【教无忧】高中数学同步讲义（人教B版2019选择性必修二）第02讲 3.1.2 排列与排列数【KS5U 高考】

.1.2排列与排列数TOC\o"1-3"\h\u题型1排列的概念 2题型2简单的排列问题 5题型3排列数公式 8◆类型1利用排列数公式化简求值 8◆类型2与排列数有关的方程不等式问题 11题型4元素相邻问题 14题型5元素不相邻问题 17题型6定位定元问题 22知识点一.排列与全排列的定义1.排列：一般地，从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，m=n时的排列（即取出所有对象的排列）称为全排列.【注意】排列中元素所满足的两个特性(1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题．(2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．2.相同排列：如果组成排列的对象是相同的，并且对象的排列顺序也相同，那么就称这两个排列是相同的.【注意】相同排列的两个条件(1)元素相同．(2)排列顺序相同．知识点二.排列数及其公式1.排列数定义：从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号Amn表示.2.排列数公式：Amn=n（n-1）..[n-（m-1）]，m个数=n（n-1）..（n-m+1），这个公式称为排列数公式.特别地，当m=n时，Amn=n×（n-1）×...×2×1=n!【注意】排列的定义中包含两个基本内容，一是"取出元素"，二是"按照一定的顺序排列".一个排列就是完成一件事的一种方法，不同的排列就是完成一件事的不同方法.3.在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，究竟何时有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别.4.“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事，"排列数"是指"从n个不同元素中取出m（m，n都是正整数，m≤n）个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.知识点三．排列数及排列数公式排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数表示法Aeq\o\al(m,n)排列数公式乘积式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)阶乘式An性质Aeq\o\al(n,n)＝n！备注n，m∈N*，m≤n题型1排列的概念【方法总结】判断一个具体问题是否为排列的方法与技巧（1）解决本题的关键有两点∶一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”.（2）判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的"位置"（这里的"位置"应视具体问题的性质和条件来判断）【例题1】（2022·全国·高三专题练习）下列问题是排列问题的是（

）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合a1D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？【答案】D【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可.【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．故选：D【方法小结】判断一个具体问题是否为排列问题的方法【变式1-1】1．（2022·全国·高二课时练习）从集合3,5,7,9,11中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆x2a2上面四个问题属于排列问题的是（

）A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④【答案】B【分析】根据排列的定义，关键是确定选取的两个数有无顺序．【详解】∵加法满足交换律，∴①不是排列问题；∵除法不满足交换律，∴②是排列问题；若方程x2a2在双曲线x2a2−y【变式1-1】2.（2022·全国·高二课时练习）下面问题中，是排列问题的是（

）A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合【答案】A【分析】根据排列与排列数的定义，逐项判定，即可求解.【详解】根据排列及排列数的定义，可得：对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题；对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题；对于C中，从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题；对于D中，从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关的问题，不是排列问题.故选：A.【变式1-1】3．（2022·全国·高二课时练习）（多选）从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素，下列四个问题属于排列问题的是（

