2025年湘教新版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教新版高一数学上册月考试卷441考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、【题文】函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为()A.2B.C.D.12、【题文】已知函数的定义域为则函数的定义域为A.B.C.D.3、【题文】设则集合中元素的个数为A.1B.2C.3D.无穷多个4、已知数列{an}

是递增的等比数列，且a1+a4=9a2a3=8

则数列{an}

的前n

项和为(

)

A.2n鈭�1

B.16[1鈭�(12)n]

C.2n鈭�1鈭�1

D.16[1鈭�(12)n鈭�1]

5、在鈻�ABC

中，内角AB

的对边分别是ab

若cosAcosB=ba

则鈻�ABC

为(

)

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形6、已知边长为a

的菱形ABCD

中，隆脧ABC=60鈭�

将该菱形沿对角线AC

折起，使BD=a

则三棱锥D鈭�ABC

的体积为(

)

A.a36

B.a312

C.312a3

D.212a3

评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、定义在上的函数其图象是连续不断的，如果存在非零常使得对任意的都有则称为“倍增函数”，为“倍增系数”，下列命题为真命题的是（写出所有真命题对应的序号）．①若函数是倍增系数的倍增函数，则至少有1个零点；②函数是倍增函数，且倍增系数③函数是倍增函数，且倍增系数．8、若f（x+2）的定义域为[0，1]，则f（x）的定义域为____．9、【题文】函数的定义域是____．10、【题文】如图，三角形ABC是直角三角形，ACB=PA平面ABC；

此图形中有____________个直角三角形.

11、在鈻�ABC

中，若BC=3AC=3隆脧A=娄脨3

则隆脧B=

______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)12、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．13、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．14、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．15、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．16、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．17、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．18、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、解答题(共4题，共8分)19、（本小题12分）设直线的方程．（1）若在两坐标轴上截距相等，求的一般式方程.Z,X（2）若不经过第二象限，求实数的取值范围.20、【题文】化简求值：（12分）

（1）（2）21、【题文】（本小题10分）已知在三棱锥S--ABC中，∠ACB=900；又SA⊥平面ABC；

AD⊥SC于D；求证：AD⊥平面SBC；

22、已知其中0＜α＜β＜π．

(1)求证：与互相垂直；

(2)若与的长度相等，求α-β的值(k为非零的常数)．评卷人得分五、计算题(共4题，共12分)23、已知x+y=x-1+y-1≠0，则xy=____．24、已知α，β为锐角，tanα，tanβ是一元二次方程6x2-5x+1=0的两根，求锐角α+β的值．（备选公式）25、已知∠A为锐角且4sin2A-4sinAcosA+cos2A=0，则tanA=____．26、解关于x的不等式12x2﹣ax＞a2（a∈R）．评卷人得分六、综合题(共2题，共12分)27、已知平面区域上；坐标x，y满足|x|+|y|≤1

（1）画出满足条件的区域L0；并求出面积S；

（2）对区域L0作一个内切圆M1，然后在M1内作一个内接与此圆与L0相同形状的图形L1，在L1内继续作圆M2；经过无数次后，求所有圆的面积的和．

（提示公式：）28、已知直线l1：x-y+2=0；l2：x+y-4=0，两条直线的交点为A，点B在l1上，点C在l2上，且，当B，C变化时，求过A，B，C三点的动圆形成的区域的面积大小为____．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由于函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，结合对数函数的图象的对称变换可知，x=3.x=时函数值为1，那么可知b－a的最小值为1-=故可知答案为B.

考点：函数的单调性。

点评：主要是考查了函数最值的求解，属于基础题。【解析】【答案】B2、B【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由于函数的定义域为则可知故可知故可知答案为B.

考点：抽象函数的定义域。

点评:本题考查抽象函数的定义域的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化【解析】【答案】B3、C【分析】【解析】

由当时，当时，当时，当时，

所以集合

题目借助通过运算，可得元素个数为3【解析】【答案】C4、A【分析】解：隆脽

数列{an}

是递增的等比数列；a1+a4=9a2a3=8

隆脿a1a4=a2a3=8

且a1<a4

隆脿a1a4

是方程x2鈭�9x+8=0

的两个根；

解方程x2鈭�9x+8=0

得a1=1a4=8

隆脿a4=a1q3=8

解得q=2

隆脿

数列{an}

的前n

项和：Sn=1鈭�2n1鈭�2=2n鈭�1

．

故选：A

．

由数列{an}

是递增的等比数列，a1+a4=9a2a3=8

得到a1<a4

且a1a4

是方程x2鈭�9x+8=0

的两个根，从而a1=1a4=8

进而q=2

由此能求出数列{an}

的前n

项和．

本题考查数列的前n

项和的求法及应用，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．【解析】A

5、C【分析】解：由正弦定理得：ba=sinBsinA

隆脿cosAcosB=sinBsinA?sinAcosA=sinBcosB?sin2A=sin2B

隆脽AB

为三角形的内角；隆脿2A=2B

或2A+2B=娄脨

即A=B

或A+B=娄脨2

故选C．

利用正弦定理将条件转化为cosAcosB=sinBsinA

三角变形后判断角AB

之间的关系，可得答案．

本题考查三角形的形状判断，考查正弦定理、倍角公式，利用正弦定理将条件转化为关于角的三角函数关系，来判断角之间的关系是解答本题的关键．【解析】C

6、D【分析】解：由题意可得：三棱锥B鈭�ACD

是一个棱长为a

的正四面体.

