2025年北师大新版高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大新版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（）

A.3

B.4

C.6

D.9

2、如图所示的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象．已知n分别取-1，l，2四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相应的n依次为（）

A.2，1，-1

B.2，-1，1，

C.1，2，-1

D.-1，1，2，

3、已知函数的最小正周期为则该函数图象（）A.关于点对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于直线对称4、已知AB为圆C的弦，C为圆心，且||=2，则=（）A.﹣2B.2C.D.﹣5、已知圆心在点P(－2,3)，并且与y轴相切，则该圆的方程是（）A.B.C.D.6、在中，边a,b,c所对的角分别为A,B,C，则解的情况为（）A.无解B.有一解C.有两解D.不能确定7、若偶函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，则下列关系式中成立的是（）A.f（）＞f（-）＞f（）B.f（）＞f（-）＞f（）C.f（）＞f（-）＞f（）D.f（-）＞f（）＞f（）评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)8、定义：如果在一圆上恰有四个点到一直线距离等于1；那么这条直线叫做这个圆的“相关直线”．

下列直线：①y=1；②3x-4y+12=0；③2x+y=0；④12x-5y-17=0

其中是圆（x+1）2+（y-2）2=4“相关直线”的是____（只填序号）9、若=（2，3），=（-4，7），则在方向上的投影为____．10、下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是____

①y=-x+1②y=|x|③y=x2-4x+5④．11、阅读如图所示的程序框图输出的S是____．

12、（1）计算：27-2×log2+log23×log34；

（2）已知0＜x＜1，且x+x-1=3，求x-x的值．评卷人得分三、证明题(共9题，共18分)13、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．14、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．15、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．16、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．17、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．18、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．19、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．20、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．21、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．评卷人得分四、解答题(共4题，共20分)22、求函数f（x）=lgsinx+的定义域．

23、【题文】已知平面内两点．

（1）求的中垂线方程；

（2）求过点且与直线平行的直线的方程；

（3）一束光线从点射向（2）中的直线若反射光线过点求反射光线所在的直线方程．24、【题文】已知U＝R，A＝{||－3|＜2，B＝{|＞0}；

求A∩B，C(A∪B)。25、函数f（x）=x2+x﹣2a，若y=f（x）在区间（﹣1，1）内有零点，求a的取值范围．评卷人得分五、计算题(共1题，共6分)26、若∠A是锐角，且cosA=，则cos（90°-A）=____．评卷人得分六、作图题(共3题，共27分)27、作出函数y=的图象．28、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

29、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】

由题意可得=（1；k）+（2，2）=（3，k+2）；

∵+与共线；∴2×3-2×（k+2）=0，解得k=1

故=（3，3），故•=1×3+1×3=6

故选C

【解析】【答案】可得的坐标；由共线的条件可得k值，再由数量积的运算可得．

2、A【分析】

在图象中；做出直线x=2，根据直线x=2和曲线交点的纵坐标的大小；

可得曲线C1，C2，C3，C4相应的n依次为2，1，-1；

故选A．

【解析】【答案】在图象中，做出直线x=2，根据直线x=2和曲线交点的纵坐标的大小，可得曲线C1，C2，C3，C4相应的n应是从大到小排列．

3、A【分析】【解析】试题分析：因为，函数的最小正周期为所以=π，=2，即将代入适合，故函数图象关于点对称，选A。考点：本题主要考查正弦型函数的图象和性质。【解析】【答案】A4、B【分析】【解答】解：取AB中点D，连结CD，则CD⊥AB，AD=．

∴=AB×AC×cos∠CAD=AB×AD=2．

故选：B．

【分析】过C作CD⊥AB于D，则=AB×AC×cos∠CAD=AB×AD．5、B【分析】【分析】因为圆心点P（-2；3)到y轴的距离为|-2|=2，且圆与y轴相切；

