【教无忧】高中数学同步讲义（人教B版2019选择性必修一）第48讲 专题2-13 圆锥曲线章末重点题型十九大题型

专题2-13圆锥曲线章末重点题型十九大题型汇总题型1圆锥曲线的定义 7题型2圆锥曲线的标准方程 11题型3圆锥曲线定义的应用 15题型4圆锥曲线的离心率 20题型5和差最值 24题型6直线与圆锥曲线的位置关系 30题型7中点弦问题 39题型8弦长问题 45题型9面积问题 52题型10定点问题 62题型11定值问题 70题型12定直线问题 76题型13角度问题 85题型14点共线问题 96题型15取值范围问题 105题型16最值问题 115题型17向量问题 123题型18存在性问题 131题型19解答题综合 140知识点一．椭圆的定义1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．2.焦点：两个定点F1，F2.3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|.4、半焦距：焦距的一半．知识点二.椭圆的几何性质汇总焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长长轴长＝eq\a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq\a\vs4\al(2b)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)知识点三.点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：1.点P在椭圆上⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；2.点P在椭圆内部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；3.点P在椭圆外部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.知识点四直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：1.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．2.当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；3.当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；4.当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．知识点五.求椭圆中焦点三角形面积的方法：1.根据椭圆的定义求出|PF1|+PF2|＝2a；2.利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；3.利用公式＝eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积4.结论：S∆P知识点六.求解直线被椭圆截得弦长的方法：1.当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．2.当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|(k≠0)．知识点七.双曲线的定义1.定义：在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.2.焦距：这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1.若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；2.若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；3.若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；4.若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。知识点八.双曲线的几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c性质范围x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：eq\a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq\a\vs4\al(2b)；半实轴长：eq\a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq\a\vs4\al(b)离心率e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)知识点九.直线与双曲线的位置关系将直线的方程y=kx+m与双曲线的方程x若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若即，①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点知识点十.双曲线中焦点三角形面积的方法：1.根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；2.利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；3.利用公式＝eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积4.结论：S知识点十一.双曲线的弦长公式已知直线y=kx+m与双曲线E:x2a2知识点十二．抛物线的定义定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．注意：1.定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．2.抛物线的定义用集合语言表示为：P＝{M||MF|＝d}(d为M到直线l的距离)．3.定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M点；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．4.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．知识点十三.抛物线的几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下知识点十四.解决直线与抛物线位置关系问题的方法1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．4.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．知识点十四.抛物线的弦长公式1.已知直线y=kx+m与抛物线y2=2px(p>0)交于Ax2.若直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且与抛物线交于Ax1,题型1圆锥曲线的定义【例题1】（21·22·全国·专题练习）已知动点P(x,y)满足2(x−3)2+(y+2)2=|2x+y−5|A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】C【分析】先将所给式子变形成动点到定点的距离与到定直线的距离的比，再利用圆锥曲线的统一定义进行判定其轨迹形状.【详解】因为2(x−3)所以(x−3)2即动点P(x,y)到定点(3,−2)的距离与到定直线2x+y−5=0的距离的比是常数52故选：C．【变式1-1】1.（21·22·全国·专题练习）点M与定点F(4,0)的距离和它到定直线x=254的距离之比是常数45A．x24+C．x225+【答案】C【分析】先利用动点到定点的距离与到定直线的距离的比判定轨迹是椭圆，再求其标准方程.【详解】因为点M与定点F(4,0)的距离和它到定直线x=25所以由椭圆的第二定义得M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，设方程为x2则c=4a2c=25则b2所以M的轨迹方程为x2故选：C．【变式1-1】2.（15·16·成都·期中）已知动点P到点M(−2,0)和到直线x=−2的距离相等，则动点P的轨迹是A．抛物线 B．双曲线左支C．一条直线 D．圆【答案】C【详解】试题分析：由题意得，设P(x,y)，因为动点P到点M(−2,0)和到直线x=−2的距离相等，即|PA|=d，即(x+2)2+y2=|x+2|考点：轨迹方程的求解.【变式1-1】3.（22·23下·黔西·一模）在正方体AC1中，点M为平面ABB1A1内的一动点，d1是点M到平面ADD1A1的距离，dA．