如图所示：

过B

点作BO隆脥

底面ACD

则点O

是底面的中心，可知AO=23隆脕32a=33a

．

在Rt鈻�ABO

中，由勾股定理得BO=AB2鈭�AO2=a2鈭�(33a)2=63a

．

隆脿V=13隆脕12隆脕a隆脕a隆脕sin60鈭�隆脕63a=212a3

．

故选：D

．

由题意可得：三棱锥B鈭�ACD

是一个正四面体.

如图所示；进而算出高BO

即可计算出体积．

本题考查三棱锥的体积的求法，考查三棱锥、折叠等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．【解析】D

二、填空题(共5题，共10分)7、略

【分析】试题分析：因为函数是倍增系数的倍增函数，所以当时（ⅰ）若任一个为0则函数有零点；（ⅱ）若全不为0则必为异号所以根据零点存在定理可得函数也有零点所以①正确；因为函数是倍增函数，所以即与矛盾所以②错误；因为函数是倍增函数，所以即考点：命题真假的判断.【解析】【答案】①③8、略

【分析】

∵f（x+2）的定义域为[0；1]，∴0≤x≤1，∴2≤x+2≤3；

又因为整体x+2与f（x）中的x的地位相同；

∴f（x）的定义域为[2；3]．

故答案为：[2；3]．

【解析】【答案】本题考查的是抽象函数求定义域问题．在解答时；应先根据f（x+2）的定义域为[0，1]，求出x+2整体的范围，由于此整体与。

f（x）中的x的地位相同；从而即可获得问题的解答．

9、略

【分析】【解析】

试题分析：欲使有意义，必须满足即．

所以的定义域是

考点：函数的定义域、不等式的解法．【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

试题分析：已知平面所以面均为直角；所以共4个直角三角形.

考点：线面垂直与线线垂直的关系【解析】【答案】411、略

【分析】【分析】

本题考查正弦定理的应用；考查大边对大角，小边对小角，考查转化思想，属于基础题．

根据正弦定理即可求得sinB=12

根据大边对大角，可得隆脧A>隆脧B

即可求得答案．

【解答】解：由正弦定理可知：BCsinA=ACsinB

则sinB=AC鈰�sinABC=3隆脕323=12

由BC>AC

则隆脧A>隆脧B

由0<隆脧B<娄脨

则隆脧B=娄脨6

故答案为娄脨6

．

【解析】娄脨6

三、证明题(共7题，共14分)12、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．13、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．14、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=15、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．16、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．17、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．18、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．四、解答题(共4题，共8分)19、略

【分析】(1)分别令x,y=0，求出在y轴，x轴的截距，根据截距相等建立关于a的方程，求出a的值.（2）先根据直线l的方程可知a(x-1)+x+y+2=0，由得从而可知直线l过定点A(1,-3).数形结合可知当直线l的斜率时，直线不经过第二象限.即2分当时，易知，a+1≠0,由解得代入得直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=06分2)直线l的斜率为0，则则a=-1;3分斜率不为0a<-1,综上所述6分【解析】【答案】（1）3x+y=0或x+y+2=0；（2)20、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）根据题意，由于

（2）根据已知表达式可知，

考点：指数式与对数式的运算。

点评：解决该试题的关键是利用指数幂的运算法则和对数的运算法则，准确的化简求值，属于基础题。【解析】【答案】（1）（2）21、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】证明：SA⊥面ABC；BC⊥面ABC，ÞBC⊥SA；

又BC⊥AC；且AC；SA是面SAC内的两相交线，∴BC⊥面SAC；

又ADÌ面SAC；∴BC⊥AD；

又已知SC⊥AD，且BC、SC是面SBC内两相交线，∴AD⊥面SBC。22、略

【分析】(1)求出利用两向量的数量积为0两向量垂直得证．

(2)求出两个向量的坐标，利用向量模的坐标公式求出两个向量的模，列出方程，化简求出三角函数值，求出角．【解析】(1)证明：∵

∴与互相垂直。

(2)解：k+=(kcosα+cosβ；ksinα+sinβ)；

-k=(cosα-kcosβ；sinα-ksinβ)

|k+|=

|-k|=

而

cos(β-α)=0；

五、计算题(共4题，共12分)23、略

【分析】【分析】先把原式化为x+y=+=的形式，再根据等式的性质求出xy的值即可．【解析】【解答】解：∵x+y=x-1+y-1≠0；

∴x+y=+=；

∴xy=1．

故答案为：1．24、略

【分析】【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到tanα+tanβ=，tanα•tanβ=，然后利用题中给的公式有tan（α+β）=；把

tanα+tanβ=，tanα•tanβ=整体代入得到tan（α+β）==1，再根据特殊角的三角函数值即可得到锐角α+β的值．【解析】【解答】解：∵tanα，tanβ是一元二次方程6x2-5x+1=0的两根；

∴tanα+tanβ=，tanα•tanβ=

∵tan（α+β）=；

∴tan（α+β）==1；

∴锐角（α+β）=45°．25、略

【分析】【分析】先根据解一元二次方程的配方法，得出2sinA-cosA=0，再根据tanA的定义即可求出其值．【解析】【解答】解：由题意得：（2sinA-cosA）2=0；

解得：2sinA-cosA=0；2sinA=cosA；

∴tanA===0.5．

故答案为：0.5．26、解：由12x2﹣ax﹣a2＞0⇔（4x+a）（3x﹣a）＞0⇔（x+）（x﹣）＞0，①a＞0时，﹣＜解集为{x|x＜﹣或x＞}；

②a=0时，x2＞0