2023届高考数学特训营-第4节-复数

第4节复数A级(基础应用练)1．(2022•四川宜宾市三模)在复平面内，复数z＝(－3＋2i)i对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：C解析：∵z＝(－3＋2i)i＝－3i＋2i2＝－2－3i，∴复数z对应的点的坐标为(－2，－3)，位于第三象限．故选C.2．(2022•山东济南联考)已知复数z对应的向量为eq\o(OZ,\s\up6(→))(O为坐标原点)，eq\o(OZ,\s\up6(→))与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为()A．1＋eq\r(3)i B．2C．(1，－eq\r(3)) D．－1＋eq\r(3)i答案：D解析：设复数z对应的点为(x，y)，则x＝|z|cos120°＝2×(－eq\f(1,2))＝－1，y＝|z|sin120°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴复数z对应的点为(－1，eq\r(3))，∴z＝－1＋eq\r(3)i，故选D.3．(2022•福建三明一中高三月考)复数z满足|z－2|＝1，则|z|的最大值为()A．1 B．eq\r(2)C．3 D．eq\r(3)答案：C解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，∵|z－2|＝1，∴复数z的对应点Z(x，y)在以A(2，0)为圆心，1为半径的圆上运动．由图可知，当点Z位于点B(3，0)处时，点Z到原点的距离最大，最大值为3.故选C.4．(2022•重庆高三三模)若复数z满足|z－1＋i|＝|1－2i|，其中i为虚数单位，则z对应的点(x，y)满足方程()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝eq\r(5)B．(x－1)2＋(y＋1)2＝5C．(x＋1)2＋(y－1)2＝eq\r(5)D．(x＋1)2＋(y－1)2＝5答案：B解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1＋i|＝|1－2i|，得(x－1)2＋(y＋1)2＝5.故选B.5．(2022•安徽省安庆市二模)已知i为虚数单位，复数z满足(1＋i3)z＝2，则下列判断正确的是()A．z的虚部为i B．|z|＝2C．z•eq\o(z,\s\up1(－))＝2 D．z2＝2答案：C解析：z＝eq\f(2,1＋i3)＝eq\f(2,1－i)＝1＋i，其虚部为1，A错误；|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，B错误；z•eq\o(z,\s\up1(－))＝(1＋i)(1－i)＝2，C正确；z2＝(1＋i)2＝2i≠2，D错误．故选C.6．(2022•四川石室一模)若复数z满足(1＋i)•z＝1－i5，则其共轭复数eq\o(z,\s\up1(－))的模为()A．1 B．－1C.eq\r(2) D．eq\f(\r(2),2)答案：A解析：∵i5＝(i2)2•i＝i•(－1)2＝i，z＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(（1－i）2,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(1－2i－1,2)＝－i，∴eq\o(z,\s\up1(－))＝i，|eq\o(z,\s\up1(－))|＝1，故选A.7．已知复数z满足i＝eq\f(1－2z,z－7)，则|z|＝()A．2 B．eq\r(5)C．2eq\r(2) D．eq\r(10)答案：D解析：由i＝eq\f(1－2z,z－7)，得zi－7i＝1－2z，即z＝eq\f(1＋7i,2＋i)，z＝eq\f(1＋7i,2＋i)＝eq\f(（1＋7i）（2－i）,（2＋i）（2－i）)＝eq\f(9＋13i,5)＝eq\f(9,5)＋eq\f(13i,5)，所以|z|＝eq\r(（\f(9,5)）2＋（\f(13,5)）2)＝eq\r(10).故选D.8．(2022•黑龙江高三期末)复数z＝eq\f(1＋i,1－2i)(i为虚数单位)，则z的虚部是________．答案：eq\f(3,5)解析：∵z＝eq\f(1＋i,1－2i)＝eq\f(（1＋i）（1＋2i）,（1－2i）（1＋2i）)＝eq\f(－1＋3i,5)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)i，因此复数z的虚部为eq\f(3,5).9．(2022•重庆高三三模)设m∈R，i为虚数单位，且eq\f(2,1－i)＋(1＋mi)是实数，则m的值为________．答案：－1解析：eq\f(2,1－i)＋(1＋mi)＝eq\f(2（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＋(1＋mi)＝eq\f(2（1＋i）,2)＋(1＋mi)＝2＋(1＋m)i.又eq\f(2,1－i)＋(1＋mi)是实数，所以1＋m＝0，所以m＝－1.10．(2022•浙江高三模拟)若复数z＝m2－3m＋2＋(m2－1)i为纯虚数(其中i为虚数单位)，则实数m＝________，|2－2i＋z|＝________．答案：2eq\r(5)解析：因为复数z＝m2－3m＋2＋(m2－1)i为纯虚数，且m为实数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－3m＋2＝0,m2－1≠0))，解得m＝2，此时z＝3i，|2－2i＋z|＝|2－2i＋3i|＝|2＋i|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).B级(综合创新练)11．