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】A【分析】根据条件作出正方体AC1，再以A为原点，直线AB、AD和AA1分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系，设正方体AC1的棱长为a（a>0），再设点Mx,0,z，根据题目条件得到x【详解】由条件作出正方体AC1，并以A为原点，直线AB、AD和AA1分别为x、设正方体AC1的棱长为a（a>0），点所以得d1=x由d1=λd所以x2=λ2a−x2当λ=1时，①式化得：z2此时，点M的轨迹是抛物线；当λ≠1时，①式化得：λ2即λ2⇒⇒z2当0<λ<1时，λ2−1<0，则②式，是双曲线的方程，即点当λ>1时，λ2−1>0，则②式，是椭圆的方程，即点故选：A.【变式1-1】4.（多选）（21·22上·浙江·期末）若椭圆的焦点为F1−c,0，F2c,0（c>0），长轴长为A．x+c2+yC．x−c2+y【答案】ACD【分析】根据椭圆的两个定义可判断AC；根据分母不能为0可判断B；直接化简可判断D.【详解】由椭圆定义可知，A正确；由椭圆第二定义可知C正确；B中显然x≠±a，即椭圆上的长轴端点不满足B中方程，故B错误；由x−c2+y2=a−ca故选：ACD【变式1-1】5.（21·22·全国·课时练习）已知Px,y满足1+x【答案】双曲线【分析】由圆锥曲线的统一定义求解即可【详解】由1+x2+y其几何意义可看成动点Px,y到定点−1,0的距离与到定直线x+y−1=0的距离之比为2由2>1故答案为：双曲线【变式1-1】6.（21·22·全国·专题练习）确定曲线|x+y|=2(x−3)【答案】椭圆【分析】对|x+y|=2(x−3)2+【详解】由已知可得(x−3)2即动点x,y到定点3,−6与到定直线x+y=0的距离比为定值22由圆锥曲线的第二定义可知动点x,y的轨迹为以3,−6为焦点，x+y=0为准线，离心率为22题型2圆锥曲线的标准方程【例题2】（22·23上·淄博·阶段练习）已知双曲线C：x2a2−yA．x23−C．x23−【答案】A【分析】根据双曲线的渐近线方程及点到直线的距离公式计算即可.【详解】设双曲线的一个焦点为c,0，由题意可得−ba=−又c2∴a2=3b2故选：A【变式2-1】1.（23·24上·洛阳·期中）已知椭圆C过点(3,0)，且离心率为63A．x29+C．x29+y23=1【答案】D【分析】就焦点的位置分类讨论后结合基本量的关系可求标准方程.【详解】若焦点在x轴上，则a=3．由e=ca=63此时椭圆C的标准方程为x2若焦点在y轴上，则b=3．由e=ca=此时椭圆C的标准方程为y2综上所述，椭圆C的标准方程为x29+故选：D.【变式2-1】2.（23·24上·长沙·期中）双曲线C与椭圆x29+A．x24−y2=1 B．y【答案】A【分析】由椭圆方程求得半焦距c，则渐近线方程及焦点位置设出双曲线方程，再由半焦距c求得参数值得双曲线标准方程．【详解】由题意知c=5，设双曲线的方程为x2−4y2=λλ>0，∴x故选:A.【变式2-1】3.（23·24上·邢台·期中）已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为坐标轴，且C的准线与圆O：x2【答案】y2【分析】设出抛物线方程，利用准线与圆相切可求出p，即可得抛物线方程.【详解】由圆的对称性，不妨设抛物线方程为y2则抛物线的准线方程为x=−p所以圆心到准线的距离d=0−−解得p=26所以抛物线方程为y2同理，满足条件的抛物线还有y2=−46x，故答案为：y2【变式2-1】4.（浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月教学质量检测数学试题）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A，B为C上位于x轴上方的两点，且AF1//BF2，∠AF1【答案】2【分析】作出图像，由余弦定理及双曲线的定义表示出AF1和BF2，再根据AF1∥PQ∥B【详解】做出图像，如图所示，则F1在△AF1F2中，由设AF1=m所以m2+(2c)2−在△BF1F2中，由设BF2=n所以n2+(2c)2−因为AF所以PQA则PQAF1所以1AF1所以OQ=2由PQ∥AF1可得，△PQF所以b22a2b2故答案为：2．【变式2-1】5.（23·24上·开封·期中）已知双曲线C1:x(1)求C1(2)若双曲线C2:y2m2−x2【答案】(1)x(2)y【分析】（1）由双曲线定义可得答案；（2）由题可设C2:y【详解】（1）双曲线C1:xC1上一点P与两焦点的距离差的绝对值等于6，所以2a=6，a=3，b所以C1的标准方程为x（2）双曲线C2:y设C2将点M3,42带入C2所以C2的标准方程为y题型3圆锥曲线定义的应用【例题3】（21·22上·沈阳·期中）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0<e<1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e>1时，轨迹为双曲线．现有方程mxA．0,8 B．8,+∞ C．0,5 D．【答案】A【分析】将原方程两边同时开平方，结合两点得距离公式和点到直线的距离公式，以及圆锥曲线的统一定义，可得关于m的不等式，从而可得出答案.【详解】解：由方程mx2+得mx则m⋅则22可得动点x,y到定点0,−1和定直线2x−2y+3=0的距离之比为常数22由双曲线得定义可得22m>1故选：A.【变式3-1】1.（14·15上·湖北·期末）在平面直角坐标系中，若方程m(x2+A．(0,1) B．(1,+∞) C．(0,5) 【答案】D【分析】先将方程化简，可得看成是轨迹上点到0,−1的距离与到直线x−2y+3=0的距离的比，利用曲线为椭圆，结合离心率的取值范围列式，即可求得m的取值范围.【详解】由m(x2+y2+2y+1)=(x−2y+3)2可得mx故选：D【变式3-1】2.（22·23·云南·三模）在3世纪，古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0<e<1是地，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e>1时，轨迹为双曲线.现有方程kx+2y+12=A．0,15 B．15,+∞ 【答案】B【分析】根据题意化简方程为5k=(x−2)2【详解】由方程kx+2y+12=x即kx+2y+1所以k=即5k=可得动点P(x,y)到定点(2,0)和到定直线x+2y+1=0的距离比为常数5k，要使得方程表示的曲线是双曲线，则满足5k>1，解得k>即实数k的取值范围是(1故选：B.【变式3-1】3.（多选）（23·24上·浙江·期中）已知曲线C的方程为x2A．∀m∈R，曲线CB．∃m∈R，曲线C表示焦点在yC．∀m∈R，曲线C都不表示焦点在yD．当m∈−5,−1时，曲线C【答案】ACD【分析】A.由m+5=m+1>0求解判断；B.由m+1>m+5>0求解判断；C.由m+1>0,m+5<0求解判断；D.由当m∈−5,−1时，方程x【详解】解：若方程x2m+5+所以∀m∈R，曲线C若方程x2m+5+y2所以不存在m，使得曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故B错误；若方程x2m+5+y2所以∀m∈R，曲线C都不表示焦点在y轴上的双曲线，故C正确；D.当m∈−5,−1时，方程x则a2=m+5,b故选：ACD【变式3-1】4.（多选）（23·24上·盐城·期中）已知方程x25−t+A．当1<t<5且t≠3时，曲线C是椭圆；B．当t>5或t<1时，曲线C是双曲线；C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则3<t<5；D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则t<1.【答案】AB【分析】利用椭圆与双曲线的标准方程一一判定即可.【详解】①若曲线C是椭圆，则需5−t>0t−1>05−t≠t−1⇒t∈且当5−t>t−1>0⇒1<t<3时，该椭圆表示焦点在横轴上，故C错误；②若曲线C是双曲线，则需5−tt−1<0⇒t>5或且当t−1>05−t<0时，即t>5故选：AB.【变式3-1】5.（多选）（23·24上·河南·期中）若关于x,y的方程x2+λyA．当λ=−1时，C表示双曲线B．当λ=0时，C表示两条直线C．当λ=1时，C表示圆D．当λ=2时，C表示关于坐标轴对称的椭圆【答案】ABC【分析】根据各个选项的条件，得出相应关于x,y的方程，再根据方程和双曲线、直线、圆及椭圆的特征，即可得出结果.【详解】对于选项A，当λ=−1时，x,y的方程为x2可变形为(x+12)2−对于选项B，当λ=0时，x,y的方程为x2可变形为(x+2)(x−1)+y(x−1)=0，即(x+y+2)(x−1)=0，故x+y+2=0或x−1=0，所以选项B正确；对于选项C，当λ=1时，x,y的方程为x2因为D2+E对于选项D，当λ=2时，x,y的方程为x2故选：ABC.题型4圆锥曲线的离心率【例题4】（23·24上·沙坪坝·期中）椭圆C1:x2a12+y24=1a1>2A．e1e2=1 B．e2=2【答案】D【分析】由椭圆、双曲线共焦点，结合对应方程得a1【详解】由椭圆与双曲线焦点相同，即参数c相同，而e12=c2由1e12当e1e2=1，则当e2=2e当e22−e1综上，A、B不成立，C不一定成立，D一定成立.故选：D【变式4-1】1.（23·24上·浙江·阶段练习）已知椭圆x2a2A．12 B．22 C．23【答案】A【分析】根据图像，求出各点坐标结合向量共线，求出a,c关系即可.【详解】当x=c时，c2所以A(−a,0),B(c,b2aOM=(则OM//OB，则故选：A

