北京高考14年数学试卷

北京高考14年数学试卷一、选择题

1.下列函数中，定义域为全体实数的函数是：（）

A.$y=\sqrt{1-x^2}$

B.$y=\frac{1}{x}$

C.$y=\log_2(x+1)$

D.$y=\sqrt[3]{x-1}$

2.已知函数$f(x)=x^2-4x+3$，则$f(2)$的值为：（）

A.1

B.3

C.5

D.7

3.下列命题中，正确的是：（）

A.若$a>b$，则$a^2>b^2$

B.若$a>b$，则$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$

C.若$a>b$，则$-a<-b$

D.若$a>b$，则$a^2+1>b^2+1$

4.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^n-1$，则数列$\{a_n\}$的第5项为：（）

A.31

B.32

C.33

D.34

5.下列方程中，无解的是：（）

A.$x^2-3x+2=0$

B.$x^2-2x+1=0$

C.$x^2+3x+2=0$

D.$x^2+4x+4=0$

6.下列不等式中，正确的是：（）

A.$2x-3>x+1$

B.$3x-4<2x+1$

C.$2x+3>3x-1$

D.$3x-2<2x+4$

7.已知向量$\mathbf{a}=(2,3)$，向量$\mathbf{b}=(-1,2)$，则$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$的值为：（）

A.5

B.-5

C.0

D.1

8.下列命题中，正确的是：（）

A.若$|a|=|b|$，则$a=b$

B.若$|a|=|b|$，则$a\leqb$

C.若$|a|=|b|$，则$a\geqb$

D.若$|a|=|b|$，则$a=-b$

9.下列函数中，单调递增的函数是：（）

A.$y=-x^2$

B.$y=2x^2$

C.$y=x^3$

D.$y=\frac{1}{x}$

10.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^n$，则数列$\{a_n\}$的前5项和为：（）

A.63

B.64

C.128

D.256

二、判断题

1.在直角坐标系中，所有第二象限内的点都满足$x<0$且$y>0$。（）

2.若函数$f(x)=x^3$在区间$(0,+\infty)$上单调递增，则函数$f(x)=\sqrt[3]{x}$在区间$(0,+\infty)$上单调递减。（）

3.向量$\mathbf{a}=(3,4)$和向量$\mathbf{b}=(4,3)$的模相等，且这两个向量垂直。（）

4.数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-n+1$，则数列$\{a_n\}$是一个等差数列。（）

5.若实数$a$和$b$满足$a>b$，则$\log_ab$和$\log_ba$的大小关系不确定。（）

三、填空题

1.函数$f(x)=3x^2-6x+9$的顶点坐标为______。

2.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=4n^2-5n$，则数列$\{a_n\}$的通项公式$a_n$为______。

3.若$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，且$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$，则$\cos\alpha$的值为______。

4.已知等差数列$\{a_n\}$的第一项为$2$，公差为$3$，则第$10$项$a_{10}$的值为______。

5.向量$\mathbf{a}=(2,-3)$与向量$\mathbf{b}=(4,6)$的数量积为______。

四、简答题

1.简述一元二次方程的求根公式及其适用条件。

2.请解释什么是等差数列和等比数列，并给出它们的通项公式。

3.如何判断一个二次函数的图像是开口向上还是开口向下？请给出判断依据。

4.简要说明向量的数量积和向量积的定义，并举例说明它们在几何中的应用。

5.请解释什么是三角函数的周期性，并说明正弦函数和余弦函数的周期是多少。

五、计算题

1.计算下列函数的导数：$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$。

2.解一元二次方程：$x^2-5x+6=0$。

3.求等差数列$\{a_n\}$的前10项和，其中$a_1=3$，公差$d=2$。

4.计算下列向量的模：$\mathbf{a}=(5,-3)$。

5.求解直线$y=2x+1$和圆$x^2+y^2=4$的交点。

六、案例分析题

1.案例背景：某学校计划在校园内种植花草，预算为6000元。已知购买花的价格为每盆20元，购买草的价格为每平方米10元。学校希望购买的花草总面积达到100平方米。

案例分析：假设学校购买花盆的数量为$x$盆，购买草的面积为$y$平方米，根据预算和面积要求，列出方程组：

$$

\begin{cases}

20x+10y=6000\\

x+y=100

\end{cases}

$$

请解此方程组，求出购买花盆的数量和购买草的面积。

2.案例背景：一个学生在进行物理实验时，需要测量一个物体在斜面上的加速度。实验中，物体沿斜面下滑，测得物体下滑的时间为2秒，下滑的距离为10米。已知斜面的角度为30度。

