上海市宝山区2022届高三上学期一模数学试卷 附答案

上海市宝山区2022届高三上学期数学一模试卷一、填空题(本大题共12小题，共54分,第1-6小题每题4分，第7-12小题每题5分)1．在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)2．已知集合A={−1,0,3．在(x−2)4．函数f(x)5．已知函数f(x)=−x2+2ax+36．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=1+7．若x,y满足x≤2,y≥−1,8．计算limn→∞1+2+⋯+9．在三角形ABC中，D是BC中点，AB=2，AC=4，则AD⋅CB10．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(x11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B+12sin2B=1，0<B<12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x−2)2+y2=4，点A是直线x−y+2=0上的一个动点，直线AP,AQ分别切圆C于二、单选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．“|a1b1aA．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分又非必要条件14．已知函数f(x)A．是奇函数，且在(0B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在(0D．是偶函数，且在R上是减函数15．已知双曲线x22−y2=1，作x轴的垂线交双曲线于A､B两点，作y轴的垂线交双曲线于C､D两点，且A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线16．设m，n∈R，定义运算“△”和“∇”如下：m△n=m,m⩽nn,m>n，m∇n=n,m⩽nm,m>n.若正数A．m△n⩾2，p△q⩽2 B．m∇n⩾2，p∇q⩾2C．m△n⩾2，p∇q⩾2 D．m∇n⩾2，p△q⩽2三、解答题（本大题共5小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，（1）求以A1，D1，P，（2）求异面直线D1P和18．设函数f(x)（1）若θ∈[0，π)，函数f（2）求函数y=[19．吴淞口灯塔AE采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度H（单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度ℎ=3m，使A，B，D在同一直线上，也在同一水平面上，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.（本题的距离精确到（1）该小组测得α､β的一组值为α=51.83°，β=47.（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离d（单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为20.1m，试问d为多少时，20．如图，已知F1､F2是椭圆Γ:x24+y2=1的左､右焦点，M､（1）求△F2MN的面积（2）若l⊥F2N，点A，M（3）设直线OA，OB的斜率分别为k1､k2，记以OA，OB为直径的圆的面积分别为S1､S2，△OAB的面积为S，若k1､k21．已知函数f(x)=2−|x|（1）若a1=2，写出数列（2）若a1>0，且a1，a2，a3（3）证明：a1，a2，⋯，an，⋯

答案解析部分1．【答案】−2+i【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】由题意知，z=1+2i，则i⋅z=i⋅(故答案为：−2+i

【分析】根据复数的运算性质计算，即可得出答案。2．【答案】{【考点】交集及其运算【解析】【解答】因为A={−1,所以A∩B={故答案为：{1

【分析】根据交集的定义进行运算，可得答案。3．【答案】-80【考点】二项式定理【解析】【解答】解：(x−2)5的展开式中，含故x的系数为-80.故答案为：-80．

【分析】利用二项式定理可求得(x4．【答案】(2【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】函数f(所以2x−42解得x>2，所以函数的定义域为(2,故答案为：(2,

【分析】由题意得2x5．【答案】[【考点】二次函数的性质【解析】【解答】f(x)f(x)在区间(故答案为:[4

【分析】由已知结合二次函数的性质，结合已知区间与对称轴的位置关系，即可求解出实数a的取值范围.6．【答案】n【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【解析】【解答】因为an=1+所以5(所以{a所以Sn故答案为：n

【分析】由题意得5(1+d)7．【答案】1【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时y−x最大，由x=24x−3y+1=0得x=2y=3，即所以y−x的最大值为3−2=1，故答案为：1.

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案。8．【答案】2【考点】等比数列的前n项和；数列的极限【解析】【解答】lim===1+1=2.故答案为：2【分析】由等比数列的求和公式把原式化简为limn→∞9．【答案】-6【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的运算【解析】【解答】由三角形中AD→=AB→+可得：AD=(AB故答案为：-6

【分析】根据已知条件，结合加、减法的三角形法则，以AB→，AC→为基底表示出10．【答案】10【考点】函数的图象；函数的周期性【解析】【解答】由f(2+x)作出函数y=f(x)由图象可知，y=f(x)所以方程f(故答案为：10

【分析】先求出函数的周期，利用已知的解析式，作出函数y=f(x)与y=11．【答案】16+8【考点】基本不等式；余弦定理【解析】【解答】由cos2B+∴由|BC→+所以b2所以ac≤162−2故答案为：16+8