）.A．相加可得多少个不同的和B．相除可得多少个不同的商C．作为椭圆x2D．作为双曲线x2【答案】BD【分析】利用排列的定义对四个选项一一判断.【详解】对于A：因为加法满足交换律，所以A不是排列问题；故A错误；对于B：因为除法不满足交换律，如53对于C：若方程x2对于D：在双曲线x2【变式1-1】4．（2022·全国·高二课时练习）判断下列问题是不是排列问题，如果是，请列出其所有排列；如果不是，请说明理由．(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)从集合M=1,2,⋯,9中任取两个相异的元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程【答案】(1)是排列问题，12种(2)不是排列问题，焦点在x轴上的椭圆方程已经确定了a，b的大小关系．【分析】（1）这是排列问题，机票的起点、终点不同是不同的机票，与顺序有关．（2）这不是排列问题，(1)解：这是排列问题．列出每一个起点和终点的情况，如图所示．故应该有12种机票．(2)解：这不是排列问题．焦点在x轴上的椭圆，其方程中的a，b必有a>b，即取出的两个数哪个是a，哪个是【变式1-1】5．（2022·全国·高二课时练习）下列问题是排列问题吗？(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）；(2)某班40名学生在假期相互写信；(3)会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(4)平面上有5个点，其中任意3个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？【答案】(1)不是排列问题.(2)是排列问题.(3)选3个座位不是排列问题；选3个座位安排三位客人是排列问题.(4)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题【分析】根据排列的定义，再结合交换元素的位置看结果是否改变即可判断.(1)来回的票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.(2)A给B写信与B给A写信是不同的两件事，所以存在着顺序，属于排列问题.(3)任选3个座位，与顺序无关，不是排列问题；选3个座位安排三位客人，与顺序有关，故是排列问题.(4)直线与两点的顺序无关，故确定直线不是排列问题，射线与两点的顺序有关，故确定射线是排列问题.题型2简单的排列问题【例题2】（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）甲、乙分别从《扬州民间艺术》、《扬州盐商文化》、《扬州评话》和《大运河的前世今生》4门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同的选法有（

）种.A．6 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】由于两人选不同，属于排列，计算结果即可.【详解】甲、乙2位同学分别从4门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则有A4故选：C.【变式2-1】1．（2022·吉林·高二期末）将3张不同的奥运会门票分给6名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是（

）A．240 B．120 C．60 D．40【答案】B【分析】由排列的定义即可求解.【详解】解：因为将3张不同的奥运会门票分给6名同学中的3人，每人1张，所以不同分法的种数为A6故选：B.【变式2-1】2．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高二阶段练习）从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（

）A．60种 B．80种 C．100种 D．120种【答案】D【分析】利用排列的定义直接列式求解.【详解】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共A6【变式2-1】3．（2022·北京·临川学校高二期中）从5名学生中选出正，副班长各一名，不同的选法种数是（

）A．9 B．10 C．20 D．25【答案】C【分析】利用排列、排列数的定义直接列式计算作答.【详解】从5名学生中选出正，副班长各一名，不同的选法种数是A5【变式2-1】4.．（2022·全国·高二课时练习）（多选）下列问题中，属于排列问题的是（

）A．有10个车站，共有多少种不同的车票B．有10个车站，共有多少种不同的票价C．平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段D．从10名同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法【答案】ACD【分析】根据排列的概念逐项判断即可.【详解】A：有10个车站，共需要准备多少种车票？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；B：有10个车站，共有多少种不同的票价？相当于从10个不同元素中任取2个并成一组，无顺序要求，不属于排列问题；C：平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；D：从10名同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？相当于从10个不同元素中任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题．故选：ACD．【变式2-1】5.(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．【解析】(1)由题意作“树形图”，如下．故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．(2)由题意作“树形图”，如下．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.【方法小结】利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略：（1）使用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式；（2）策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列。【变式2-1】6.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排所有站法为()A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B．甲乙丙，乙丙甲C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D．甲乙，甲丙，乙丙【答案】C【解析】从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下几种站法：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙．【变式2-1】7.北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．【解析】列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种．题型3排列数公式【方法总结】应用排列数公式时应注意的三个方面(1)准确展开．应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确．(2)合理约分．若运算式是分式形式，则要先约分后计算．(3)合理组合．运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性．◆类型1利用排列数公式化简求值【例题3-1】（2022·北京顺义·高二期末）A5A．20 B．10 C．5 D．2【答案】A【分析】由排列数定义计算．【详解】A5【变式3-1】1．（2022·山东枣庄·高二期末）7×8×9×⋅⋅⋅×15可表示为（

