初中数学自主招生难度讲义-7年级专题05 数与形的第一次联姻

专题5数与形的第一次联姻阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想．运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在一下几个方面：1．利用数轴能形象地表示有理数；2．利用数轴能直观地解释相反数；3．利用数轴比较有理数的大小；4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．例题与求解【例1】已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于_____________．（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：确定A，B在数轴上的位置，求出A，B两点所表示的有理数．【例2】在数轴上和有理数对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：①，②，③，④，其中，正确的结论有（）个．A．4B．3C．2D．1（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：从数轴上得到，再对代数式进行逐以一判断．【例3】如图所示，已知数轴上点所对应的数都不为0，且是的中点．如果，试确定原点的大致位置．解题思路：从化简等式入手，而是解题的关键．【例4】（1）阅读下面材料：点在数轴上分别表示实数两点之间的距离表示为．当两点中有一点在原点时，当A、B两点都不在原点时，

①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；

②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；

综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是______________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________________；

②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是______________，如果|AB|＝2，那么x为_________；

③当代数式|x＋1|十|x－2|取最小值时________，相应的x的取值范围是___________．④求的最小值．（江苏省南京市中考试题）解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式所表示的意义，来回答所提出的具体问题．【例5】某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来．解题的关键是怎样将实际问题转化为求的最小值．【例6】如图，是数轴上表示－30的点，是数轴上表示10的点，是数轴上表示18的点，点在数轴上同时向正方向运动．点运动的速度是6个单位长度/秒，点和点运动的速度是3个单位长度/秒．设三个点运动的时间为t（秒）．

（1）当t为何值时，线段AC＝6（单位长度）？

（2）t≠5时，设线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，求2PM－PN＝2时t的值．（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：（1）三点在数轴上同时向正方向运动，分别当点运动到点左侧和右侧两种情况来分析求解．（2）先将三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点M始终在点左侧，则分为“点在左边”，“点在之间”，“点在右边”三种情况来求解．能力训练A级1．已知数轴上表示负数有理数的点是点，那么在数轴上与点相距个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是______________．（江苏省竞赛试题）2．如果数轴上点到原点的距离为3，点到原点的距离为5，那么两点的距离为______________．3．点分别是数，在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到的中点对应数3，则点对应的数是________________，点移动的距离是____________．（“希望杯”邀请赛试题）4．已知，且，那么有理数的大小关系是_________________________．（用“＜”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛试题）5．在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是（）．A．1998B．1999C．2000D．2001（重庆市竞赛试题）6．如图，为数轴上的两点表示的有理数，在中，负数的个数有（）A．1B．2C．3D．4（“祖冲之”邀请赛试题）7．有理数在数轴上的位置如图所示，式子化简结果为（）．A．B．C．D．8．如图所示，在数轴上有六个，且，则与点所表示的数最接近的整数是（ ）．A．－1B．0C．1D．2（“希望杯”邀请赛试题）9．已知为有理数，在数轴上的位置如图所示：且，求的值．10．电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左挑一个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是19.94．则电子跳蚤的初始位置点所表示的数是_________________．11．如图，已知分别为数轴上两点，点对应的数为－20，点对应的数为100．（1）求过中点对应的数．（2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．B级1．有理数在数轴上的位置如图所示：则化简的结果为_____________________．2．电影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墙进入“”的镜头（如示意图中站台），构思奇妙，给观众留下深刻的印象．若站台分别位于－2，－1处，，则站台用类似电影里的方法称为“_________________站台”（《时代学习报》数学文化节试题）3．在数轴上，若点与原点的距离是点与三〇若对应的点之间的距离的4倍，则点表示的数是_________________．（河南省竞赛试题）4．若，则使成立的的取值范围是__________________．（武汉市选拔赛试题）5．如图，直线上有三个不同的点，且，那么，到三点距离的和最小的点为（ ）．A．点外B．线段的中点C．线段外一点D．无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）6．点都在数轴上，点在原点的左边，且，点在点的右边，且，点在点的左边，且，点在点的右边，且，，依照上述规律，点所表示的数分别为（ ）．A．2008，－2009B．－2008，2009C．1004，－1005D．1004，－1004（福建省泉州市中考试题）7．设，则下列四个结论中正确的是（ ）．A．没有最小值B．只有一个使去最小值C．有限个（不止一个）使去最小值D．有无穷多个使取最小值（全国初中数学联赛试题）8．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点对应的数分别是整数，且，那么数轴的原点对应点是（ ）．A．B．C．D．（“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题）9．已知，求的最大值和最小值．（江苏省竞赛试题）10．如图，在环形运输线路上有六个仓库，现有某种货