湖南省宁乡市2024年高三二诊模拟考试数学试卷含解析

湖南省宁乡市2024年高三二诊模拟考试数学试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知各项都为正的等差数列也｝中，%+%+%=15,若4+2,%+4,，+16成等比数列，贝ij%=（）

A.19B.20C.21D.22

22

2.已知双曲线5一与二1（aX）fb>0）的左、右焦点分别为EF,以OF（。为坐标原点）为直径的圆。交

a2b2

双曲线于40两点.若直线人石与圆C相切.则该双曲线的离心率为（）

4V2+3V602V2+V6「3x/2+2x/603X/2+V6

2222

3.已知函数/（x）=J-x-/"+cc均为常数）的图象关于点（2,1）对称，则f（5）+/,（-1）=（）

A.-2B.-1C.2D.4

TTTT

4.已知函数/（x）=sin（2x—：）的图象向左平移0（。>0）个单位后得到函数gQ）=sin（2九+一）的图象，则夕的最小

44

值为（）

5.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱

离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%.2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其

中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率

见下表：

实施项目种植业养殖业工厂就业服务业

参加用户比40%40%10%10%

脱贫率95%95%90%90%

那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（）

27B.圣倍48D.1倍

A.五倍C.不倍

JJ

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

166+4y/%D.1673+^^

33

7.若复数z满足z=(2+i)(l—i)(i是虚数单位)，则|z|二()

A.半B.加D.亚

2

8.二A5C的内角A8,C的对边分别为〃,4c,若(2。一力)85。=,以拈8,则内角。二()

9.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为()

r

cD.

11.已知命题〃：VXGR,x2-x+1<0；命题q：BLreR,A:2>2X,则下列命题中为真命题的是()

A.PMB.-PMC.〃八FD.T)人r

12.已知集合A=<，，3={x[T<x<0}则Af|8=()

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(x)=〈二：=八，若关于x的方程/(工)=；；工+。有且只有两个不相等的实数根，则实数。

j(x-2),x>02

的取值范围是________________.

y<2x+l,

14.若变量工，满足约束条件2x+y«4,则z=x-2)，的最大值为.

J+220,

15.若奇函数/⑺满足/(x+2)=-“X),履同为K上的单调函数，对任意实数xcR都有&U)-2'+2]=l,

当工40』时，/(x)=g(x),则/(log212)=.

16.设片、乃分别为椭圆/：二+二二1的左、右两个焦点，过耳作斜率为1的直线，交「于4、2两点，则

43

14^1+136|=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知。>0,]>0,C>0设函数/(同=,-4+卜+4+4，XGR.

(1)若。=〃=C=1,求不等式/(x)〉5的解集；

(2)若函数/(x)的最小值为1,证明：-1T+3+-^->18(a+h+c).

'/a+bb+cc+a

18.(12分)如图所示，直角梯形ABCD中，AD//BCfAD±AB,AB=BC=2AD=2f四边形EDCF为矩形,

CF=6平面瓦>b_L平面ABCD.

⑴求证：DF平面ABE；

⑵求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值.

⑶在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为立，若存在，求出线段BP的长，若不

4

存在，请说明理由.

19.（12分）己知函数..

（1）讨论二:二的单调性；

（2）当-时，..，求-的取值范围.

匚（二）十—IW

i

20.（12分）在AABC中，角A氏C的对边分别为4%若瓜="sinC+VJcosC）.

（1）求角8的大小；

（2）若A=C,为AABC外一点，DB=2,CD=1,求四边形4?。。面积的最大值.

3

3乃

=8D+rcos——

x=2+2cosa

21.（12分）已知曲线G的参数方程为〈。.（。为参数），曲线C的参数方程为24(/为

y=2sina.3兀

y=rsm——

-4

参数）.

（1）求G和G的普通方程；

（2）过坐标原点。作直线交曲线G于点M（M异于。），交曲线C?于点N,求兽黑的最小值.

||

22.（10分）已知王,9,七£（。,+8）,且满足％+赴+七=3%々七，证明：工/2+工2工3+七司之3.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

试题分析：设公差为40+6+4==15=>田=%+2〃=5=q=5—2d=>[a]+2)(q+5"+16)

=(7—2d)(3d+21)=81n2d?+7d—22=0=d=2或"=-口(舍)=>a=l=a.=1+9：<2=19,故选A.

2*-

考点：等差数列及其性质.

2、D

【解析】

连接C4,AF,可得但。二与，在二ACT中，由余弦定理得Ab,结合双曲线的定义，即得解.