）A．A159 B．A158 C．【答案】A【分析】由排列数公式判断即可【详解】因为是7×8×9×⋅⋅⋅×15连续9个数和相乘，所以7×8×9×⋅⋅⋅×15=A【变式3-1】2．（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）计算：A7A．A44 B．A74 C．【答案】B【分析】根据排列数公式计算即可【详解】A7【变式3-1】3．（2022·全国·高三专题练习）A10【答案】0【分析】根据排列数的计算公式，化简得到A10【详解】根据排列数的计算公式，可得A=10A99【变式3-1】4．（2022·河北·藁城新冀明中学高二阶段练习）A2【答案】696【分析】根据排列数的性质可求得n=3【详解】由已知可得n+3≤2nn+1≤4，解得故答案为：696.【变式3-1】5．（2022·北京大兴·高二期中）A5【答案】6【分析】根据排列数的运算性质即可得出结果.【详解】A55−19【变式3-1】6．（2022·江苏徐州·高二期中）计算A9【答案】0【分析】利用排列数的性质化简求值即可.【详解】由7A66=A故答案为：0【变式3-1】7．（2022·全国·高三专题练习）计算：A5【答案】15【分析】利用排列数的计算公式即可计算．【详解】A52+【变式3-1】8．（2022·全国·高二课时练习）证明nn(1)12!(2)12!【答案】(1)证明见详解，1−110!；(2)【分析】1由n!=n×nn+1!2根据证出nn+1!（1）解：证明：由n!=n×n−1×（2）解：因为nn所以12!【变式3-1】9.(1)计算A8(2)化简Aeq\o\al(1,1)＋2Aeq\o\al(2,2)＋3Aeq\o\al(3,3)＋…＋nAeq\o\al(n,n)＝__．【答案】（1）527（2）【解析】(1)原式＝eq\f(4A\o\al(4,8)＋A\o\al(4,8),4A\o\al(5,9)－A\o\al(5,9))＝eq\f(5A\o\al(4,8),3A\o\al(5,9))＝eq\f(5A\o\al(4,8),3×9A\o\al(4,8))＝eq\f(5,27)．(2)∵kAeq\o\al(k,k)＝(k＋1)Aeq\o\al(k,k)－Aeq\o\al(k,k)＝Aeq\o\al(k＋1,k＋1)－Aeq\o\al(k,k)∴原式＝1＋(Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(2,2))＋(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3))＋…＋(Aeq\o\al(n＋1,n＋1)－Aeq\o\al(n,n))＝Aeq\o\al(n＋1,n＋1)＋1－Aeq\o\al(2,2)＝Aeq\o\al(n＋1,n＋1)－1．◆类型2与排列数有关的方程不等式问题【例题3-2】（2022·全国·高三专题练习）若A2n3A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根据排列数的计算公式即可求解.【详解】由题意，得2n2n−12故选:B【变式3-2】1．（2021·北京市十一学校高二期末）若4AA．1 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由A2n3=10A所以2(2n−1)=5(n【变式3-2】2．（2022·江苏南通·高二期末）若A63=A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】根据排列数与阶乘的公式求解即可【详解】由A63=m!【变式3-2】3．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二阶段练习）（多选）下列等式正确的是（）A．(n+1)AC．n!n(n【答案】ACD【分析】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可．【详解】对于A，(n+1)A对于B，An对于C，n!对于D，1n−m故选：ACD．【变式3-2】4．（2021·全国·高二课时练习）（1）已知A10m=10×9×⋅⋅⋅×5（2）已知An2=56（3）已知An2=7【答案】

6

8

7【分析】利用排列数的计算公式即可求解.【详解】（1）由A10m=10×9×⋅⋅⋅×5即11−m=5，解得（2）由An2=56，则n（3）由An2=7An解得n=7或n=103（舍）.故答案为：6【变式3-2】5.（2022·全国·高二课时练习）解下列方程：(1)A2(2)3A【答案】(1)x=3(2)x=6【分析】（1）（2）根据排列数公式化简解方程即可．(1)由排列数公式，原方程可化为(2x+1)×2x×(2x−1)×(2x−2)=140x(x−1)(x−2)，化简得4x(2)由3A8x=4A化简得x2−19x+78=0，解得因为0<x≤8且【例题3-3】（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（理））不等式A8A．2,8 B．7,12 C．{x∣7<x【答案】D【分析】根据排列数的性质和计算公式化简求其解即可.【详解】因为A8x<6×A8x−2，所以8！(8−x)!<6×8!(10−x)!【变式3-3】1．（2022·全国·高二课时练习）解不等式：A8【答案】x=8【分析】根据排列数的公式直接求解即可.【详解】由A8x<6A8x−2，得8!8−x由x∈N∗【变式3-3】2.不等式A9【答案】