【变式4-1】2.（23·24上·台州·期中）如图，已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y

A．292 B．293 C．192【答案】B【分析】延长QF2与双曲线交于点P＇，易得F1P=F2【详解】延长QF2与双曲线交于点P＇，因为F1

设F1P=F2P'=2t，则所以P'Q=12t=243即P'Q2在△P'F1F2中，由勾股定理得故选：B【点睛】关键点点睛：延长QF2与双曲线交于点P＇，利用双曲线对称性及定义求出∠F【变式4-1】3.（23·24上·嘉兴·期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为Fc,0，点PA．23 B．63 C．22【答案】C【分析】根据平面向量的数量积的坐标运算公式和离心率公式计算求解.【详解】由已知设Pa则FP=则FP⋅又OP⋅两式做差可得a2c2则ca故选：C.【变式4-1】4.（多选）（23·24上·衡水·阶段练习）已知双曲线M:x2aA．M的离心率为233 B．MC．M的渐近线方程为y=±3x D．直线x+y−2=0经过【答案】AD【分析】依题意可得c=2，再根据两条渐近线的夹角为60°,a>b>0及【详解】依题意得c=2，则a2+b所以两条渐近线的倾斜角分别为30°,150°，所以所以双曲线方程为x2所以离心率e=233，渐近线方程为y=±33显然直线x+y−2=0过点2,0；故选：AD【变式4-1】5.（多选）（23·24上·河北·期中）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，过点F作A．2λλ+1 B．3λλ2+1 C．【答案】AC【分析】设出直线AF方程：y=−abx−c，分别与两渐近线联立，求得A,B【详解】不妨设C的一条渐近线的方程为y=bax，则直线AF则lAF：y=−ab联立直线AF的方程与y=−by=−abx−cy=−b由y=−abx−cy=bax因为FB=λFA，所以因为e=c所以e=2λλ+1或故选：AC题型5和差最值【例题5】（23·24上·无锡·期中）设F是椭圆x24+y23=1上的右焦点，PA．95 B．3 C．132 【答案】D【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可.【详解】x2设Q为该椭圆的左焦点，Q−1,0所以PQ+于是PA−显然当Q,P,A三点共线，且PA与x+3PA−PF有最小值，最小值为故选：D【变式5-1】1.（22·23上·镇江·期中）已知F是椭圆x29+y25=1

A．6−3 B．6−5 C．6−2【答案】C【分析】设椭圆的右焦点为F'(2,0)，根据椭圆的定义可得|PA|+|PF|=6+|PA|−|PF【详解】椭圆x29+y25=1如图，设椭圆的右焦点为F'则|PF|+|PF∴|PA|+|PF|=|PA|+6−|PF由图形知，当P在直线AF'（与椭圆的交点）上时，当P不在直线AF||PA|−|PF∴当P在F'A的延长线（与椭圆的交点）上时，|PA|−|PF∴|PA|+|PF|的最小值为6−2

故选：C．【变式5-1】2.（23·24上·株洲·阶段练习）设实数x,y满足x2A．25−2 B．1+5 【答案】A【分析】利用椭圆的定义可求代数式的最小值.【详解】设Px,y，则P在椭圆x又x2设S0,1,F如图，设椭圆的左焦点为F1x2当且仅当P,S,F1三点共线且S在而SF1=2，故故选：A.

【变式5-1】3.（22·23·南通·三模）已知F为椭圆C：x24+y2=1的右焦点，P为C上一点，Q为圆A．5 B．6 C．4+23 D．【答案】D【分析】利用椭圆的定义、点和圆的位置关系等知识确定正确答案.【详解】依题意a=2,b=1,c=3，设椭圆C的左焦点为F圆x2+y−32=1PQ+当P,F1,Q三点共线，且F而QF所以PQ+当P,F1M,Q四点共线，且F1在P,Q之间，Q是故选：D

【变式5-1】4.（23·24上·大庆·开学考试）已知定点A−2,3，点F2为椭圆xA．12，27 B．10+5C．12，8 D．9，2【答案】C【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合线段和差的三角不等式列式求解即可.【详解】令椭圆x225+y216=1

显然点A在椭圆内，|AM|+|MF2|=10+|AM|−|MF1而||AM|−|MF1||≤|AF1当点M与M1重合时，(|AM|−|MF1当点M与M2重合时，(|AM|−|MF1所以AM+故选：C【变式5-1】5.（多选）（23·24上·衡水·阶段练习）已知椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，直线A．四边形MF1NF2C．直线BM，BN的斜率之积为−34 D．若点P为椭圆C上的一个动点，则【答案】ACD【分析】根据椭圆定义结合椭圆对称性可判断A；利用椭圆定义以及基本不等式判断B；设Mx1,y1，N−x1,−【详解】对于A，由题意知对于椭圆C:x24l:y=kxk≠0与椭圆C交于M，N则M，N关于原点对称，且|MF1|+|M故四边形MF1N

对于B，由于M，N关于原点对称，故NF所以1=1当且仅当|MF2|MF对于C，设Mx1,y1故kBM而Mx1,y1即x12=4对于D，由于点P为椭圆C上的一个动点，故|PF则|PF1|=4−|P当且仅当T,P,F2共线时，且P在而F2(1,0)，故PT−PF故选：ACD【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于D的判断，解答时要注意利用椭圆的定义将线段差转化为线段之和，结合图形的几何意义即可求解.题型6直线与圆锥曲线的位置关系【例题6】（23·24上·温州·期中）已知直线l:y=x+m与椭圆C:x24A．−7,7C．−6,6【答案】A【分析】直线l和椭圆C有公共点，联立直线方程和椭圆方程消去y便可得到关于x的一元二次方程，方程有解，从而有判别式Δ≥0【详解】直线y=x+m代入椭圆方程消去y得：7x∵直线与椭圆有公共点，方程有解，∴Δ=64解得−7≤m≤7故选：A【变式6-1】1.（多选）（23·24上·淮安·阶段练习）已知直线l的方程为ax−y+1=0，A．l一定经过(0,1)B．l与椭圆x2C．l与圆x−12D．(3,4)到l的距离可能为5【答案】AC【分析】将直线方程化为点斜式可判断A；判断直线所过定点与椭圆和圆的位置关系可判断BC；注意到当BC⊥l时，已知点到直线距离最大，然后求出最大距离即可判断D.【详解】直线l的方程化为点斜式得y−1=ax−0，所以l一定经过(0,1)易知点(0,1)为椭圆x22+

因为0−12+12<4，所以点(0,1)令3a−4+1a记B3,4,C0,1，过点B作BD⊥l，垂足为D，当l与BC不垂直时，必有BD<BC，当BC⊥l时，点B因为32<5，所以(3,4)到故选：AC

【变式6-1】2.（多选）（23·24上·连云港·期中）已知双曲线E：x2A．E的焦距为6B．E的虚轴长为5C．E上任意一点到E的两条渐近线的距离之积为定值D．过点2,1与E有且只有一个公共点的直线共有3条【答案】AC【分析】根据双曲线方程，得到a=2,b=5对于选项C，设出E(x0,y0)，求出双曲线的渐近线方程为对于选项D，借助几何图形，再结合双曲线的性质，即可判断出选项D的正误.【详解】因为双曲线E：x24−对于选项A，因为焦距为2c=6，故选项A正确；对于选项B，因为虚轴长为2b=25对于选项C，双曲线E：x24−y25=1设E(x0,又x024−y对于选项D，如图，由双曲线的性质知，当直线过2,1且与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，这样的直线有两条，又双曲线的右顶点为(2,0)，所以直线x=2与双曲线只有一个交点，当直线与渐近线不平行时，且斜率存在时，设直线方程为y−1=k(x−2)，联立y−1=k(x−2)x消y得到(5−4k由Δ=化简得到5(2k−1)2=0综上，有4条直线与双曲线只有一个交点，故选项D错误，