所以圆的半径为2；

则该圆的标准方程为：（x+2)2+（y-3)2=4．

故选B6、A【分析】【解答】由正弦定理得无解，∴解的情况为无解；故选A

【分析】熟练掌握正弦定理及其变形是解决此类问题的关键，属基础题7、A【分析】解：∵f（x）为偶函数；

∴f（-x）=f（x）；

∴f（-）=f（）；

∵偶函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，且＜＜

∴f（）＞f（）＞f（）；

∴f（）＞f（-）＞f（）；

故选A．

利用函数的奇偶性把自变量的值化为（0；+∞）内，然后利用f（x）在（0，+∞）上的单调性可作出大小比较．

本题主要考查偶函数在对称区间上的单调性在比较大小中的应用，属基础题．【解析】【答案】A二、填空题(共5题，共10分)8、略

【分析】

由圆（x+1）2+（y-2）2=4，得到圆心坐标为（-1，2），半径r=2；

①圆心到直线y=1的距离d=1；故圆上有三个点到直线y=1的距离等于1；

∴直线y=1不是圆的“相关直线”；

②圆心到直线3x-4y+12=0的距离d=＜1；故圆上恰有四个点到直线3x-4y+12=0距离等于1；

∴直线3x-4y+12=0为圆的“相关直线”；

③圆心到直线2x+y=0的距离d==0＜1；故圆上恰有四个点到直线2x+y=0距离等于1；

∴直线2x+y=0为圆的“相关直线”；

④圆心到直线12x-5y-17=0的距离d==3＞1；故圆上有两个点到直线12x-5y-17=0的距离等于1；

∴直线12x-5y-17=0不是圆的“相关直线”；

综上；选项中为圆的“相关直线”的是②③．

故答案为：②③

【解析】【答案】由圆的方程找出圆心坐标与半径r；根据题中的新定义及圆的半径为1，得到圆心到直线的距离小于1时，圆上恰有四个点到一直线距离等于1，那么这条直线叫做这个圆的“相关直线”；当圆心到直线的距离大于等于1时，圆上不是有四个点到这一直线距离等于1，即此时直线不能称为这个圆的“相关直线”，故利用点到直线的距离公式分别求出圆心到各直线的距离d，用d与1比较大小，即可得到圆“相关直线”的条数．

9、略

【分析】

∵=（2，3），=（-4；7）；

∴在方向上的投影||cosθ====

故答案为：

【解析】【答案】根据向量投影的公式；写出向量投影的表达式，进而用向量的数量积除以向量的模长来表示，代入数据求出结果．

10、略

【分析】

①y=-x+1在区间（0；2）上为减函数，故不正确。

②y=|x|在（0；+∞）上为增函数，则在区间（0，2）上为增函数，故正确；

③y=x2-4x+5；在（-∞，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，故在区间（0，2）上为减，故不正确；

④在（0；+∞）上为增函数，故在区间（0，2）上为增函数，故正确．

故答案为：②④

【解析】【答案】对于①可根据一次项系数进行判定函数在区间（0；2）上的单调性，对于②去绝对值后可判定在区间（0，2）上的单调性，对于③根据二次函数的性质可判定在区间（0，2）上的单调性，对于④根据反比例函数的单调性可判定，从而得到正确答案．

11、30【分析】【解答】解：第一次执行循环体后；S=1，i=2，不满足退出循环的条件；

再次执行循环体后；S=5，i=3，不满足退出循环的条件；

再次执行循环体后；S=14，i=4，不满足退出循环的条件；

再次执行循环体后；S=30，i=5，满足退出循环的条件；

故输出的结果为：30；

故答案为：30．

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．12、略

【分析】

（1）利用指数与对数的原式性质即可得出．

（2）由=x+x-1-2，由0＜x＜1，可得x＜x-1；即可得出．

本题考查了指数与对数的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】解：（1）原式=-×+=9-×（-3）+2=11+3．

（2）∵x+x-1=3；

∴=x+x-1-2=3-2=1；

∵0＜x＜1，∴x＜x-1；

∴x-x=-1．三、证明题(共9题，共18分)13、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．14、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．15、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．16、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．17、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=18、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．19、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．20、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．21、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．四、解答题(共4题，共20分)22、略

【分析】

法一、要使原函数有意义，则

解①得：2kπ＜x＜2kπ+π（k∈Z）；

解②得：cosx≥即或（k∈Z）．

取交集得：（k∈Z）．

所以，函数f（x）的定义域为{x|2kπ＜x≤2kπ+k∈Z}．

法二、要使原函数有意义，则

先在[0；2π）内考虑x的取值，由①得x∈（0，π）；

由②得x∈[0，]∪[π；2π]．

取交集得x∈（0，]．

由

==f（x）．

所以函数f（x）的最小正周期为2π；

所以在实数集内满足不等式组的x的取值集合为∈（2kπ，2kπ+]（k∈Z）．

所以，函数f（x）的定义域为{x|2kπ＜x≤2kπ+k∈Z}．

【解析】【答案】由对数式的真数大于0；根式内部的代数式大于等于0联立不等式组，然后分别求解两个三角不等式，其交集即为函数的定义域．

23、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）先用中点坐标公式求出线段的中点坐标，然后根据两直线垂直的直线的斜率关系得出最后由点斜式写出线段的中垂线方程并将其化为一般方程即可；（2）根据两直线平行的条件可知，所求直线的斜率与直线的斜率相等，再由点斜式即可写出直线的方程，最后将它化为一般方程即可；（3）解析该问，有两种方法，法一是，先求出关于直线的对称点然后由算出直线的斜率，最后由点斜式写出所求的直线方程并将其化成一般方程即可；法二是，求出线段的中垂线与直线的交点即入射点，然后计算过入射点与的直线的斜率；最后由点斜式写出所求的直线方程并将其化成一般方程即可.

试题解析：（1）

∴的中点坐标为