【分析】由题意利用半角公式化简条件求得B的值，再利用余弦定理，基本不等式，求得ac的最大值.12．【答案】[2【考点】函数的值域；点到直线的距离公式【解析】【解答】由圆的方程知：圆心C(2,0)，半径r=2，设AC=x，则x≥|2−0+2|∵AP,AQ为圆C的切线，∴CP⊥AP，CQ⊥AQ，∴AP=AQ=A∵AC是PQ的垂直平分线，∴PQ=2×AP⋅PC∵x≥22，∴12≤1−4x2故答案为：[22【分析】设AC=x，利用点到直线距离公式可知x≥22，将PQ13．【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；二阶矩阵【解析】【解答】由|a1b所以当a1=a2=0，b1=又直线a1x+b1y=1和a所以“|a1b1a综上所述“|a1b1a故答案为：B.

【分析】由当a1=a2=0，b1=b214．【答案】A【考点】复合函数的单调性；函数奇偶性的判断【解析】【解答】∵f(x)定义域为R，且f(−x)=2∴f(x)是R上的奇函数，又∵y=2x是R上的增函数，y=(所以函数f(x)故答案为：A.

【分析】根据奇偶函数的定义以及复合函数的单调性，可得答案。15．【答案】B【考点】轨迹方程【解析】【解答】设P(则|AB|则由|AB|=化简得：x2即P点的轨迹是双曲线，故答案为：B

【分析】设P(x,16．【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】【解答】令m=1满足条件mn⩾4，则m△n=1,令p=1,q=1,则p△q=1,故答案为：D

【分析】由运算“△”和“∇”的定义，利用赋值法结合不等式的性质，可得答案。17．【答案】（1）解：连接PA1，PD1，PQ，以A1，D1，底面△A1D高PQ=4，则其体积V=1（2）解：连接PA，AD1，PA//A1Q，则∠在△APD1中，|AP|=16+4=25则cos∠故∠D即D1P和A1【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；余弦定理【解析】【分析】(1)根据题意，以A1，D1，P，Q为顶点的四面体即为三棱锥P−A1D1Q，由棱锥体积公式计算可得以A1，D1，P，Q为顶点的四面体的体积；

(2)根据题意，连接PA，AD1，PA//A1Q，则18．【答案】（1）因为f(x+θ)=sin所以当x=0时，0+θ=kπ+π2(k∈Z)因为θ∈[0,所以可取k=0，相应的θ值为π2所以f(x+π解得x=2kπ±所以方程解集为：{x|（2）∵f==1−=1−=1−=1+3所以函数的值域为：[1−3【考点】函数奇偶性的性质；两角和与差的正弦公式；正弦函数的定义域和值域【解析】【分析】(1)先根据偶函数的性质求出θ=π2，再根据余弦函数的性质即可求出方程f(x+θ)19．【答案】（1）由Rt△ADE可得：HAD同理可得AB=H因为AD−AB=DB，所以Htan可得H=ℎ（2）由题意可得d=AB，则tanα=所以tan(α−β而d+H当且仅当d=H故当d=18.5时，因为0<β<α<π2，所以所以d=18.5时，【考点】基本不等式；两角和与差的正切公式【解析】【分析】(1)利用已知条件，结合直角三角形可得Htanβ−Htanα20．【答案】（1）∵x2∴M(−2,∴△F2MN的面积（2）∵kF2N=−1∴kl=3由y=3(x+2)x则−2⋅x∴xB=−22∴B点的坐标为(−22（3）由y=kx+mx24设A(x∴Δ=(8km)2−4(1+4x1又k1，k，k∴k2=k∴−8k2m∴k=12，可得m2∵点O到直线AB的距离为d=|m|∴S=1又x1∴S=3π∴S(当且仅当2−m2=|m|∴S(S1【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意可得M(−2,0),N(0,1),F2(3,0)则P=12|MF2||ON|，即可求出△F2MN的面积P；

(2)由l⊥F2N,得kl=3，又直线l过点M(-2,0)，写出直线l的方程为y=321．【答案】（1）因为an+1=f(所以an（2）因为a当0<a1≤2所以a1所以q=1，即an当a1>2时，由a2所以a2因为a4所以数列{a综上