故选：AC.【变式6-1】3.（多选）（22·23上·省直辖县级单位·阶段练习）直线y=x−2与抛物线C:y2=2xA．抛物线C的准线方程为y=−12 B．拋物线CC．若O为原点，则∠AOB=90∘ D．若A【答案】BC【分析】根据抛物线的方程即可得准线和焦点坐标，进而可判断AB，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，结合向量垂直的坐标运算即可判断C，由焦半径公式即可判断D.【详解】由C:y2=2x，则其焦点为F联立直线与拋物线得y2−2y−4=0，设y1+y由OA⋅OB=显然直线y=x−2不过焦点F，由拋物线定义有AF=x1故选：BC【变式6-1】4.（多选）（23·24上·广州·阶段练习）已知过点F0,1，倾斜角为60∘的直线l与抛物线C:x2=4y相交于A、B两点（点A在第一象限）.过线段AB的中点P作平行于y轴的直线，分别与抛物线CA．PM=MN C．FA=3FB D．直线AN与抛物线【答案】ABD【分析】将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出点P的坐标，进而求出点M、N的坐标，可判断A选项；利用斜率关系判断出NF⊥AB，可判断B选项；求出点A、B的坐标，利用抛物线的焦半径公式，可判断C选项；求出直线AN的方程，将直线AN的方程与抛物线C的方程联立，结合Δ法可判断D选项.【详解】由题意可知，直线l的方程为y=3x+1，设点Ax1,联立y=3x+1x2=4y由韦达定理可得x1+x2=4故点P23,7，所以，直线MN由x=23x2=4y可得抛物线C的准线方程为x=−1，所以，点N2易知点M为线段PN的中点，所以，PM=kNF=−1−123−0=−33解方程x2−43x−4=0可得所以，y1=3y2=3所以，FAFBkAN所以，直线AN的方程为y+1=2+3x−2联立直线AN和抛物线C的方程得y=2+可得x2−42+所以，直线AN与抛物线C相切，D对.故选：ABD.【变式6-1】5.（多选）（23·24上·长沙·阶段练习）已知O为坐标原点，点A1,1在抛物线C:x2=2py(p>0)上，过点B(0,−1)的直线交A．C的准线为y=−14 B．直线AB与C．|OP|⋅|OQ|≥|OA|2 【答案】ACD【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点A坐标的代入抛物线方程得1=2p，所以抛物线方程为x2=y，故准线方程为kAB=1−(−1)1−0=2，所以直线AB的方程为y=2x−1，联立y=2x−1x2=y，可得设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线y与抛物线C只有一个交点，所以直线l的斜率存在，设其方程为y=kx−1,Px联立y=kx−1x2=y得x所以k>2或k<−2,y又|OP|=x所以|OP|⋅|OQ|=y因为|BP|=1+所以|BP|⋅|BQ|=1+k2故选：ACD．【变式6-1】6.（23·24上·杨浦·开学考试）已知曲线C:xx①曲线C的图像不经过第二象限；②若P(x0,y0③存在m∈R,x−2y+m=0与曲线④直线x−2y+m=0与曲线C无公共点当且仅当m∈−其中所有正确结论的序号是．【答案】①②【分析】分x、y的符号情况化简曲线C的方程，从而可画出曲线C的图象，结合图象逐一分析即可．【详解】当x≥0，y≥0时，曲线C的方程为x2−4y2=4当x≥0，y<0时，曲线C的方程为x2+4y2=4当x<0，y≥0时，曲线C的方程为−x2−4当x<0，y<0时，曲线C的方程为−x2+4y2双曲线x24−y2综上，可作出曲线C的图象，如图：

故①正确；由图象可知曲线C的图象上的点都在直线x−2y=0的下方，所以当P(x0,y0)在曲线直线x−2y+m=0是表示与直线x−2y=0平行或重合的直线，由曲线C的图象可知，直线x−2y+m=0与曲线C不可能有四个交点，故③错误；设直线x−2y+n=0与椭圆x24+y2所以Δ=16n2−32(n2−4)=0即直线x−2y−22=0与曲线所以若直线x−2y+m=0与曲线C无公共点，结合曲线C的图象，m≥0或m<−22，故④故答案为：①②．【点睛】方法点睛：1．曲线方程中带有绝对值，一般是分绝对值里的式子的符号讨论去绝对值；2．直线与曲线的交点问题常采用数形结合的方法．【变式6-1】7.（23·24上·南昌·阶段练习）已知直线y=kx−1与双曲线x2−y【答案】−【分析】联立方程，利用二次函数根的分布得到关于k的不等式组，解之即可得解.【详解】因为直线与双曲线x2−y把y=kx−1代入x2−y所以fx=1−因为f0=−5<0，所以所以1−k2<0则实数k的范围为−5题型7中点弦问题【例题7】（23·24上·常州·期中）已知椭圆x2+y22=1，过点P12,1的直线l与椭圆相交于AA．−1 B．−14 C．1 【答案】A【分析】设A(x1,y1【详解】设A(x1,y1),B(x因为A(x1,y1两式相减得x12(x1+所以直线AB的斜率k=y故选：A【变式7-1】1.（23·24上·广州·期中）在椭圆C：x216+A．x+4y−5=0 B．x−4y+3=0 C．4x+y−5=0 D．4x−y−3=0【答案】A【分析】结合点差法求得弦所在直线方程.【详解】设弦为AB，Ax1,两式作差得x12−x22=−4且直线AB的斜率存在，所以−14x则AB所在直线方程为y=−14x−1故选：A【变式7-1】2.（24·25上·宝鸡·一模）设A，B为双曲线x2−yA．1,1 B．−1,2C．1,4 D．1,3【答案】C【分析】根据点差法分析可得kAB【详解】设Ax1,y1,Bx2,可得kAB因为A,B在双曲线上，则x12−所以kAB对于选项A：可得k=1,kAB=9联立方程y=9x−8x2−此时Δ=所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得k=−2,kAB=−联立方程y=−92x−此时Δ=所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：k=4,kAB=联立方程y=94x+此时Δ=对于选项D：可得k=3,kAB由双曲线方程可得a=1,b=3，则AB:y=3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故D错误；故选：C.【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法，解题的关键是根据点差法得到kAB【变式7-1】3.（22·23·成都·二模）已知直线l:y=kx(k>0)与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)相交于A，B两点，点A在第一象限，经过点A且与直线l垂直的直线与双曲线C的另外一个交点为M，点N在A．y=±3x B．y=±5x C．【答案】C【分析】作出辅助线，设Bx1,y1x1<0,y1<0，根据点差法得到kBM⋅【详解】根据题意，画出示意图，如图所示．

