2024-2025学年高二数学同步试题（人教A版2019）第二章 直线和圆的方程单元综合测试卷 含解析

第二章直线和圆的方程单元综合测试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若直线经过两直线和的交点，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】联立，解得，将点代入到直线，得，故.故选：C.2．已知两直线和，若，则（

）A． B．8 C． D．2【答案】A【解析】由题可知，.故选：A.3．已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，而，故直线的取值范围为，故选：A.4．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为线分别与轴，轴交于两点，所以，所以，由，可得圆的圆心为，半径为，因为点在圆上，所以圆心到直线的距离为，故到直线的距离的范围为，则.故选：A.5．直线始终平分圆，则的最小值为（

）A． B．20 C． D．5【答案】B【解析】圆的圆心为，由直线始终平分圆，得，则，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为20.故选：B6．唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设点关于直线的对称点，则的中点为，，故，解得，要使从点到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，由点与圆上点的距离的最小值为点与圆心距离减去半径知，“将军饮马”的最短总路程为，故选：B7．方程表示的曲线是（

）A．两个圆 B．一个圆和一条直线C．一个半圆 D．两个半圆【答案】D【解析】方程可化为，因为，所以或，若时，则方程为,是以为圆心，以1为半径的左半圆；若时，则方程为，是以为圆心，以1为半径的右半圆;总之，方程表示的曲线是以为圆心，以1为半径的右半圆与以为圆心，以1为半径的左半圆合起来的图形.故选：D8．已知圆M：，P为x轴上的动点，过点P作圆M的切线切，，切点为A，B，则四边形面积的最小值为（

）A．2 B． C．2 D．【答案】B【解析】圆M的方程可化为，所以x轴与圆M相离.又，且和均为直角三角形，，为圆的半径，且，所以面积的最小值转化为求最小，当垂直于x轴时，四边形面积取得最小值，此时，所以四边形面积最小值为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若三条直线不能围成一个三角形，则实数的值可以为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】ACD【解析】当三条直线交于一点时不能围成三角形：由，解得和的交点的坐标为，由在上可得，解得，因为与的相交，所以当三条直线有两条直线平行时不能围成三角形，当时，，解得，当时，，解得，显然与不可能重合.综上，或或，这三条直线不能围成三角形，∴实数的取值可以是或或.故答案为：ACD.10．下列说法中，正确的有（

）A．直线在y轴上的截距是1B．当m变化时，圆恒过定点有且只有一个C．过，两点（，）的所有直线的方程为D．直线关于点对称的直线方程是【答案】CD【解析】对A：直线中，令得，所以直线在轴上的截距为，故A错误；对B：令得：或，所以当变化时，圆恒过定点和，故B错误；对C：根据直线两点式方程的概念知，C正确；对D：设点关于点的对称点为，则，由点在直线上，得，故D正确.故选：CD11．已知圆与圆交于两点，P是圆上的一动点，则（

）A．直线的方程是 B．线段中垂线方程为C．线段的长度是 D．点P到直线的距离的最大值为【答案】ABD【解析】对于A，由，所以直线的方程是，故A正确；对于B，因为直线的方程是，所以线段中垂线方程可设为，圆化为标准式为，所以由圆的对称性可知线段中垂线过圆心，故，所以线段中垂线方程为，故B正确；对于C，圆心到直线的距离是，又圆，故圆半径为，所以线段的长度是，故C错误；对于D，圆化为标准式得，所以圆心，半径为，所以圆心到直线的距离是，所以圆上的点P到到直线的距离的最大值为，故D正确.故选：ABD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知点在圆上，点，当最小时，.【答案】【解析】设圆的圆心为，半径为4，如图所示：当最小时，与圆M相切，连接，则，，而，由勾股定理得，所以当最小时，.故答案为：.13．是函数图象上任意一点，过向直线和轴分别作垂线，垂足分别为，则.【答案】【解析】设，，则，即，解得，所以，，则，，所以．故答案为：14．若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为．【答案】【解析】由题意可设经过点的圆的方程为，整理得，则圆心为．圆①，圆②，由①-②得，，即直线的方程为．因为为直径，圆心在直线上，所以，解得，故以为直径的圆的方程为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知直线：及圆：.(1)若直线与圆相切，求的值；(2)若直线与圆相交于，两点，且弦AB的长为，求的值.【解析】（1）圆心，半径为，由题意得：，解得或.（2）如图：设点到直线的距离为，利用勾股定理得：，同时利用圆心到直线的距离：，解得.16．（15分）已知直线.(1)直线经过定点吗？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，说明理由；(2)求原点到直线距离的最大值；(3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，当面积最小时，求对应的直线的方程.【解析】（1）直线可化为，令，解得，，即直线恒过定点；（2）当时，原点到直线的距离最大，此时最大值；（3）设直线的方程为，，因为直线过定点，所以，由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得，故面积，即面积的最小值为4，此时直线方程为，即．17．（15分）已知圆C：，直线l：是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线上．(1)求公共弦AB的长度；(2)求圆E的方程；(3)过点分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且，求四边形MRNS面积的最大值与最小值．【解析】（1）圆，所以圆的圆心坐标，半径，圆心到直线的距离，公共弦；（2）圆的圆心在直线上，设圆心，由题意得，，即，到的距离，所以的半径，所以圆的方程：；（3）当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时，，这时直线的方程为，代入到圆中，，所以，四边形的面积；当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，设直线为：，则直线为：，所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，，，设，当或1时，正好是轴及垂直轴，面积，当时，最大且，或1时，最小，四边形面积的最大值17，最小值．18．（17分）已知圆经过点，从下列3个条件选取一个________①过点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.(1)求圆的为程；(2)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．【解析】（1）选条件①．设圆的方程为，将，代入可得，解得，则圆的方程为．选条件②．直线恒过点．因为圆恒被直线平分，所以恒过圆心，所以圆心坐标为，又圆经过点，所以圆的半径，所以圆的方程为，即．选条件③．设圆的方程为，由题意可得，解得，则圆的方程为，即．（2）设，，因为为线段的中点，所以，因为点是圆上的动点，所以，所以的轨迹方程为．19．（17分）蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆的方程为，直线与圆M交于，，直线与圆交于，．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点．(1)当，，，时，分别求线段和的长度；(2)①求证：．②猜想OP和OQ的大