2,3,4,5,6,7【分析】利用排列数的计算公式化简计算，再结合x的取值范围即可得出答案.【详解】原不等式可化为9!9−x!>6×9!整理得x2−21x+104>0，即x−8因为2≤x≤9，x∈N∗，所以2≤故答案为：2,3,4,5,6,7.题型4元素相邻问题【方法总结】相邻元素捆绑法：如果所给问题中要求某n个元素必须相邻，可将这n个元素先排好，然后将其整体看作一个元素参与排列．【例题4】（2022·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（

）A．72种 B．60种 C．48种 D．36种【答案】C【分析】利用捆绑法，将甲乙捆绑在一起.再由分步计数原理即可计算出结果.【详解】甲、乙相邻共有A22=2种.将甲、乙捆绑与剩余的丙、丁、戊三人全排列有A【变式4-1】1．（2022·全国·高三专题练习）3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（

）A．48种 B．36种 C．20种 D．24种【答案】B【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解.【详解】3名学生相邻,故将3名学生捆绑看成一个整体再与两名老师进行全排列,则共有A3故选:B.【变式4-1】2.6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有()A．720B．360C．240D．120【答案】C【解析】因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有Aeq\o\al(5,5)种排法，但甲、乙两人之间有Aeq\o\al(2,2)种排法．由分步乘法计数原理知，共有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,2)＝240种不同的排法．【变式4-1】3．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）五一期间，李阳的父母带着李阳和李阳的妹妹，一家4人去五台山游玩，他们在入口处站成一排拍照留影，若李阳的父母相邻，则这4人不同的站法种数是（

）A．24 B．12 C．8 D．6【答案】B【分析】利用排列中相邻问题捆绑法及排列数公式即可求解.【详解】若要求李阳的父母相邻，他的父母先站好有A22种方法，然后将其看成一个人再与李阳以及李阳的妹妹站成一排有A3【变式4-1】4．（2022·福建省福州第一中学高二期末）某中学篮球队的5个首发队员站成一排照相，高二、高三均有2个，高一有1个，则高二和高三两个年级中仅有一个年级的队员相邻的站法种数为（

）A．12 B．24 C．48 D．96【答案】C【分析】根据题意相邻可以考虑“捆绑”法，不相邻考虑“插空法”即可求解.【详解】分两类，第一类高二年级队员相邻高三年级队员不相邻，把高二两个队员“捆绑”看作一个元素与高一一个队员排列有A22A22第二类高三年级队员相邻高二年级队员不相邻，与第一类方法相同，也有A2由分类加法计数原理知，共有2A2【变式4-1】5．（2022·全国·高三专题练习）某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（

）种不同的排法A．24 B．144 C．48 D．96【答案】D【分析】先安排数学，将物理和化学捆绑，与其余三门课程进行排序，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】若数学只能排在第一节或者最后一节，则数学的排法有2种，物理和化学必须排在相邻的两节，将物理和化学捆绑，与语文、英语、生物三门课程进行排序，有A2由分步乘法计数原理可知，共有2×48=96种不同的排法.故选：D.【变式4-1】6．（2022·浙江·高二阶段练习）某学校筹备元旦晚会节目单时，准备在前五个节目排三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目，若三个歌唱节目最多有两个相邻，则不同的排法总数为（

）A．75 B．80 C．84 D．96【答案】C【分析】利用间接法求解，先求出五个节目的全排列数，再求出三个歌唱节目都相邻的排法数，相减即可得结果.【详解】三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目的全排列的排列数为A55，其中三个歌唱节目都相邻的排法数为A3【变式4-1】7．（2022·河北·高三阶段练习）现有三名学生与两名教师随机地排一排照相，则每名学生都至少与一名教师相邻的概率为（