【详解】

连接C4,AF,

则|oq=|CA|=|C/|=］，目=c，

所以|EC|g,|FC|=-|

在即工E4C中，［4目=0c,cosZACE--,

故cosZACF=-cosZ.ACE=--

3

在一AC尸中，由余弦定理

AF2=CA2+CF2-2CACF•cosZACF

可得

根据双曲线的定义，得亚c-£=2a，

3

c_263&+6

所以双曲线的离心率“="=二

逐-3&一向-2-

V2-T

故选：D

【点睛】

本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

3、C

【解析】

根据对称性即可求出答案.

【详解】

解：•・•点(5,/(5))与点(-1,满足(5-1)4-2=2,

故它们关于点(2,1)对称，所以/(5)V(-1)=2,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题.

4、A

【解析】

首先求得平移后的函数g")=sin2_¥+2°-7,再根据sin(2.E+2e_：J=sin2x+(J求°的最小值.

【详解】

根据题意，/。)的图象向左平移。个单位后，所得图象对应的函数

g(x)=sin2(工+夕)一工71=sin(2x+-­)=sin(2x+—),

4444

所以它入Z’所以心自,"…,所以。的最小值为:.

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.

5、B

【解析】

设贫困户总数为。，利用表中数据可得脱贫率P=2X40%X95%+2X10%X90%,进而可求解.

【详解】

设贫困户总数为叫脱贫率P=2x40%x95%=2>d0%x90%j94%,

a

94%47

所以----=—

70%35,

47

故2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的—倍.

35

故选：B

【点睛】

本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.

6、D

【解析】

结合三视图可知，该几何体的上半部分是半个圆锥，下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.

【详解】

由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆

锥的体积V=lxlx47ix2>/3=生生，下半部分的正三棱柱的体积K=^X4X2^X4=16>/3，故该几何体的体积

233~2

V=V+K=i^+16x/3.

-3

故选:D.

【点睛】

本题考查三视图，考查空间几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.

7、B

【解析】

利用复数乘法运算化简z,由此求得忖.

【详解】

依题意z=2+i-2i—，一3—7,所以同一,32+(-1)2一晒.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题.

8、C

【解析】

由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得.

【详解】

V(2a-b)cosC=ccosB,由正弦定理可得(2sinA-sinB)cosC=sinCcosBt

*.2sin4cosc=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,

三角形中sin4H0,；・cosC=—,AC=—.

23

故选：C.

【点睛】

本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键.

9、A

【解析】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代

入求得表面积公式计算.

【详解】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2,

底面为等腰直角三角形，斜边长为2〃，如图：

B

的外接圆的圆心为斜边AC的中点。，0O_LAC,且OQu平面SAC,

-SA=AC=2t

・•.SC的中点。为外接球的球心，

半径R=6，

外接球表面积S=44x3=12万.

故选；A

【点睛】

本题考杳了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据

求得外接球的半径是解答本题的关键.

10、A

【解析】

根据排除C,D,利用极限思想进行排除即可.

【详解】

解：函数的定义域为｛封工工。｝,/（幻>。恒成立，排除C,D,

当x>0时，/（犬）=当XTO,/(x)f0,排除8,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题.

11、B

【解析】

根据/<o,可知命题〃的真假，然后对x取值，可得命题q的真假，最后根据真值表，可得结果.

【详解】

对命题〃：

可知△=（7『_4<0,

所以VxeR,X2-X+1>0

故命题〃为假命题

命题q：

取x=3,可知3?>23

所以3X6R,X2>2r

故命题4为真命题

所以八"为真命题

故选：B

【点睛】

本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.

12、C

【解析】

由题意和交集的运算直接求出A|B.

【详解】

V集合A="，，3={x|-1cxv。}

AB=mx|—1<x<—>.

2

故选:c.

【点睛】

本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、E3)

【解析】

3

画出函数Ax)的图象，再画y戈+〃的图象，求出一个交点时的。的值，然后平行移动可得有两个交点时的。的范

围.

【详解】

函数/G)的图象如图所示：

3

因为方程/(x)=-X+6/有且只有两个不相等的实数根，

所以y=fM图象与直线y=^x+a有且只有两个交点即可，

当过(0,3)点时两个函数有一个交点，即。=3时，与函数有一个交点，

由图象可知，直线向下平移后有两个交点,

可得av3,

故答案为：(-J).

【点睛】

本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化，数形结合的思想，属于中档题.

14、7

【解析】

画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可容易求得目标函数的最大值.

【详解】

作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.

观察可知，当直线z=x-2＞过点C(3,-2)时，z有最大值，znm=7.

