2025年湘教版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教版高二数学下册阶段测试试卷986考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、函数的最大值为（）A.B.C.D.2、圆关于直线对称的圆的方程是（）A.B.C.D.3、空间四边形OABC中，=a，=b，=c，点M在线段OA上且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（）A.ab+cB.a+bcC.a+b+cD.a+bc4、如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图；P表示估计结果，则图中空白框内应填入()

A.P＝B.P＝C.P＝D.P＝5、若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（）A.p真q真B.p假q真C.p真q假D.p假q假6、ABCD为正方形，PD平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为()A.30°B.45°C.60°D.90°7、设集合A={x||x-2|＜1}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8、若曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足（）A.a2＞b2B.C.0＜a＜bD.0＜b＜a评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)9、从极点作圆则各弦中点的轨迹方程为__________.10、现将6台型号相同的电脑分配给5所小学，每个学校至少一台，则不同的分配方案共种.11、已知集合A={x|1＜ax＜2}，B={x||x|＜1}，满足A⊆B，则实数a的范围为____．12、【题文】设=其中a，bR，ab0，若对一切则xR恒成立；则。

①

②＜

③既不是奇函数也不是偶函数。

④的单调递增区间是

⑤存在经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交。

以上结论正确的是____（写出所有正确结论的编号）.13、【题文】等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立．则M的最小值是____．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共12分)19、设点P（x，y）（x≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（0）的距离比点P到x轴的距离大．

（1）求点P的轨迹方程；并说明它表示什么曲线；

（2）若直线l与点P的轨迹相交于A、B两点，且=0，点O到直线l的距离为求直线l的方程．

20、已知一个圆柱的侧面展开图是边长为6π和8π的矩形，求该圆柱的表面积．评卷人得分五、计算题(共3题，共24分)21、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．22、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．23、1.（本小题满分12分）已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为对该项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．评卷人得分六、综合题(共4题，共36分)24、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．25、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．26、已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．27、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、A【分析】试题分析：时，时，所以当时，取得最大值，考点：利用导数求最值【解析】【答案】A2、D【分析】【解析】试题分析：因为根据题意，圆的圆心为（-1,0），半径为那么对称后的圆的方程半径不变，只需求解圆心即可。那么设对称后点的坐标为（x,y）故有可知圆心坐标为（3，-2），半径为则圆的方程为选D.考点：圆的方程的求解【解析】【答案】D3、C【分析】选C.【解析】【答案】C4、D【分析】【分析】由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率P＝所以空白框内应填入的表达式是P＝．故选D。5、B【分析】【解答】解：若命题“p或q”为真；则p真或q真；

若“非p”为真；则p为假；

∴p假q真；

故选：B．

【分析】根据“非p”为真，得到p假，根据命题“p或q”为真，则p真或q真，从而得到答案．6、C【分析】【分析】以D为坐标原点；DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z轴，建立空间坐标系，∵点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1

∴A（1，0，0)，P（0，0，1)，B（1，1，0)，D（0，0，0)，=（1，0，-1)，=（-1；-1，0)

故两向量夹角的余弦值为即两直线PA与BD所成角的度数为60°．故答案为：60°,选C.

【点评】解决该试题的关键是宜用向量法来做，以D为坐标原点，建立空间坐标系，求出两直线的方向向量，利用数量积公式求夹角即可.7、A【分析】解：∵|x-2|＜1；

∴-1＜x-2＜1；

∴1＜x＜3；

即A={x|1＜x＜3}；

又2x＞=2-1；

∴x＞-1；

∴B={x|x＞-1}；

∴AB

∴“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．

故选A．

可求得集合A与集合B；再根据两集合之间的包含关系作出判断即可．

本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，突出集合确定与集合间的关系判断，属于中档题．【解析】【答案】A8、C【分析】解：由题意，曲线ax2+by2=1可化为．

