑思维能力.

4、B

【解析】

本题主要需要分类讨论第一次摸到的球是白球还是红球，然后再进行计算.

【详解】

21211

①若第一次摸到的是白球，则有第一次摸到白球的概率为；，第二次，摸到白球的概率为不，则有7乂二=二；②若

32323

第一次摸到的球是红色的，则有第一次摸到红球的概率为!，第二次摸到白球的概率为1,则有:乂1=!，则两次摸

333

112

到的球的颜色不同的概率为37+37=7.

333

【点睛】

掌握分类讨论的方法是本题解题的关键.

5、B

【解析】

解：TNAC3=90。,NA3C=60。，

AZA=10°,

■:BD平分NABC,

:.ZABD=-AABC=10°,

2

AZA=ZABD,

1・BD=AD=6,

•・•在RS8CO中，P点是的中点，

：.CP=^BD=\.

故选B.

6、A

【解析】

试题分析：根据题意可得扩建的部分相当于一个长方形，这个长方形的长和宽分别为x米和(x-60)米，根据长方形

的面积计算法则列出方程.

考点：一元二次方程的应用.

7、B

【解析】

试题解析：连接AG如图，

•••A3为直径，

:.NAC”=90。，

:.ZACD=ZDCB-ZACB=110。-90。=20°,

：.ZAED=ZACD=20°.

故选B.

点睛；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.

8、C

【解析】

试题分析：利用根与系数的关系来求方程的另一根.设方程的另一根为%则a+2=6,解得a=l.

考点：根与系数的关系.

9、D

【解析】

试题分析：根据三视图的法则可知B为俯视图，D为主视图，主视图为一个正方形.

10、C

【解析】分析：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可.

详解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，A错误；

对角线相等的平行四边形是矩形，B错误；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；

对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；

故选：C.

点睛：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉

课本中的性质定理.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

2〃+1

11、

H2+1

【解析】

观察分母的变化为〃的1次基加1、2次幕加1、3次募加1…,〃次累加1；分子的变化为：3、5、7、9...2/Z+1.

【详解】

7911

解：Vai=-,ai=—,。3=-----，--，--，

25101726

2n+l

2"+1

故答案为:

n2+1

【点睛】

本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案.

_22

12、-----.

5

【解析】

试题分析：由加工〃时，得到m,n是方程3d+6x-5=0的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解.

试题解析：:加工〃时，则m,n是方程3x2・6x-5=0的两个不相等的根，・,•〃?+〃=2,

3

，，/。2"-2x（—二）””

，原式=31=〃"〃）-一2叽一—=-§,故答案为

mnmn_355

-3

考点：根与系数的关系.

13、-1.

【解析】

因为一元二次方程的常数项是已知的，可直接利用两根之积的等式求解.

【详解】

•••一元二次方程x2+mx+l=0的一个根为・1,设另一根为xi,

由根与系数关系：・l・xi=L

解得X1=-1.

故答案为1

14、1

【解析】

根据△ABC中DE垂直平分AC,可求出AE=CE,再根据等腰三角形的性质求出NACE=NA=30。，再根据NACB=80。

即可解答.

【详解】

；DE垂直平分AC,ZA=30°,

AAE=CE,ZACE=ZA=30°,

VZA€B=80°,

.•.ZBCE=80c-30o=l0.

故答案为：L

15、（4"T+16）乃

【解析】

利用勾股定理求得圆锥的母线长，则圆锥表面积二底面积+侧面积FX底面半径的平方+底面周长X母线长

【详解】

底面半径为4cm,则底面周长=8;rcm,底面面积=16?rcmi;

由勾股定理得，母线长二V4^57=V41cm

圆锥的便面面积-x8^x屈=4屈曲,

2

，它的表面积=(16TT+4"J乃)cni'=(4V4T+16j^cm1,

故答案为：卜河+16)乃.

【点睛】

本题考查了有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路:解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：(1)圆锥的母线

长等于便面展开图的施形半径;(1)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.

16>9

【解析】

解：360+40=9,即这个多边形的边数是9

1

17>-

3

【解析】

试题分析：上方的正六边形涂红色的概率是乙，故答案为L.

33

考点：概率公式.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)见解析；(2)EC=1.

【解析】

(1)由A6=AC,可知N3=NC,再由OE_L6C,可知/尸+NC=90,>,ZBDE+ZB=90[>,然后余角的性质可推出

NF=/BDE,再根据对顶角相等进行等量代换即可推出N，'=N""4,于是得到结论；

(2)根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论.

【详解】

(1)*：AB=ACf

；・NB=4C,

9

：FE±BCt

AZF+ZC=90°,N〃OE+N5=900,

:・NF=4BDE,

而

:・NF=/FDA,

：.AF=ADf

•••△AOF是等腰三角形；

(2)VDE±HCt

AZDEB=90°,

VZB=60°,30=1,

：.BE=-BI)=2t

Jo

*：AB=ACt

・••△45C是等边三角形，

：•BC=AB=AD+BD=(^9

：.EC=BC-BE=\.

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等知识点，关键根据相关的性质定理，通过等量

代换推出/尸=/尸7”，即可推出结论.