案例分析：假设物体的质量为$m$千克，斜面的摩擦系数为$\mu$，重力加速度为$g$（取$g=9.8\text{m/s}^2$）。根据牛顿第二定律和斜面上的运动学公式，列出以下方程：

$$

mgsin(30^\circ)-\mumgcos(30^\circ)=ma

$$

$$

s=\frac{1}{2}at^2

$$

其中，$a$为物体的加速度，$s$为物体下滑的距离，$t$为物体下滑的时间。

请根据上述方程，求解物体的加速度$a$。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产两种产品A和B，产品A的利润为每件50元，产品B的利润为每件30元。工厂每天有100小时的机器时间和150小时的工人时间。生产产品A需要2小时的机器时间和3小时的工人时间，生产产品B需要3小时的机器时间和2小时的工人时间。为了最大化利润，工厂应该生产多少件产品A和产品B？

2.应用题：一个圆形池塘的半径为10米。假设池塘中的水以每小时1米的速度向外扩散。求3小时后池塘中心的剩余水域面积。

3.应用题：一辆汽车从静止开始以恒定加速度$a$加速，经过时间$t$后，速度达到了$v$。如果汽车在相同时间内以加速度$2a$加速，求它达到的速度。

4.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为$2x$、$3x$和$4x$。如果长方体的体积是$192$立方单位，求$x$的值。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.D

2.B

3.C

4.A

5.D

6.C

7.A

8.C

9.C

10.A

二、判断题

1.×（第二象限的点满足$x<0$且$y>0$，但不是所有满足该条件的点都在第二象限）

2.×（$f(x)=x^3$在$(0,+\infty)$上单调递增，但$f(x)=\sqrt[3]{x}$在$(0,+\infty)$上单调递增）

3.√（向量的模相等且方向垂直）

4.×（$a_n=n^2-n+1$不是等差数列）

5.√（$\log_ab$和$\log_ba$的大小关系取决于$a$和$b$的值）

三、填空题

1.(1,3)

2.$a_n=2n-1$

3.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

4.20

5.14

四、简答题

1.一元二次方程的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，适用于$a\neq0$的一元二次方程。

2.等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，等比数列的通项公式为$a_n=a_1\cdotr^{(n-1)}$，其中$a_1$为首项，$d$为公差，$r$为公比。

3.二次函数的图像开口向上当且仅当二次项系数$a>0$，开口向下当且仅当二次项系数$a<0$。

4.向量的数量积定义为$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|a||b|\cos\theta$，向量积定义为$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=|a||b|\sin\theta$，其中$\theta$为$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$之间的夹角。

5.三角函数的周期性指的是函数值在每隔一定的时间间隔后重复出现。正弦函数和余弦函数的周期均为$2\pi$。

五、计算题

1.$f'(x)=6x^2-6x+4$

2.$x=2$或$x=3$

3.$S_{10}=2(1+2+...+10)-5(1+2+...+10)=630$

4.$|\mathbf{a}|=\sqrt{5^2+(-3)^2}=\sqrt{34}$

5.交点坐标为$(1,3)$和$(-2,-1)$

六、案例分析题

1.解方程组：

$$

\begin{cases}

20x+10y=6000\\

x+y=100

\end{cases}

$$

得到$x=40$，$y=60$。

2.求剩余水域面积：

$$

\text{剩余水域面积}=\pi\cdot10^2-\pi\cdot(10-3)^2=282.74\text{平方米}

$$

3.求加速度$a$：

$$

a=\frac{v^2}{2st}=\frac{v^2}{2\cdot\frac{1}{2}\cdot2t^2}=\frac{2v^2}{t^2}

$$

如果以加速度$2a$加速，则：

$$

v'=at=2\cdot\frac{2v^2}{t^2}\cdott=4v

$$

4.求解$x$：

$$

2x\cdot3x\cdot4x=192\\

24x^3=192\\

x^3=8\\

x=2

$$

知识点总结：

本试卷涵盖了高中数学中的基础知识点，包括函数、方程、数列、向量、三角函数、立体几何等。以下是各题型所考察的知识点详解及示例：

一、选择题：考察对基本概念和性质的理解，如函数的定义域、一元二次方程的解法、数列的通项公式、向量的数量积和向量积、三角函数的周期性等。

二、判断题：考察对基本概念和性质的判断能力，如不等式的性质、向量的性质、数列的性质、三角函数的性质等。

三、填空题：考察对基本概念和公式的记忆，如函数的导数、数列的前$n$项和、三角函数的值、向量的模等。

四、简答题：考察对基