2025年北师大新版高一数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大新版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、在中，如果有则的形状是（）A.等腰三角形或直角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形2、双曲线（）的左、右焦点分别是过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.3、设A，B为直线与圆的两个交点，则|AB|=()A.1B.C.D.24、要得到y=sin（2x-）的图象，需要将函数y=sin（2x+）的图象（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位5、若2

弧度的圆心角所对的弧长为4cm

则这个圆心角所夹的扇形的面积是(

)

A.4cm2

B.2cm2

C.4娄脨cm2

D.2娄脨cm2

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)6、通过观察a2+b2-2ab=（a-b）2≥0可知：，与此类比，当a≥0，b≥0时，____（要求填写）；你观察得到的这个不等式是一个重要不等式，它在证明不等式和求函数的极大值或者极小值中非常有用．请你运用上述不等式解决下列问题：

（1）求证：当x＞0时，；

（2）求证：当x＞1时，；

（3）的最小值是____．7、集合A={x|x2-6x+8=0}，写出A的所有子集____．8、如图，已知正三棱柱的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为________cm.9、若函数（常数）是偶函数，且它的值域为则该函数的解析式____.10、求值：．11、已知函数f（x）=则f（f（））=______．12、已知扇形半径为4cm，弧长为12cm，则扇形面积是______．13、设f(log2x)=2x(x>0)

则f(鈭�1)

的值为______．评卷人得分三、证明题(共9题，共18分)14、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．15、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．16、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．17、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．18、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．19、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．20、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．21、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．22、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、解答题(共1题，共10分)23、在鈻�ABC

中，角ABC

所对的边分别为abcm鈫�=(sinA,sinB鈭�sinC)n鈫�=(a鈭�3b,b+c)

且m鈫�隆脥n鈫�

．

(1)

求角C

的值；

(2)

若鈻�ABC

为锐角三角形，且c=1

求3a鈭�b

的取值范围．评卷人得分五、作图题(共1题，共10分)24、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．评卷人得分六、综合题(共1题，共6分)25、如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果；那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中；若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】【解析】试题分析：或三角形是等腰三角形或直角三角形考点：正余弦定理【解析】【答案】A2、B【分析】【解析】【答案】B3、D【分析】【分析】显然直线过圆的圆心，所以|AB|长即为直径的长度，所以|AB|=2.选D.4、D【分析】解：∵y=sin（2x-）=sin[2（x-）+]；

∴需要将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位；即可；

故选：D

根据三角函数之间的关系即可得到结论．

本题主要考查三角函数图象之间的关系，比较基础．【解析】【答案】D5、A【分析】解：隆脽

弧度是2

的圆心角所对的弧长为4

根据弧长公式；可得圆的半径为2

隆脿

扇形的面积为：12隆脕4隆脕2=4cm2

故选：A

．

利用弧长公式；求出圆的半径，再利用扇形的面积公式，求出结果即可．

本题考查扇形的弧长公式与扇形的面积公式，属于基础题．【解析】A

二、填空题(共8题，共16分)6、略

【分析】【分析】由（）2+（）2-2=（-）2≥0，即可得≥；

（1）由≥，可得a+b≥2，则可得x+≥2=2；继而证得结论；

（2）首先将x+变形为（x-1）++1；然后利用几何不等式，即可证得结论；

（3）首先将2x2+变形为2（x2+1）+-2，然后利用几何不等式求解，即可求得最小值．【解析】【解答】解：∵（）2+（）2-2=（-）2≥0；

即a+b-2≥0；

∴≥；

（1）证明：∵x＞0；

∴x+≥2=2；

即x+≥2；

（2）证明：∵x＞1；

∴x+=（x-1）++1≥2+1=2+1=3；

即x+≥3；

（3）解：2x2+=2（x2+1）+-2≥2-2=2-2；

∴2x2+的最小值为2-2．

故答案为：，（4）2-2．7、略

【分析】

方程x2-6x+8=0的解为x=2或4；

则集合A={2；4}

因此；A的所有真子集为：{2}，{4}，φ．

故答案为：{2}；{4}，φ．

【解析】【答案】先求出方程x2-6x+8=0的解；然后写出集合A，最后写出集合A的所有真子集即可．

8、略

【分析】【解析】试题分析：正三棱柱的一个侧面由于三个侧面均相等，沿着三棱柱的侧面绕行两周可以看成六个侧面并排成一平面，所以对角线的长度就是最短路线，求得最短距离cm。考点：几何体的展开图【解析】【答案】139、略