）A．12 B．15 C．25【答案】D【分析】根据排列求出每名学生都至少与一名教师相邻的排法种数，再由古典概型求解即可.【详解】由已知三名学生不相邻○○或是如下排列○○，○○时，满足条件，其中代表学生，○代表老师.共有A22A33+2A22A33=12+24=36【变式4-1】8.《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有()A．240种B．188种C．156种D．120种【答案】D【解析】根据题意，由于任务A必须排在前三位，分3种情况讨论：①、A排在第一位：任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有Aeq\o\al(3,3)＝6种安排方法，则此时有4×2×6＝48种安排方案；②、A排在第二位：任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有Aeq\o\al(3,3)＝6种安排方法，则此时有3×2×6＝36种安排方案；③、A排在第三位：任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有Aeq\o\al(3,3)＝6种安排方法则此时有3×2×6＝36种安排方案；则符合题意要求的安排方案有36＋36＋48＝120种；题型5元素不相邻问题【方法总结】不相邻问题插空法：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”．【例题5】（2022·全国·高三专题练习）五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法种数为（

）A．30 B．54 C．63 D．72【答案】D【分析】按照插空法列式，求解.【详解】按照插空法，甲乙不相邻的排法种数有A3故选：D【变式5-1】1．（2022·河北张家口·高二期末）中国古乐中以“宫､商､角､徵､羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，若用这五个基本音阶排成5音阶的所有音序，则“宫”､“羽”两音阶不相邻的音序共有（

）A．72种 B．36种 C．48种 D．24种【答案】A【分析】先排商､角､徵进行全排列，再利用插空法，即可求解.【详解】根据题意，先排商､角､徵有A33=6所以其中宫､羽两音阶不相邻的音序共有A3故选：A.【变式5-1】2．（2022·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）“杭帮菜”山肤水豢，回味无穷.今有人欲以“糟烩鞭笋”、“冰糖甲鱼”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”、“叫化童鸡”共六道杭帮菜宴请远方来客.这六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（

）A．480 B．240 C．384 D．1440【答案】A【分析】利用插空法求解，先排列“糟烩鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”这4道菜，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空即可.【详解】根据题意，先排列“糟烩鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”这4道菜，共有A44道菜排列后，有5个空，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空，有A5所以由分步计数原理可知共有24×20=480种不同的上菜顺序，故选：A【变式5-1】3．（2022·浙江邵外高三阶段练习）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种.【答案】24【分析】由排列组合中的捆绑法和插空法计算.【详解】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有A2然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有A3因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位，利用插空法排列甲，排法有A2所以不同的排列方法有A2故答案为：24【变式5-1】4．（2022·湖北·高三开学考试）将语文､数学､英语､物理､化学､生物六本书排成一排，其中语文､数学相邻，且物理､化学不相邻，则不同的排法共有种___________.（用数字作答）【答案】144【分析】先利用捆绑法安排语文书、数学书，再用插空法安排物理书､化学书即可求解.【详解】先利用捆绑法把语文书、数学书看作一个整体，有A2再把其与英语书、生物书进行全排列，有A3再用插空法安排物理书､化学书，有A4所以一共有2×6×12=144.故答案为：144【变式5-1】5．（2022·全国·高二课时练习）高中毕业时，五名同学排成一排在学校门口照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有（

）．A．36种 B．48种 C．72种 D．120种【答案】C【分析】采用插空求解即可,即先排除甲乙外的三位同学，再将甲乙二人插入三个同学所产生的4个空位中即可.【详解】解：因为甲、乙二人不相邻，所以先排其他三个同学，共有A3再将甲乙二人插入三个同学所产生的4个空位中，有A4所以一共有6×12=72种排法.故选：C.【变式5-1】6．（2022·重庆市实验中学高二期末）某学校组织6×100接力跑比赛，某班级决定派出A，B，C，D，E，F等6位同学参加比赛．在安排这6人的比赛顺序时要保证A要在B之前，D和F的顺序不能相邻，则符合要求的安排共有（