(多选题)(2022•四川高三二模)设z是复数，若z(1－i)＝|－i|(i是虚数单位)，则下列说法正确的是()A．z的虚部为eq\f(i,2) B．z＝eq\f(1＋i,2)C．|z|＝1 D．z＋eq\o(z,\s\up1(－))＝1答案：BD解析：依题意z(1－i)＝|－i|＝1，z＝eq\f(1,1－i)＝eq\f(1＋i,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(1＋i,2)，所以B正确；z的虚部为eq\f(1,2)，所以A错误；|z|＝eq\r(（\f(1,2)）2＋（\f(1,2)）2)＝eq\f(\r(2),2)，所以C错误；z＋eq\o(z,\s\up1(－))＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1，所以D正确．故选BD.12．(多选题)已知复数z＝1＋cos2θ＋isin2θ(－eq\f(π,2)<θ<eq\f(π,2))(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是()A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限B．z可能为实数C．|z|＝2cosθD.eq\f(1,z)的实部为eq\f(1,2)答案：BCD解析：因为－eq\f(π,2)<θ<eq\f(π,2)，所以－π<2θ<π，所以－1<cos2θ≤1，所以0<1＋cos2θ≤2，所以A选项错误；当sin2θ＝0，θ＝0∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))时，复数z是实数，故B选项正确；|z|＝eq\r(（1＋cos2θ）2＋（sin2θ）2)＝eq\r(2＋2cos2θ)＝2cosθ，故C选项正确；eq\f(1,z)＝eq\f(1,1＋cos2θ＋isin2θ)＝eq\f(1＋cos2θ－isin2θ,（1＋cos2θ＋isin2θ）（1＋cos2θ－isin2θ）)＝eq\f(1＋cos2θ－isin2θ,2＋2cos2θ)，eq\f(1,z)的实部是eq\f(1＋cos2θ,2＋2cos2θ)＝eq\f(1,2)，故D选项正确．故选BCD.13．欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，则|eiθ－2i|的最小值等于________答案：1解析：由题意知|eiθ－2i|＝|cosθ＋(sinθ－2)i|＝eq\r(cos2θ＋（sinθ－2）2)＝eq\r(5－4sinθ)，当sinθ＝1时，|eiθ－2i|取得最小值1.14．(2022•重庆高三三模)已知复数z1，z2，则以下四个说法正确的是________．①eq\o(z1•z2,\s\up2(－))＝eq\o(z1,\s\up2(－))•eq\o(z2,\s\up2(－))；②若|z1|＝|z2|，则zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)；③|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|；④若z1，z2(z1≠z2)是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的虚根，则z1，z2互为共轭复数．答案：①③④解析：对于①中，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1•z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i，所以eq\o(z1•z2,\s\up2(－))＝ac－bd－(ad＋bc)i，又eq\o(z1,\s\up2(－))•eq\o(z2,\s\up2(－))＝(a－bi)(c－di)＝ac－bd－(ad＋bc)i，所以eq\o(z1•z2,\s\up2(－))＝eq\o(z1,\s\up2(－))•eq\o(z2,\s\up2(－))，所以①正确；对于②中，取z1＝eq\r(2)i，z2＝1＋i，满足|z1|＝|z2|，则zeq\o\al(2,1)＝－2，zeq\o\al(2,2)＝2i，所以zeq\o\al(2,1)≠zeq\o\al(2,2)，所以②不正确；对于③中，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则|z1＋z2|2＝|(a＋c)＋(b＋d)i|2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ac＋2bd，(|z1|＋|z2|)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2eq\r(（a2＋b2）（c2＋d2）)，又(ac＋bd)2＝a2c2＋b2d2＋2abcd，(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2≥a2c2＋b2d2＋2abcd，当且仅当a2d2＝b2c2时，等号成立，所以|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，所以③正确；对于④中，利用实系数的一元二次方程的虚根成对的原理，即可得到④正确．15．已知复数z1＝i，z2＝eq\f(2i,1＋i)，则|z1＋z2|＝________，z1＋zeq\o\al(2,1)＋…＋zeq\o\al(20,1)＝________．答案：eq\r(5)0解析：因为z