2025年人民版高二数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人民版高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、已知函数则=（）

A.

B.0

C.

D.

2、在圆内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A.B.C.D.3、【题文】若是第四象限角，则A.B.C.D.4、【题文】函数的周期是（）A.B.C.D.5、某运动会组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人参加，则不同的派给方案共有A.150种B.180种C.240种D.360种6、参数方程（t为参数）的曲线与坐标轴的交点坐标为（）A.（1,0），（0，-2）B.（0,1），（-1,0）C.（0，-1），（1,0）D.（0,3），（-3,0）7、已知a鈫�=(鈭�3,2,5)b鈫�=(1,m,3)

若a鈫�隆脥b鈫�

则常数m=(

)

A.鈭�6

B.6

C.鈭�9

D.9

评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)8、曲线在点（1，1）处的切线方程为____．9、函数在区间上的最小值是_________________;10、【题文】如图，在棱长为的正方体内（含正方体表面）任取一点则的概率____.

11、【题文】设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．12、【题文】给出下列命题：(1)存在实数x，使sinx+cosx＝(2)若是锐角△的内角，则>(3)函数y＝sin(x-)是偶函数；(4)函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，得到y＝sin(2x+)的图象.其中正确的命题的序号是____.评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)13、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

14、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）15、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共28分)20、已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.（Ⅰ）求通项及（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和21、设集合A={x|x2-2ax+a2-1＜0}，B={x|x2-6x+5＜0}；若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

22、已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，设数列{an}的前n项和Sn=f（n）．

（I）求函数f（x）的表达式；

（II）设各项均不为0的数列{bn}中，所有满足bi•bi+1＜0的整数i的个数称为这个数列{bn}的变号数，令（n∈N*），求数列{bn}的变号数．

23、【题文】已知数列中，通项是项数的一次函数；

①求的通项公式，并求

②若是由组成，试归纳的一个通项公式.评卷人得分五、计算题(共3题，共21分)24、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．25、设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．求L的方程；26、求证：ac+bd≤•．评卷人得分六、综合题(共3题，共12分)27、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．28、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为29、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】

∵∴

∴．

故选C．

【解析】【答案】先对函数f（x）进行求导，再将x=代入即可．

2、B【分析】【解析】试题分析：过圆内一点E（0，1）的最长弦为直径，最短弦为过E与直径垂直的线段，所以所以该四边形的面积为考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系、弦长公式和四边形面积的计算，考查学生数形结合思想的应用和运算求解能力.【解析】【答案】B3、D【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由于是第四象限角，那么可知正弦值为负数，余弦值为正数，可知分别为那么可知结论为D.

考点：三角函数的定义。

点评：主要是考查了同角公式的运用，属于基础题。【解析】【答案】D4、C【分析】【解析】

试题分析：∵∴函数的周期是故选C

考点：本题考查了三角函数的性质。

点评：熟练掌握两角和差公式及二倍角公式是解决此类问题的关键，属基础题【解析】【答案】C5、A【分析】【分析】五名志愿者分别为A；B，C，D，E；

当一组3人另两组各1人时，有种分法；

当一组1人另两组各2人时，有种分法；

所以不同的派给方案为种．故选A.6、D【分析】【解答】因为参数方程可知y=x+3,令x=0,y=0得到的坐标分别是（0,3），（-3,0）选D

【分析】本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是根据所给参数方程化为普通方程，然后计算其余坐标轴交点即可7、A【分析】解：a鈫�=(鈭�3,2,5)b鈫�=(1,m,3)

当a鈫�隆脥b鈫�

时，a鈫�?b鈫�=0

即鈭�3隆脕1+2m+5隆脕3=0

解得m=鈭�6

．

故选：A

．

根据a鈫�隆脥b鈫�

时，a鈫�?b鈫�=0

列出方程求出m

的值．

本题考查了空间向量的数量积的应用问题，是基础题目．【解析】A

二、填空题(共5题，共10分)8、略

【分析】

由=得：

∴．

∴曲线在点（1，1）处的切线方程为即x-2y+1=0．

故答案为x-2y+1=0．

【解析】【答案】求出函数的导函数，然后求出在x=1时的导数值，则曲线在点（1；1）处的切线的斜率可求，利用直线方程的点斜式可得直线方程，最后化为一般式．

9、略

【分析】试题分析：在区间上为增函数，当时有最小值为-54考点：利用导数判断函数的单调性求最值.【解析】【答案】-5410、略

【分析】【解析】

试题分析：当点在平面内运动时，此时

当点在平面内运动时，在方向上的投影为此时成立；

当点在正方体的侧面和上运动时，考虑时，点的位置，由于此时在方向上的投影为如下图所示，分别在棱取点使得此时。

当点在正方体的侧面上且在四边形的边上或其上方时，在方向上的投影不小于此时矩形的面积

当点在正方体的侧面上且在四边形的下方时，此时在方向上的投影小于此时故由几何概型的计算公式得

考点：1.平面向量的数量积；2.几何概型【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】设z=a+bi(a、b为实数)，i(z＋1)=i(a+1+bi)=-b+(a+1)i=-3+2i,

因此b="3,a+1=2,"则z的实部a=1.【解析】【答案】112、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】三、作图题(共8题，共16分)13、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

14、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．15、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共28分)20、略

【分析】【解析】【答案】略21、略

【分析】

∵集合A={x|x2-2ax+a2-1＜0}=（a-1；a+1）；

集合B={x|x2-6x+5＜0}=（1；5）

又∵A∩B=∅；

∴a-1≥5或a+1≤1

即a≥6或a≤0；

∴实数a的取值范围是a≥6或a≤0．

【解析】【答案】由已知中集合A={x|x2-2ax+a2-1＜0}，集合B={x|x2-6x+5＜0}；我们易求出集合A，B，再由A∩B=∅，我们易构造出一个关于a的不等式，解此不等式即可得到实数a的取值范围．

22、略

【分析】

（Ⅰ）∵不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素。

∴△=a2-4a=0解得a=0或a=4

当a=0时函数f（x）=x2在（0；+∞）递增，不满足条件②

当a=4时函数f（x）=x2-4x+4在（0；2）上递减，满足条件②

综上得a=4，即f（x）=x2-4x+4．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知Sn=n2-4n+4=（n-2）2

当n=1时，a1=S1=1

当n≥2时an=Sn-Sn-1=（n-2）2-（n-3）2=2n-5

∴

由题设可得

∵b1=-3＜0，b2=1+4=5＞0，b3=-3＜0；

∴i=1，i=2都满足bi•bi+1＜0

∵当n≥3时，＞0

即当n≥3时，数列{bn}递增；

∵＜0，由⇒n≥5；

可知i=4满足bi•bi+1＜0

∴数列{bn}的变号数为3．

【解析】【答案】（Ⅰ）由题意可知a=0或a=4．再结合题设条件可知a=4，即f（x）=x2-4x+4．

（Ⅱ）结合题设条件由数列的性质知由题设可得由此入手能够求出。

数列{bn}的变号数．

23、略

【分析】【解析】设则解得

∴∴

又∵即为5,9,13,17,,∴【解析】【答案】①②五、计算题(共3题，共21分)24、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．25、解：所以当x=1时，k=点斜式得直线方程为y＝x－1【分析】【分析】函数的导数这是导函数的除法运算法则26、证明：∵（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）•（c2+d2）≥（ac+bd）2；

∴|ac+bd|≤•

∴ac+bd≤•【分析】【分析】作差（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，即可证明．六、综合题(共3题，共12分)27、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关