）A．240种 B．180种 C．120种 D．150种【答案】A【分析】先考虑D和F的顺序不能相邻，用插空法，然后考虑A要安排在B之前与A要安排在B之后的数量一样多，从而可得结论．【详解】解：6位同学参加接力赛跑，先考虑D和F的顺序不能相邻，其他四人的顺序数为A种，D和F进行插空共有A44A【变式5-1】7．（2022·全国·高二单元测试）5名同学坐成一排照相，要求甲不在正中间，且甲、乙不相邻，则这5名同学不同坐法的种数为（

）A．24 B．36 C．60 D．72【答案】C【分析】根据特殊元素及特殊位置优先考虑，再利用分步加法计数原理及排列数公式即可求解.【详解】由题意可知，有的5个座位，如图所示12345先安排甲：①甲坐1或5，有2种坐法，则乙有3种坐法，剩下的3名同学有A33=6种坐法，共有2×3×6=36种坐法；②甲坐2或4，有2种坐法，则乙有2种坐法，剩下的3名同学有A33

题型6定位定元问题【方法总结】有限制条件的排列问题常用的方法有“直接法”和“间接法”．1．至多、至少间接法当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”．含“至多”、“至少”类词语的排列(组合)问题，是需要分类问题，常用间接法(即排除法)解答．这时可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即排除法．2．定元、定位优先排．在有限制条件的排列问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑．①元素分析法——即以元素为主，优先考虑特殊元素，再考虑其他元素，先特殊后一般．②位置分析法——即以位置为主，优先考虑特殊位置，再考虑其他位置，先分类后分步．【例题6】（2023·全国·高三专题练习）6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）(1)男甲必排在首位；(2)男甲、男乙必排在正中间；(3)男甲不在首位，男乙不在末位；(4)男甲、男乙必排在一起；(5)4名女生排在一起；(6)任何两个女生都不得相邻；(7)男生甲、乙、丙顺序一定．【答案】(1)A99(2)A22A77(3)A1010【分析】（1）分步：先排甲，再排其他人根据乘法计数原理计算即可（2）分步：先排甲乙，再排其他人根据乘法计数原理计算即可（3）根据间接法计算可得（4）根据捆绑法计算可得（5）根据捆绑法计算可得（6）根据插空法计算可得（7）根据定序法计算可得（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，故有A9（2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有A2（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A10（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A2（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A4（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A6（7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，A10【变式6-1】1．（2023·全国·高三专题练习）有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数．(1)选5人排成一排；(2)全体站成一排，女生互不相邻；(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；(5)男生顺序已定，女生顺序不定；(6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；(7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；(8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．【答案】(1)2520(2)144(3)3600(4)3720(5)840(6)720(7)960(8)240【分析】（1）根据排列即可求解，（2）根据不相邻问题运用插空法即可求解，（3）根据特殊元素或者特殊位置优先安排即可求解,（4）根据分类加法计数原理即可分两类情况分别求解：一类甲在最后最右端，另一类甲在出来左右两端之外的中间5个位置中选一个，（5）根据定序问题利用除法即可求解，（6）先安排好甲，剩余人员全排列即可，（7）甲乙相邻问题，然后甲乙整体与丙属于不相邻问题，分别利用捆绑法和插空法即可分步求解，（8）根据圆桌问题，利用定序问题的除法公式即可求解.（1）从7人中选5人排列，排法有A7（2）先排男生，有A33种排法，再在男生之间及两端的4个空位中排女生，有A4（3）方法一（特殊元素优先法）

先排甲，有5种排法，其余6人有A66种排法，故排法共有方法二（特殊位置优先法）

左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有A62种排法，其他位置有A5（4）方法一

分两类：第一类，甲在最右边，有A66种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选一个，有5种排法，其余人全排列，有A5方法二

7名学生全排列，有A77种排法，其中甲在最左边时，有A66