因为BN//NM，所以B、N、M三点共线．设线段BM的中点为根据题意，显然可得点O为线段AB的中点，所以OQ//设Bx1,y1x1因为点B，M都在双曲线C上，则x12a即y1+y2x所以kBM⋅k又因为AB⊥AM，则OB⊥OQ，即kOB⋅kOQ=−1所以kBM=−b2y即|ON|=−7|OA|cos而kBM=kBN，故则双曲线C的渐近线方程为：y=±6故选：C【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM=λ【变式7-1】4.（23·24上·全国·课时练习）直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝（）A．2或－2 B．2或－1C．2 D．3【答案】C【分析】将直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理以及中点坐标公式求解.【详解】设A，B两点的坐标为x1,y将直线方程与抛物线方程联立y2得k2x2－4由已知得x1+x2=故选：C.【变式7-1】5.（23·24上·石家庄·阶段练习）已知椭圆x2a2+y【答案】3【分析】先利用点差法应用弦中点，再求椭圆离心率.【详解】设直线与椭圆交于A,B两点，其中Ax将A,B两点代入椭圆可得x12a即x1+x2x所以x1+x令b2=t，则a2所以e2故答案为：3【变式7-1】6.（22·23下·长宁·期中）已知抛物线y2=4x与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦AB的中点M的横坐标为32，则弦AB【答案】5【分析】根据题意设AB:x=ty+1，联立抛物线及韦达定理，结合弦中点横坐标求参数t，最后应用弦长公式求|AB|即可.【详解】由题意抛物线焦点F(1,0)，且直线AB斜率不为0，设AB:x=ty+1，联立抛物线得y2−4ty−4=0，Δ>0，故y所以xA+x则|AB|=1+故答案为：5题型8弦长问题【例题8】（23·24上·南京·阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0),C的上顶点为A，两个焦点为F1,F2，离心率为A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】由离心率为12，得到a，b，c之间的关系，做出简图，分析可得直线DE的方程为：y=33(x+c)，且直线DE垂直平分AF2，所以△ADE的周长等于【详解】因为椭圆的离心率为e=ca=12如图，AF1=AF2=F1所以∠DF1F2=30°设点D坐标x1,y1，点将直线方程与椭圆方程x24c显然Δ>0,则x1+所以DE=解得c=138，由图，直线DE垂直平分AF2，所以△ADE的周长等于△F故选：C.【变式8-1】1.（22·23下·遂宁·阶段练习）已知双曲线E：x23−y2=1，若抛物线y2A．163 B．83 C．8 【答案】A【分析】分别求出抛物线标准方程和直线方程，联立消y求x1+x【详解】因为抛物线y2=2pxp>0双曲线E：x23−所以焦点到渐近线的距离d=p21所以抛物线的标准方程为y2因为直线过焦点且倾斜角为π4所以直线方程为y=x−23所以抛物线标准方程与直线方程联立消y，得x2由韦达定理得，x1所以弦长AB=故选：A【变式8-1】2.（22·23上·唐山·期末）已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A,B两点，连接AF并延长，交抛物线C于点D，若AB中点的纵坐标为AB−1，则当【答案】16【分析】由AB中点的纵坐标为AB−1，可知AF+BF=2AB【详解】由题可得抛物线焦点为0,1，准线为y=−1，设Ax则由抛物线定义可得AF+BF=由题意可得AB中点的纵坐标为y1+y22由余弦定理可得cos=3则cos∠AFB≥12，且∠AFB∈0,π此时△ABF为等边三角形，AB//x轴，直线AD斜率为3或−3如图，设此时AD方程为y=3将其与抛物线联立有y=3x+1x可知Δ=设Dx3,y则y1所以由抛物线定义有AD=故答案为：16.【变式8-1】3.（22·23·全国·专题练习）已知双曲线C的焦点在y轴上，对称中心O为坐标原点，焦距为26，且过点A5,6，则C的标准方程为；若斜率为2的直线l与C交于P，Q两点．且OP【答案】y2−【分析】根据双曲线上的点，结合双曲线的定义可求得双曲线方程；设直线l:y=2x+m，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可求得参数m，再根据弦长公式即可求得PQ．【详解】由已知，可设焦点坐标为F根据双曲线的定义可知：|A即52+(2又c2=故双曲线的方程为：y2设直线l:y=2x+m,P(联立方程组y2−Δ=400x∴∵OP⋅OQ=−21因此PQ=1+k【变式8-1】4.（23·24上·红桥·期中）已知椭圆的长轴长为2a，焦点是F1−3,0、F23,0，点F1到直线x=−a2(1)求椭圆的方程；(2)求线段AB的长．【答案】(1)x(2)85【分析】（1）根据题意及椭圆方程a,b,c的关系求解即可；（2）联立椭圆方程和直线方程，利用韦达定理和两点间距离公式求解即可.【详解】（1）由已知可得c=3且−3−

则b2所以椭圆方程：x2（2）由已知可得直线l斜率k=1，方程为y=x−3联立y=x−3x2设Ax1,y1，B则AB=所以线段AB的长为85【变式8-1】5.（23·24上·石家庄·阶段练习）给定椭圆E:x2a2+y2(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l:y=kx+m与椭圆E交于A、B两点，与其“伴随圆”交于C、D两点，CD=13．求弦长【答案】(1)x(2)2【分析】（1）由离心率得a,c关系，结合b=1及关系式，可求a,c，进而得到椭圆E的方程；（2）由圆的几何关系求得弦心距，再结合圆心到直线距离公式可求m关于k的关系式，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式化简，结合基本不等式可求|AB|的最大值．【详解】（1）由题可知，b=1，e=ca=63故椭圆的标准方程为：x2（2）由（1）可求“伴随圆”为：x2因为|CD|=13，所以圆心到直线距离为d=由圆心到直线距离公式得d=mk2联立直线与椭圆方程x23+由Δ>0得3k2+1−m2>0设Ax1,由弦长公式可得：AB=3若k=0时，则AB=若k≠0时，则AB当且仅当9k综上所述：弦长AB的最大值2.【变式8-1】6.（23·24上·南京·阶段练习）已知双曲线C:x2a2−(1)求双曲线C的方程；(2)直线l:y=kx+3与双曲线交于M,N两点，若MN=163，求【答案】(1)x(2)k=±214565【分析】（1）根据焦点到渐近线距离、离心率和双曲线a,b,c关系可求得a,b，由此可得双曲线方程；（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可构造方程求得k的值.【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线方程为y=±bax∴焦点到渐近线的距离d=bc又离心率e=ca=72∴双曲线C的方程为：x2（2）由y=kx+3x24则3−4k2≠0Δ=48设Mx1,y1∴MN即1+k23−k2=43−4k2∴k=±214565或题型9面积问题【例题9】（21·22上·深圳·期中）若椭圆x2m+y2t=1m>t>0与双曲线A．t2 B．t C．2t 【答案】B【分析】设PF1=p，PF2=q，再根据椭圆与双曲线的定义列式，化简可得【详解】设PF1=p，P则p+q=2m⋯①，p−q=2n⋯可得①2+②2：p∴△F①2−②2：pq=m−n=2t，S故选：B【变式9-1】1.（23·24上·全国·课时练习）如图所示，已知椭圆的方程为x24+y23=1【答案】3【分析】根据椭圆的定义、余弦定理等知识求得PF1,【详解】由已知a=2,b=3，得c=则F1F2在△PF1F所以PF由PF1+所以4−PF1所以△PF1F故答案为：33【变式9-1】2.（23·24上·南京·阶段练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的离心率为32，上顶点为M，下顶点为N，MN=2，设点Tt,2t≠0在直线y=2上，过点T的直线TM,TN(1)求椭圆C的标准方程；(2)若△NFP的面积为△MEP的面积的2倍，求t的值.【答案】(1)x(2)t=67【分析】（1）根据离心率为32，MN=2，即可计算得出a2（2）利用M,N,T的坐标可求出直线TM,TN方程，与椭圆方程联立即可解得点E和点F坐标，求出直线EF方程可得P0,12，分别写出△NFP和△MEP【详解】（1）如下图所示：