故答案为：7.

【点睛】

本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想，属基础题.

15、--

3

【解析】

根据/(1+2)=-〃力可得，函数是以4为周期的函数，令g(x)—2"+2=K可求g(x)=2T,从而可得

r

/(x)=g(x)=2-l,/(log212)=-/(2-log23)代入解析式即可求解.

【详解】

令g(x)-2'+2=左，贝ijg(x)=2+2,-2,

由g[g(x)-2'+2]=l,则g㈤=1,

所以g(A)=A+2J2=l,解得％=1,

所以g(1)=2'-l,

由xw[ai]时,〃x)=g(x),

所以工q0/时,/(x)=2v-l；

由/(x+2)=—/(x),所以/(x+4)=—/(x+2)=/(x),

所以函数/(x)是以4为周期的函数，

/(log212)=/(log234-log24)=/(log23+2)=/(log23-2),

又函数/(x)为奇函数，

「-11

所以/(log2⑵=_/(2_log?3)=-[22-'^3-1]=-1.

故答案为：-§

【点睛】

本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题.

“32

16、—

7

【解析】

由椭圆的标准方程，求出焦点”的坐标，写出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长，利用定义可得

\AF2\+\BF2\+\AB\=4at进而求出IA5|+|8玛|。

【详解】

2222

由三十二二1知，焦点爪一1,0),所以直线/：y=x+i,代入三十匕=1得

4343

3X2+4(X+1)2=12,即7f+8x-8=0,设4%,.%),8(%，%)，

8.14nle,、41/824

「・X+9=——9故=2a+e(石+s)=4+1x(——)=

由定义有，|4g1+|86|+|相|=4〃，

2432

所以|”|+|叫|=4x2-y=yo

【点睛】

本题主要考查椭圆的定义、椭圆的简单几何性质、以及直线与椭圆位置关系中弦长的求法，注意直线过焦点，位置特

殊，采取合适的弦长公式，简化运算。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)(—8,-2)U(2,«O)；(2)证明见解析

【解析】

（1）利用零点分段法，求出各段的取值范围然后取井集可得结果.

（2）利用绝对值三角不等式可得。+。+c、=l,然后使用柯西不等式可得结果.

【详解】

(1)由〃=〃=c=l,所以/(1)=上一1|+k+1|+1

由/⑺>5

当时，则/(丫)=1一丫一1一丫+l>Sn丫<—2

所以xv—2

当-1vxvl时，则/(x)=l-x+I+x+l>5nxc0

当xNl时，贝lj/(x)=x—l+l+x+l>5=x>2

综上所述：X£(f-2)。(2,田)

(2)由卜一〃|+卜+d之k一〃一(x+c)|=\b+c\

当且仅当(xi)(x+C)《0时取等号

所以fW=k_q+k+d+a之M+d+a

由。>(),/?>(),0OJnin(力=1，

所以a+b+c=1

a+bb+cc+a.

所以丁+三-+亍=1

._(\49a+bb+cc+

令『=〔言+直7+77^(丁+三+三

根据柯西不等式，则72优+3+爰）=18

]_2=312

当且仅当即〃=0/=—,c=—取等号

a+bb+cc+a33

由a>0,b>0,c>0

故人住专++)=®又a+O+c=l

I49

贝!]----+----+——>18(a+Z)+c)

a+bb+cc+a

【点睛】

本题考查使用零点分段法求解绝对值不等式以及柯西不等式的应用，属基础题.

18、(I)见解析(ID(Ill)BP=2

31

【解析】

试题分析：

(I)取。为原点，OA所在直线为“轴，。石所在直线为z轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面A屏:的法向量

〃二(6.0,1),且Ob=(-1,2,百)，据此有£)/.〃=(),则OF//平面A8E.

(II)由题意可得平面班户的法向量〃z=(26,4),结合(I)的结论可得k°s6|=|向百卜等^即平面A8E

与平面EEB所成锐二面角的余弦值为且.

31

(m)设DD=；IDF=(T,2463),2e[0,l],则3尸=(一4一1,24—2,&),而平面A班:的法向量

〃二(6.0,1),据此可得sin°=|cosBP,〃卜半，解方程有4=；或%=；.据此计算可得|8P卜2.

试题解析:

(I)取。为原点，D4所在直线为x轴，力E所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(l,0,0),3(1,2,0),

£(0,0,73),F(—l,2,@,・,・BE=(—L—2,6)，AB=(0,2,0),

一下?；[m二°，不妨设刀=(后o',又。歹=口2,@,

设平面ABE的法向量〃=(R,yz),

:・DFF=—6+6=。，；・DF1.，又・・・。F0平面ABE,・・・OF//平面4的.