，a

19、(1)150,PA2+PC2=PB2(1)证明见解析(3)4PA2sin7+PC-=PB2

【解析】

（1）根据旋转变换的性质得到A尸为等边三角形，得到NPPC=90。，根据勾股定理解答即可；

（1）如图1,作将△AS尸绕点A逆时针旋转110。得到AACP,连接PP,作AO_LPP于。，根据余弦的定义得到PP

=9人,根据勾股定理解答即可;

（3）与（1）类似，根据旋转变换的性质、勾股定理和余弦、正弦的关系计算即可.

试题解析：

【详解】

解：（1）;△ABP❷△ACP',

：.AP=AP\

由旋转变换的性质可知，NB4p=60。，P'C=PB,

，△乃1产为等边三角形，

，NAPP=60。，

VZE4C+ZPCA=-x600=30°,

2

AZAPC=150°,

:.NP'PC=90°,

:・PP"+PCi=P9,

：.PAX+PCX=PB\

故答案为150,PA}-\-PC=PBxx

（1）如图，作NR4P=120。，使人〃=4〃，连接F尸，过点4作尸于。点.

fo

■:ZBAC=ZPAP=\20f

即Z.BAP+APAC=APAC+ZCAP,

:./BAP=/CAP.

f

•：AB=ACfAP=AP,

,

：.i.BAP^..CAP.

1QA_/pAP'

:•PC=PB,ZAPD=AAP,D=——=^-=30°.

2

VAD±PP,

・•・ZADP=90\

・••在Rtz\APQ中，PD=AP-cosZAPD=—AP.

2

:.PP-2PD=y/3AP•

VZE4C+ZPC4=60°,

AZAPC=18O-ZPAC-ZPC4=12O°.

・•・AP,PC=ZAPC-ZAPD=9O°.

，在Rt.PPC中，PrP2-\-PC2=PC）.

:.3PA1-\-PC2=PB2;

（3）如图1,与（1）的方法类似，

作将△ABP绕点A逆时针旋转«得到△ACP\连接P产,

作40_LPP于D,

ff

由旋转变换的性质可知，ZPAP=atPC=PBt

.,.ZAPr=90°-—,

2

••・N%C+NPCA=a,

2

/.ZArC=180°--,

2

aa

:・ZP'PC=(180°--)-(900--)=90°,

22

••・PP"+PCi=PC"，

a

VZ4PF=90°-—,

2

.,a、a

.•PD=PA*cos(90°——)=M*sin一,

22

,a

，"'=lP4・sin—,

2

：.4PAlsinl--^PC'=PBl

2t

(7

故答案为^Psin*—+尸。”=尸乩

2

【点睛】

本题考杳的是旋转变换的性质、等边三角形的性质、勾股定理的应用，掌握等边三角形的性质、旋转变换的性质、灵

活运用类比思想是解题的关键.

20、证明见解析.

【解析】

试题分析：首先根据等边对等角可得NA=NB,再由DC〃AB,可得ND=NA,ZC=ZB,进而得到NC=ND,根据

等角对等边可得CO=DO.

试题解析：证明：VAB/7CD

AZA=ZDZB=ZC

VOA=OB

AZA=ZB

AZC=ZD

.*.OC=OD

考点：等腰三角形的性质与判定，平行线的性质

21、(1)答案见解析；(2)AB=1BE；(1)1.

【解析】

试题分析：(1)先判断出NOCP+NC尸0=90。，再判断出NOCP=Na)尸，即可得出结论；

(2)先判断出N3O£=NA,进而得出得出4£=20瓦DE=2BE,即可得出结论；

3

(1)设BE=x,则。辰EF=2x,AB=lxf半径。。=丁达进而得出OE=l+2x,最后用勾股定理即可得出结论.

试题解析：(1)证明：连结()Df如图.二EF=ED,：.4EFD=4EDF.二乙EFD=4CFO,；.4CFO=4EDF.TOCIOF,

AZOCF+ZCFO=9Q°.VOC=ODt:・NOCF=NODF,/.ZODC+ZEDF=9^,艮RNO〃E=90。,IODIDE.'・,点。

在。。上，・・・OE是。。的切线;

(2)线段AB、5E之间的数量关系为：AB=IBE,证明如下:

a

/.ZADB=90°,：.ZADO=ZBDE,：OA=ODt：.ZADO=ZAf：,ZBDE=ZAf^ZBED=ZDEAf

.DEBEBD,dBD1,DEBE\

:AEBDsAEDA,.RtAABD41,tan4=-----=—>•==-

*~AE~~DE~~ADAD2AEDE2

工AE=2DE,DE=2BEf：.AE=4BEf：.AB=1BE；

3

(1)设BE=x,贝！JOE=£T=2x,AB=\x半径OO=-x.*：OF=\：.OE=l+2x,

f2t

3?

在RtAOOE中，由勾股定理可得：(-x)2+(2x)2=(l+2x)2,.\r=-一(舍)或x=2,・,•圆。的半径为1.

29

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和

性质，勾股定理，判断出AEBOs/^£D4是解答本题的关键.

4

22>(1)刈=-；(1)C(-1,-4),x的取值范围是xV-1或OVxVL

x

【解析】

【分析】(D作高线AC,根据等腰直角三角形的性质和点A的坐标的特点得：x=lx-l,可得A的坐标，从而得双

曲线的解析式；

(1)联立一次函数和反比例函数解析式得方程组，解方程组可得点C的坐标，根据图象可得结论.

【详解】(1)•・•点A在直线yklx・l上,

・••设A(x,lx-1),

过A作AC_LOB于C,

VAB1OA,且OA=AB,

.*.OC=BC,

AAC=-OB=OC,