由题可知MN=2b=2，可得b=1，即b又离心率e=ca=32所以椭圆标准方程为x2（2）由（1）可知M0,1,N所以直线TM的斜率为kTM=2−1同理可得直线TN的斜率为kTN=2+1联立直线TM与椭圆方程x24+y2设直线TM,TN分别交椭圆C于点ExE,易知xE=−8t同理直线TN与椭圆方程x24+y2即得xF=24t可得k=−t所以直线EF的方程为y−t2−4即直线EF与y轴的交点为定点P0,12此时△NFP的面积为S△NFP△MEP的面积为S△MEP又△NFP的面积为△MEP的面积的2倍，即S△NFP=2S解得t=±677，所以t的值为t=【变式9-1】3.（23·24上·广东·阶段练习）已知双曲线x2a2−y(1)求双曲线的标准方程；(2)若点P为双曲线右支上一动点，过点P与双曲线相切的直线l，直线l与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，求△FMN的面积的最小值．【答案】(1)x(2)3【分析】（1）求出渐近线方程，由点到直线距离公式得到b=3，再由离心率求出a=1，c=2（2）解法1：先考虑直线l的斜率不存在时，S△FMN=12MN⋅PF=3，再考虑直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，与双曲线方程联立，由Δ=0得到解法2：可设l:x=my+n，与双曲线方程联立，由Δ=0得到3m2+n2=1【详解】（1）由已知得渐近线方程为bx±ay=0，右焦点Fc,0∴bca又∵a2+b2=又因为离心率e=ca，解得a=1，∴双曲线的标准方程为x2（2）解法1：x2−y当直线l的斜率不存在时，此时P1,0，直线l方程为x=1得到y=±3，故MN=23故△FMN的面积S△FMN当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，直线与双曲线联立得x2因为相切，所以Δ=4k2另设Mx1,

联立3x∴x1+xy1y1在△OMN中，OM=2x1∴S△OMN所以S△FMN所以S△FMN因为m2=k综上所述，S△FMN≥3解法2：由条件知，若直线l的斜率存在，则斜率不为零，故可设l:x=my+n，直线与双曲线联立得，x2因为相切，所以Δ=36m2又因为直线l与双曲线的渐近线交于两点，设为Mx1,联立x2由于3m2+则y1由直线l的方程得，直线与x轴的交点坐标为n,0，∴S=1∵3m∴n2≤1即−1≤n≤1，且∴n=1时，S△FMN的最小值为3综上所述，S△FMN≥3【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．【变式9-1】4.（22·23上·安徽·期中）设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4的点，(1)求抛物线C的方程；(2)设过点F且斜率为1的直线l交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积．【答案】(1)y2(2)22【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出p值作答.（2）求出直线l的方程，与C的方程联立，再求出三角形面积作答.【详解】（1）抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=−p2，依题意，所以抛物线C的方程为y2（2）由（1）知，F(1,0)，则直线l的方程为y=x−1，由y=x−1y2=4x消去y得：y2−4y−4=0所以△OMN的面积S△OMN

【变式9-1】5.（22·23下·常德·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A(12,0)，点B在直线l:x=−12上运动，过点B与l(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)设点P是轨迹E上的动点，点R,N在y轴上，圆C:(x−1)2+y2【答案】(1)y(2)8【分析】（1）由题意结合抛物线的定义，即可求得.（2）写出直线PR，PN的方程，根据直线与圆相切的条件，求得方程(x0−2)x2+2y【详解】（1）设点M(x,y)为轨迹上任意一点，由题意知，|MA|=|MB|，所以动点M的轨迹E是以A(12,0)设其方程为y2=2px(p>0)，所以p2=1所以动点M的轨迹E的方程为y2（2）设P(x0,y0)，所以直线PR的方程为(y圆C:(x−1)2+y2因为圆C:(x−1)2+y2=1内切于则圆心(1,0)到直线PR的距离为1，即|y则2x0b(y−b)+因为x0>2，所以化简①得，(x圆C:(x−1)2+y2=1内切于同理可得(x0−2)由②③可知，b,c为方程(x0−2)又b>c，y02=2所以|b−c|=b−c=(b+c)2−4bc=故△PRN的面积为S=12(b−c)x0=等号当且仅当x0−2=4x0此时点P的坐标为(4,22))或故当P的坐标为(4,22)或(4,−22)时，

【变式9-1】6.（23·24上·泰安·阶段练习）在直角坐标系xOy中，动圆P过定点F0,14，且与定直线l:y=−14(1)求W的方程；(2)已知正方形ABCD有三个顶点在W上，求正方形ABCD面积的最小值.【答案】(1)y=(2)2【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得W的方程.（2）利用基本不等式求得正方形边长的最小值，从而求得正方形ABCD面积的最小值.【详解】（1）设P点坐标为x,y，则由题意得：|y+1整理得：y=x2，即W的方程为（2）如图，不妨设三个顶点中有两个在y轴右侧（包括y轴），且设A､B､C三点的坐标分别为x1,y1､x2,yy3−y又A､B､C三点在抛物线W上，所以y1=x12代入上面两式得：x3=k−x由于|AB|=|BC|，即x1所以1+1k2所以1k+2x所以k3≥1，k≥1，且有所以正方形边长为1+==k当且仅当k=1时，即B点为原点时等号成立.所以正方形面积的最小值为2.