(H)・・・8E=(-1,—2,6),8尸二卜2,0,6),设平面班户的法向量加=(%)，*),

f—2y+fz=0,不妨设巾=。疗,石,4),

-2x+V3z=0,'7

・・・平面/与平面耳3所成锐二面角的余弦值为豆豆.

31

（ni）设尸=/i(—1,2,0)=(-2,22,5/3A),Ae[O,l],AP(-Z,22,x/32),

・・・BP=(-2-l,2A-2,A/32),又・.•平面A8E的法向量〃=(G,0,1),

II|->/3A->/3+Vizi百।1

/.sin<9=cosBP,/?=-J「8/l2-62+l=0»・・.义=一或4二一

12，(—+1)2+(2"21+3储424

【解析】

(1)f(x)=(x+l)ex-ax-a=(x+1)(ex-a).对a分类讨论，即可得出单调性.

(2)由xe'-ax-a+lNO,可得a(x+l)<xex+l,当x=-l时，0S-.+1恒成立.当x>-l时，a一二令g(x)=一二，,

.曹，UU

DS04/QW

利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.

【详解】

解法一：（1）--一二二二一二二一二二；二二一二及二+匕

①当二三二时,

n-1(T+切

口'但-0+

口3极小值/

所以二（二在r.T）上单调递减，在T.十句单调递增.

②当:］时，口的根为二二4二或二=

若力二＞一」，即_、/'

U＞z

n(F—T)-1Inn(taa+x)

口’(D]+0-0+

n(q7极大值X极小值7

所以二二在一75,—.；，:二二.十•上单调递增，在一.：：二二上单调递减.

若力二二一中即一/

口=0

丁（口）之二在一二+「：上恒成立，所以乂匚产（―7+.上单调递增，无减区问.

若工二＜7即厂/

。〈口V

口m匚8二一。-1(T+均

口’(D]+0-0+

n(q7极大值极小值/

所以二二在―冬：二二，-J14-.上单调递增，在二二一：上单调递减.

综上：

当二＜J时，二二在—A—］上单调递减，在一二十二上单调递增；

当一，.时，：］（二百（yUR，（T+工）上单调递增，在Q二一。上单调递减;

。＜口＜湍

—

自时，二（二件（一X,+工卢单调递增，无减区间；

二

当时，二1二在一工..「工二.+工上单调递增，在二:口二上单调递减，

（2）因为二口1一匚：］_口+八4,所以匚（匚.二M二二二♦，

当一=_对，：恒成立.

-04M

当二＞时，

令

二（二）=

设二（二）=二二（二-Z+/）-?

因为二'（二）=二二（二+。（二+2）＞冰：］/（-/,+•）上恒成立，

即二（匚）=二4二•-二-1-.•在二«T,+x〕上单调递增•

又因为二Q--＞所以二二二.在_1必上单调递减，在Q+X］上单调递增,

二仁）=

则二日；［=二。二』所以二£j・

综上，二的取值范围为一a刀.

解法二：（1）同解法一；

⑵令.,.，

C（iZ）=二（口）+=：・-：+，=二二・一二二一二十1

所以二1二）=二二♦二二二-二=二：（二+/）-口

当二S第h二（口）之下则二（二在一；“卢单调递增,

所以，满足题意.

二（：j）N二S）：・一！+」＞。

W

当。V口MJ时，

令二二i二二二十二二二一二，

因为匚（二）=2二二,+二二1二＞0即二（二）二口口+口口。一二在：一二-L上单调递增•

又因为工-/）=-口＜@,匚（0）=」一二之。

所以1「一-二,.—--_-在［-］］］上有唯一■的解，记为一,

㈠，J%（0产电

□g-0+

口3极小值/

1-O-)«il.=-(-0)=-，；-——.：__+1

=二二T一(二・：4二(L)二J-(二T/二0二；)*J

.r,n.，满足题意.

=一匚7|(二；.3；.：］.」之「二一：./之£

当二>」时，二(0)=一二'+；：<0,不满足题意.

综上，二的取值范围为一S,3.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能

力，属于难题.

20、(1)B=-(2)犯1+2

34

【解析】

(1)根据正弦定理化简等式可得tan5=6,即4=。；

(2)根据题意，利用余弦定理可得BC2=5-4COSO,再表示出SM叱=sin。，表示出四边形,〃。，进而可得最

值.

【详解】

(1)73^=Z?(sinC+75cosC),由正弦定理得：Jisi