【分析】【解析】

∵f（x）=（x+a）（bx+2a）是偶函数，∴f（-x）=（-x+a）（-bx+2a）=f（x）=（x+a）（bx+2a），∴bx2-2ax-abx+2a2=bx2+2ax+abx+2a2，∴2ax+abx=0，即ax（2+b）=0恒成立，∴a=0或2+b=0．若a=0，则f（x）=bx2，若b＞0，值域是y≥0，b＜0，值域是y≤0，都不是（-∞，4]，所以a≠0，故b+2=0，∴b=-2，所以f（x）=-2x2+2a2，∵-2x2≤0，所以值域是f（x）≤2a2，∴2a2=4，即f（x）=-2x2+4．【解析】【答案】10、略

【分析】试题分析：因为同底对数相减等于底数不变，真数相除，所以对数进行运算时，必须注意将底数化为统一，对于不同的底，可用换底公式进行变形.另外注意对数运算法则与指数运算法则的区别，不能张冠李戴.考点：对数的减法【解析】【答案】11、略

【分析】解：∵函数f（x）=

∴f（）=3；

∴f（f（））=f（3）=

故答案为：

由已知中函数f（x）=将x=代入可得答案．

本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．【解析】12、略

【分析】解：根据扇形的面积公式可得S==24cm2；

故答案为24cm2．

直接利用扇形的面积公式可得结论．

本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，比较基础．【解析】24cm213、略

【分析】解：由题意，令log2x=鈭�1

解得x=12

则f(log2x)=2x=212=2

故答案为：2

根据题意令log2x=12

求出对应的函数的自变量的值，再代入函数解析式求解．

本题主要考查了对数的运算和求函数的值，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．【解析】2

三、证明题(共9题，共18分)14、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．15、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．16、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．17、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．18、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．19、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．20、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．21、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．22、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．四、解答题(共1题，共10分)23、略

【分析】

(1)

由两向量的坐标及两向量垂直；得到数量积为0

列出关系式，利用正弦定理化简后整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cosC

将得出关系式代入求出cosC

的值，即可确定出C

的度数；

(2)

由C

的度数求出A+B

的度数，用A

表示出B

利用正弦定理化简表示出a

与b

代入所求式子，整理为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出范围．

此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的定义域与值域，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．【解析】解：(1)隆脽m鈫�=(sinA,sinB鈭�sinC)n鈫�=(a鈭�3b,b+c)

且m鈫�隆脥n鈫�

隆脿sinA(a鈭�3b)+(sinB鈭�sinC)(b+c)=0

利用正弦定理化简得：a(a鈭�3b)+(b+c)(b鈭�c)=0

即a2+b2鈭�c2=3ab

隆脿cosC=a2+b2鈭�c22ab=32

隆脽C隆脢(0,娄脨)

隆脿C=娄脨6

(2)

由(1)

得A+B=5娄脨6

即B=5娄脨6鈭�A

又鈻�ABC

为锐角三角形；

隆脿{0<A<娄脨20<5娄脨6鈭�A<娄脨2

解得：娄脨3<A<娄脨2

隆脽c=1

隆脿

由正弦定理得：asinA=bsinB=csinC=1sin娄脨6=2

隆脿a=2sinAb=2sinB

隆脿3a鈭�b=23sinA鈭�2sinB=23sinA鈭�2sin(娄脨6+A)=23sinA鈭�2sin娄脨6cosA鈭�2cos娄脨6sinA=3sinA鈭