∵曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆；

∴

∴b＞a＞0．

故选C．

曲线ax2+by2=1可化为利用焦点在x轴上，建立不等式可得结论．

本题考查焦点在x轴上的椭圆，考查学生的计算能力，属于基础题．【解析】【答案】C二、填空题(共5题，共10分)9、略

【分析】【解析】【答案】____10、略

【分析】【解析】【答案】511、略

【分析】

∵B={x||x|＜1}；

∴B={x|-1＜x＜1}；

∵A⊆B；

∴①A=∅时；a=0；

②a＞0时，A={x|＜x＜}；

∴解得a≥2；

③a＜0时，A={x|＜x＜}；

∴解得a≤-2；

综上数a的范围为a=0；或a≥2，或a≤-2．

故答案为{a|a=0；或a≥2，或a≤-2}．

【解析】【答案】根据B={x||x|＜1}；求得B={x|-1＜x＜1}，由A⊆B，及A={x|1＜ax＜2}，解含参数的不等式1＜ax＜2，对a进行讨论，并求出此时满足题干的a应满足的条件，解不等式即可求得实数a的范围．

12、略

【分析】【解析】

试题分析：又由题意对一切则xR恒成立，则对一切则xR恒成立，即恒成立，而所以此时所以

①故①正确；

②

所以＜②错误；

③所以③正确；

④由①知

由知所以③不正确；

⑤由①知要经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交，则此直线与横轴平行，又的振幅为所以直线必与图像有交点.⑤不正确.

考点：本题主要考查三角函数辅助角公式；三角函数的图象和性质。

点评：中档题，本题综合考查三角函数辅助角公式，三角函数的图象和性质。解答过程中，首先利用“辅助角公式”化简函数是关键。【解析】【答案】①③13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】2三、作图题(共5题，共10分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共12分)19、略

【分析】

（1）由定义法，知点P轨迹方程为y2=2x；

表示以原点为顶点；对称轴为x轴，开口向右的一条抛物线．（6分）

（2）当直线l的斜率不存在时；

由题设可知直线l的方程是x=

联立x=与y2=2x可求得A（），B（）；

不符合=0（7分）

当直线l的斜率存在时；

设直线l的方程为y=kx+b（k≠0，b≠0）；

联立y=kx+b与y2=2x；

化简得ky2-2y+2b=0（9分）

设A（x1，y1），B（x2，y2）；

则y1y2==0⇔x1x2+y1y2=0⇔+y1y2=0⇔y1y2+4=0⇔+4=0⇔b+2k=0①（11分）

又O到直线l距离为得②（12分）

联立①②解得k=1，b=-2或k=-1，b=2；所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2（13分）

【解析】【答案】（1）用直接法或定义法求得点P轨迹方程为y2=2x；表示以原点为顶点，对称轴为x轴，开口向右的一条抛物线．

（2）当直线l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=联立x=与y2=2x可求得A（），B（），不符合=0．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b（k≠0，b≠0），联立y=kx+b与y2=2x，化简得ky2-2y+2b=0；由此能够求出直线l的方程．

20、略

【分析】

画出图形；讨论以AB边为底面圆周长和以AD边为底面圆周长时，分别求出圆柱体的表面积．

本题考查了求圆柱体的表面积的问题，解题时应对圆柱体的情况进行讨论，是基础题．【解析】解：如图所示；

以AB边为底面周长的圆柱时；

底面圆半径是r==2；高是h=8π；

∴表面积是S表=2πr2+2πrh=2π•32+2π•3•8π=18π+48π2；

∴以AD边为底面周长的圆柱时；

底面圆半径是r==4；高是h=6π；

∴表面积是S表=2πr2+2πrh=2π•42+2π•4•6π=32π+48π2．

综上，所求圆柱的表面积是48π2+32π或48π2+18π．五、计算题(共3题，共24分)21、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．22、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．23、略

【分析】由题设得则的概率分布为4分。012P故收益的概率分布为。1.622.4P所以=28分12分【解析】【答案】=2六、综合题(共4题，共36分)24、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）25、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-