【点睛】方法点睛：求轨迹方程的一般方法：1.待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法.2.直接法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标x,y表示该等量关系式，即可得到轨迹方程．题型10定点问题【例题10】（多选）（23·24·大理·一模）过抛物线C：y2=2px上一点A．C的准线方程是x=−4B．过C的焦点的最短弦长为12C．直线MN过定点4,4D．当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为2x+y−38=0【答案】AD【分析】对于A,根据点A1,−4在抛物线上，求出抛物线方程，即可求出准线方程；根据过抛物线C的焦点且与x轴垂直时弦长最短为2p，可判断B；对于C,设直线MN为x=my+n，联立直线和抛物线方程消元后，再根据韦达定理即AM⊥AN，即可求得直线MN所过定点；对于D,当MN⊥AP时，点A到直线MN的距离最大，即可求得MN【详解】将A1,−4代入抛物线C中得p=8，则抛物线C为y故抛物线C的准线方程为x=−4，故A正确；当过抛物线C的焦点且与x轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，故B错误；设直线MN为x=my+n，My12联立抛物线可得，y2∴y1+y∵AM⊥AN，∴AM⋅AN∵y1≠−4，y2≠−4∴y1化简整理可得，y1∴−16n−64m+272=0，得n=−4m+17，∴直线MN为x=my−4∴直线MN过定点P17,4当MN⊥AP时，点A到直线MN的距离最大，此时kMN⋅k此时直线MN为2x+y−38=0，D正确.故选：AD.【变式10-1】1.（多选）（23·24上·长沙·阶段练习）已知F是抛物线C:y2=x的焦点，Ax1A．若BB'垂直C的准线于点B'，且BBB．若AF=54，则C．若直线AB过点F，则2x1D．若OA⋅OB=−1【答案】BCD【分析】对于A，由条件可得BF垂直于x轴，然后可得四边形OFBB'的周长，对于B，由条件可得点A的横纵坐标，即可得△AOF的面积，对于C，设直线AB:x=my+14，然后联立抛物线的方程消元，然后得到x1x2=1【详解】

对于选项A，由题意知OF=14，且BF垂直于x设BB'与y轴的交点为D，易知故OB所以四边形OFBB'的周长为14对于选项B，由题意得AF=x1+1从而S△AOF=1对于选项C，若直线AB过点F，设直线AB:x=my+1联立直线AB与抛物线方程得y2−my−1则y1所以2x当且仅当2x对于选项D，设直线AB:x=my+t，联立直线AB与抛物线方程得y2则Δ=m2−4t>0，即m2由OA⋅OB=−即t2−t=−1故直线AB的方程为x=my+12，即直线AB恒过定点故选：BCD.【变式10-1】2.（多选）（23·24上·长春·阶段练习）下列说法错误的是（

）A．直线x+2y+2=0的倾斜角是2B．过点(1,2)，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程为x−y+1=0C．圆C:x2D．椭圆C的方程为x2【答案】ABD【分析】根据直线斜率即可计算倾斜角判断A，根据直线是否过原点分类讨论求解直线方程即可判断B，把圆的方程变形，列式求解即可得定点判断C，根据椭圆的几何性质即可求解判断D.【详解】对于A，直线x+2y+2=0的斜率为：−12，则其倾斜角的正切值为−1对于B，若直线l过原点，则方程为：y=2x，若直线l不过原点，则设直线l的方程为y=kx+b，由题意k+b=2b=bk所以直线l方程为y=x+1，即x−y+1=0，综上，直线l的方程为y=2x或x−y+1=0，错误；对于C，C:x2+(λ−2)x+令x2+y所以圆C:x2+(λ−2)x+对于D，因为椭圆C的方程为x225+y216=1所以椭圆C的焦距为2c=6，短轴长为2b=8，错误.故选：ABD.【变式10-1】3.（多选）（23·24上·济南·开学考试）已知抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，直线l交抛物线于Ax1,A．y1y2=−8 C．S△AOB的最小值为22 D．【答案】ABD【分析】设直线l的方程为x=my+n,联立直线和抛物线方程并消去x，利用韦达定理可求得y1+y2=4m,y1y2=−4n，在把OA⋅OB=−4转化为坐标，可求得y1【详解】设直线l的方程为x=my+n,联立x=my+ny2=4x则y1又OA⋅OB即y12y2216+则−4n=−8,即n=2，所以直线l的方程为x=my+2,则直线l过定点2,0，故A,B正确；S=16m2即S△AOB的最小值为42，故因为x1x2当且仅当x2=4x1，即故选：ABD【变式10-1】4.（23·24上·福州·期中）已知圆E:(x+1)2+y2=8，F(1,0)为圆E内一个定点，P是圆E上任意一点，线段FP的垂直平分线l交EP于点(1)求点Q的轨迹C的方程；(2)已知圆O：x2+y2=23在C的内部，A,B是C【答案】(1)x(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆定义求解即可.（2）根据题意设出直线方程，利用直线与圆相切得到k与m的关系，当直线斜率不存在时，以AB为直径的圆过原点，先猜后证的方法，猜测恒过原点，再验证以AB为直径的圆过原点即可.【详解】（1）

因为点Q是线段FP的垂直平分线上的一点所以QF因为QE所以点Q的轨迹C是以E，F为焦点的椭圆其中a=2，c=1，所以点Q的轨迹C的方程为：x（2）

（i）当直线AB垂直于x轴时，不妨设A63,此时OA⋅OB=0，所以OA⊥OB，故以AB（ii）当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB方程为y=kx+m，Ax1,因为直线AB与圆O相切，所以点O到直线AB的距离为d=m即3m由y=kx+mx22所以x1+x所以OA⋅===所以OA⊥OB，故以AB为直径的圆过点O.综上所述，以AB为直径的圆过定点O.【变式10-1】5.（23·24上·湖南·期中）已知抛物线C:y2=2pxp>0经过点M2,−22，直线(1)求抛物线C的方程；(2)如果OA⋅OB=−4【答案】(1)y(2)过定点2,0【分析】（1）将点M2,−22代入抛物线方程，可得（2）设出直线方程l:my=x+n，与抛物线方程联立，由数量积公式结合韦达定理可得n=−2，进而可得答案.【详解】（1）由题意可知，将点M2,−2可得−222=2p×2则抛物线方程为y2（2）因为，直线l与抛物线相交于不同的A、B两点，所以直线不与x轴平行，可设l:my=x+n，与y2=4x联立，得设Ax1,y1，B由OA====n2+4n=−4∴l:my=x−2过定点2,0．题型11定值问题【例题11】（22·23上·南阳·阶段练习）已知椭圆C:x26+y22=1的左，右焦点分别为F1，F2，A．AB的最大值为2B．AFC．C的焦距是短轴长的2倍D．存在点A，使得A【答案】C【分析】由椭圆方程，结合椭圆的对称性、定义及余弦定理判断各项的正误即可.【详解】由题意，a2=6，b2=2，c2=a而AB≤2a=26，由椭圆的对称性知，AF当A在y轴上时，cos∠F1所以存在点A，使得AF

故选：C【变式11-1】1.（22·23·郑州·模拟预测）已知A，B分别为双曲线x29−y2=1的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点，设A．tanα+tanβ为定值 C．S⋅tanα+β为定值 D．【答案】C【分析】利用三角换元得到P3cosθ,tanθ,θ∈0,π2，利用斜率公式可求【详解】由于双曲线的对称性，可设P3由双曲线x29−则tantanβ=−tanθ3cos因此tanα=13对于A,对于B,由于tanαtanβ=若tanα2tanβ2为定值,则tan于是tanα,对于选项C,因此S⋅tan(α+β)=−9故选：C.【点睛】关键点点睛：这道题关键的地方是利用三角换元法假设出P3【变式11-1】2.（22·23下·河南·二模）已知动点P在双曲线C：x2−y23①C的离心率为2；

