七章第二节偏导数的应用教学教案

主讲：贵州师大数计学院陈云坤《高等数学》——物理类专用第七章多元函数微分学二、方向导数第二节偏导数的应用三、二元函数的泰勒展示四、二元函数的极值一、几何应用复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因（1）.曲线方程为参数方程的情况切线方程此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量.如个别为0,则理解为分子为0.不全为0,因此得法平面方程

说明:若引进向量函数,则

为r(t)的矢端曲线,处的导向量就是该点的切向量.例1.求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解:

由于对应的切向量为在,故（2）.曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为则在点切线方程法平面方程有或也可表为法平面方程例2.

求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1令则即切向量法平面方程即解法2.方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量2、曲面的切平面与法线

设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则

在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为

在该点的切平面.

上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.*证:在上,得令由于曲线

的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.曲面

在点M的法向量法线方程切平面方程曲面时,则在点故当函数法线方程令特别,当光滑曲面

的方程为显式

在点有连续偏导数时,切平面方程法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,例3.

求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量令例4.确定正数

使曲面在点解:二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面,因此有思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示:设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)2.求曲线在点(1,1,1)的切线解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.证明曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:在曲面上任意取一点则通过此3.设f(u)可微,证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为1.

证明曲面与定直线平行,证:曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒备用题二、方向导数定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l

的方向导数.在点处沿方向l

(方向角为)存在下列极限:记作定理:则函数在该点沿任意方向

l

的方向导数存在,证明:由函数且有在点P可微,得故对于二元函数为,)的方向导数为向角特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向例1.求函数

在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:向量l的方向余弦为例2.

求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:

方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数思考与练习1、设函数求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;曲线在点解答提示:函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量指向B(3,－2,2)方向的方向导数是

.在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示:则(96考研)三、二元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式:推广多元函数泰勒公式记号(设下面涉及的偏导数连续):

一般地,

表示表示定理1.的某一邻域内有直到n+1阶连续偏导数,为此邻域内任一点,则有其中①②①称为f在点(x0,y0)的n阶泰勒公式,②称为其拉格朗日型余项.证:令则利用多元复合函数求导法则可得:一般地,由的麦克劳林公式,得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.说明:(1)余项估计式.因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界

M,则有(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:(3)若函数在区域D上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上例1.求函数解:的三阶泰勒公式.因此,其中四、二元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有1、极值的定义例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.说明:

使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故时,具有极值定理2

(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数*证:由二元函数的泰勒公式,并注意则有所以其中

,

,

是当h→0,k→0时的无穷小量,于是(1)当AC－B2＞0时,必有A≠0,且A与C同号,可见,从而△z＞0,因此从而△z＜0,(2)当AC－B2＜0时,若A,C不全为零,无妨设A≠0,则时,有异号;同号.可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,++－若A＝C

＝0,则必有B≠0,不妨设B＞0,此时可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当AC－B2＝0时,若A≠0,则若A＝0,则B＝0,为零或非零此时因此不能断定(x0,y0)是否为极值点.例1.求函数解:

第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为2、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,

当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据例3.解:设水箱长,宽分别为x,ym

,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.例4.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为

,积最大.为问怎样折法才能使断面面令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.3、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有引入辅助函数辅助函数F

称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件例5.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点C,使△ABC面积S△最大.解答提示:设C点坐标为(x,y),思考与练习则设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点C与E重合时,三角形面积最大.备用题

1.求半径为R

的圆的内接三角形中面积最大者.解:设内接三角形各边所对的圆心角为x,y,z,则它们所对应的三个三角形面积分别为设拉氏函数解方程组,得故圆内接正三角形面积最大,最大面积为为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?提示:目标函数:约束条件:答案:即四边形内接于圆时面积最大.2.求平面上以问题的提出:已知一组实验数据求它们的近似函数关系y＝f(x).需要解决两个问题:1.确定近似函数的类型根据数据点的分布规律根据问题的实际背景2.确定近似函数的标准实验数据有误差,不能要求4、最小二乘法偏差有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小为使所有偏差的绝对来确定近似函数f(x).最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式.,它们大体特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定a,b令满足:使得解此线性方程组即得a,b称为法方程组例1.为了测定刀具的磨损速度,每隔1小时测一次刀具的厚度,得实验数据如下:找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.解:通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,列表计算:故可设经验公式为27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567得法方程组解得故所求经验公式为0027.0074924.8137.628140208.5717.0为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下:称为均方误差,对本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏.偏差平方和为27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.0860.093－0.200称为均方误差,对本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏.偏差平方和为27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.0860.093－0.200例2.

在研究某单分子化学反应速度时,得到下列数据:57.641.931.022.716.612.28.96.53691215182124123