②C的焦点弦最短为6；③动点P到两条渐近线的距离之积为定值；④当动点P在双曲线C的左支上时，PF1P其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】①由性质可得；②用特殊值可判定；③设点坐标计算化简即可，④利用双曲线的焦半径办公计算即可.【详解】由题意可得e=41=2显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时，该弦长为实轴，长度为2＜6，即②错误；易知双曲线的渐近线方程为y=±3x，设点Px0,y0对于④，先推下双曲线的焦半径公式：对双曲线x2a2−y则PF同理PF所以PF设点Px0,y0故PF其中1−2x0≥3由二次函数的性质可得其最大值为18，当且仅当11−2x0=综上正确的是①③两个.故选：B【变式11-1】3.（多选）（23·24上·江苏·开学考试）已知椭圆C：x24+y23=1的左右焦点为F1，F2，若P为椭圆C上一动点，记△PF1F2的内心为I，外心为M，重心为GA．∠F1PF2的最大值为πC．PI⋅PG为定值 D．【答案】ACD【分析】利用基本不等式求出PF1⋅PF2的取值范围，再由余弦定理求出cos∠F1【详解】对于A：在椭圆C中，a=2，b=3，则c=a2−b由椭圆的定义可得PF1+由基本不等式可得PF1⋅所以cos=P又0<∠F1PF2<π对于B：∵S当点A为椭圆C的短轴的顶点时，S△PF1∴r=S△AF1F对于C：如图，设△PF1F2的内切圆与三边分别相切与A，B，C，又G，则PB=PC，F1所以PB=所以PI==1即PI⋅对于D：∵S△PF又F1F2则R==12−6PF故选：ACD【点睛】关键点睛：本题解得的关键是由基本不等式求出PF【变式11-1】4.（多选）（23·24上·浙江·阶段练习）已知抛物线E:y2=4x上的两个不同的点Ax1,y1,BA．E的焦点坐标为1,0 B．x1C．x1x2是定值【答案】ABD【分析】根据抛物线的性质可判定A选项；根据A、B关于直线对称及点在抛物线上可得x1+x2=ky1【详解】根据抛物线的性质可知抛物线的焦点坐标为1,0，即A正确；设A、B的中点为D，则Dx1+又kAB=y1−将③④代入②可得：y1代入①可得x1故B正确，C错误；所以A、B的中点D坐标为2,−2则直线AB的方程为：y+2令y=0得：x0而D位于抛物线内部，即−2k2则x0故选：ABD题型12定直线问题【例题12】（22·23下·嘉定·阶段练习）已知O为坐标原点，M为抛物线C：y2=4x上一点，直线l：（1）OA⋅OB=−3；（2）若点M(9,−6)（3）点P在定直线x=−3上；（4）设点Q(3,0)，则MQ的最小值为3．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断（1），（2），分别求出点A,B处的切线方程，联立切线方程求点P的坐标，即可判断（3），设My【详解】对于（1），设A(x1,y1由16m所以y1所以OA=(=−12(m对于（2），因为M(9,−6)，直线AM与BM倾斜角互补，所以kAM所以2my所以−24m+4m(6m−6)−72−12所以24m2−48m−72=0所以m2−2m−3=0解得m=3，所以（2）正确，对于（3），设点A在x轴上方，B在x轴下方，设Ayx轴上方的抛物线方程为y=2x，x轴下方的抛物线方程为y=−2此时在点A处的切线的斜率为k1=1x1所以在点A处的切线方程为y−y1=2y方程化简为yy1=2x+两式相除化简得x=y对于（4），设My024,当y02=4时，MQ故选：C

【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线切线方程的求法，解题的关键是直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，然后逐个分析，考查计算能力，属于较难题.【变式12-1】1.（多选）（22·23·沧州·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为6.过F2作直线l交双曲线A．C的渐近线方程为y=±B．点H与点G均在同一条定直线上C．直线HG不可能与l平行D．HG的取值范围为2【答案】ABD【分析】根据题意求出b、a、c的值，可得出双曲线C的渐近线方程，可判断A选项；利用切线长定理以及双曲线的定义可判断B选项；取l⊥x轴，可判断C选项；设直线AB的倾斜角为θ，求出HG=22sinθ【详解】设双曲线C半焦距为c，双曲线C的渐近线方程为y=±bax双曲线C的右焦点F2c,0到渐近线的距离为由题意知e=c所以a2=2，所以c=b2+故渐近线方程为y=±3对于B选项，记△AF1F2的内切圆在边AF1、AF2、

由切线长定理可得AM=AN，F1由AF1−得MF1−记H的横坐标为x0，则Ex0,0，于是同理内心G的横坐标也为a，故HG⊥x轴，即H、G均在直线x=a上，故B正确；对于C选项，当l与x轴垂直时，HG//对于D选项，设直线AB的倾斜角为θ，则∠OF∠HF2O=在△HF2Gc−asin由于直线l与C的右支交于两点，且C的一条渐近线的斜率为ba=3结合图形可知60∘<θ<120∘，即故选：ABD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【变式12-1】2.（多选）（21·22·江苏·单元测试）在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2=2y的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为AxA．yB．以AB为直径的圆与直线y=−1C．OA·OBD．经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上【答案】ABD【分析】联立直线l与抛物线x2取AB中点M即为圆心，分别过A、B、M作直线y=−12的垂线，由抛物线定义得M到直线OA·OB=x1写出两条直线方程并联立求出交点坐标，结合前面结论化简交点纵坐标，即可判断D．【详解】解：由抛物线x2=2y，知焦点由题意知直线l斜率存在，设直线l方程为y=kx+1联立x2=2y，消x得所以y1设AB中点为M，M为以AB为直径的圆的圆心，又y=−12是抛物线分别过A、B、M作直线y=−12的垂线，垂足分别为A'、B得MM由抛物线定义知AA'+B故B正确；联立直线l与抛物线x2=2y，得y1因为y1所以k=y即xOA·故C错误；经过点B与x轴垂直的直线为x=直线OA为y=y联立得交点x2因为x1则y1所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线y=−1故D正确．故选：ABD．【变式12-1】3.（多选）（21·22上·南京·开学考试）已知F为抛物线C：y2=2px（A．抛物线y=ax2的的焦点到其准线的距离为B．已知抛物线C与直线l：4x−3y−2p=0在第一、四象限分别交于A，B两点，若|AF|=λ|FBC．过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则四边形D．若过焦点F的直线l与抛物线C相交于M，N两点，过点M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，切线l1【答案】BCD【分析】A：根据焦点到准线的距离等于p(p>0)即可判断A选项；B：联立{4x−3y−2p=0y2=2px，得x1=p8,x2=2p，进而结合焦半径公式得到|AF|与|FB|进而可以求出λ的值，从而判断B选项；C：由题意可知直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设直线【详解】A：抛物线y=ax2的的焦点到其准线的距离为B：联立{4x−3y−2p=0y2=2px，则由题意可知|AF|=x故5p2=4×5pC：由题意可知直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设直线联立{x=my+p2设两交点为A(x1,所以|AB