初二数学复习资料

目录

第一讲全等三角形提高............................................-2-

第二讲全等三角形强化及角平分线................................-14-

第三讲等腰三角形...............................................-22-

第四讲勾股定理.................................................-34-

第五讲平行四边形...............................................-42-

第六讲特殊的平行四边形（一）..................................-52-

第七讲特殊的平行四边形（二）..................................-60-

第八讲梯形.....................................................-67-

第九讲梯形中的辅助线及中位线定理..............................-76-

第十讲一次函数.................................................-84-

第十一讲反比例函数...............................................-94-

第十二讲分式方程...............................................-103-

初二复习教材

第一讲全等三角形提高

【中考考情】

1、全等三角形在中考中考察很灵活，各种题型都有可能出现

2、找出几何图形中的全等三角形，然后在利用全等三角形的性质是压轴题的常

考方式

【知识要点】

1、全等形：能够重合的两个图形叫做全等形。两个三角形是全等形，就说它们

是全等三角形，两个全等三角形，经过运动后一定重合，互相重合的顶点叫做对

应顶点；互相重合的边叫做对应边；互相重合的角叫做对应角。

2、两个三角形全等的性质：

(1)全等三角形的对应角相等、对应边相等。

(2)全等三角形的对应边上的高对应相等。

(3)全等三角形的对应角平分线相等。

(4)全等三角形的对应中线相等。

(5)全等三角形面积相等。

(6)全等三角形周长相等。

(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)

3、两个三角形全等的判定：

(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一

条也说明了三角形具有稳定性的原因。

(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

(4)有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)

(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全

等(HL或“斜边，直角边”)

SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意：为什么SSA不能判断两个三角形全等，并且能够画出反例的图形。

【例题解析】

考点1、全等形的概念

例1：几何中，我们把上述所例举的“一模一样”的图形叫做“全等形”，以下

是描述全等形的三种不同的说法，你认为哪种说法是恰当的？

(I)形状相同的两个图形叫全等形；

(2)大小相等的两个图形叫全等形；

(3)能够完全重合的两个图形叫全等形.

变式1：如图中有6个条形方格图，图中有哪些实线围成的图形是全等的?

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变式2:全等三角形又叫合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和

镜面合同三角形.假设AABC和△A|B】Q是全等（合同）三角形，且点A与

对应，点B与&对应，点C与C1对应，当沿周界A-B-C->A及

Bi-CfAi环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图）；

若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形,如图：

两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜

面合同三角形要重合，则必须将其中的一个翻转180°,在下图中的各组合三角

形中，是镜面合同三角形的是（）

考点2、两个三角形全等的性质

例2:图中所示的是两个全等的五边形，指出它们的对应顶点、对应边与对应

角并说出图中标的。、b、c、d、e、?各字母所表示的值.

j

b

12

CH

变式1:如图所示的是三个全等的四边形，请指出它们的对应顶点、对应边与对

应角，并写出图中标的。，b,c,d,a,瓦Y各字母所表示的值.

变式2：如图，AOA"绕点。逆时针旋转80°到力的位置，已知1/AO〃=4.S。,

D

A

B

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贝IJN4。。等于()

A.55°B.45°C.40°D.35°

变式3:如图，MBC^MDE,BC的延长线交DA于F,交DE于G,

ZACB=ZAED=IOS,NC4£>=10°,NB=ND=25、求ZDFB.NDGB的度数.

D

C

A

考点3、两个三角形全等的判定

证题的思路:

找夹角(SAS)

己知两边找直角(〃力

找第三边(S5S)

若边为角的对边，则找任意角(AAS)

口人々［找己知角的另一边(SAS)

已矢口~■功~,母

y边为角的邻边找已知边的对角Ous

|找夹己知边的另一角C4SA)

，"找两角的夹边G4SA)

已知两用!找任意一边(AAS)

例1：如图，在△/8C与△。&中，给出以下六个条件中(1)AB=DE⑵BC

=EF(3)AC=DF(4)⑸⑹NC=N£以其中三

个作为已知条件，不*能♦判断△/8C与△。&全等的是()

A.(1)(5)(2);B.(1)(2)(3);

C.(4)(6)(1);D.(2)(3)(4)

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变式1：如图，四边形同8CO中，AC垂直平分于点0.

（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；（2）任选（1）中的

一对全等三角形说明理由.

变式2:已知，如图，AB=CD,DF1AC于F,BE1AC于E,DF=BEO求证:

AF=CEO

变式3:已知，如图，AB、CD相交于点O,AACO^ABDO,CE//DF0求

证：CE=DFo

AEOB

D

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变式4:如图，正方形ABCD的边长为1,G为CD边上一动点（点G与C、

D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE

交BG的延长线于H。

求证：①ABCG@ZXDCE

②BH1DE

小结：在以上例题变式练习中，可以归纳概括出目前常用的证明三角形全等时寻

找非已知条件的途径

缺边时：①图中隐含公共边；②中点概念；③等量公理④其它.

缺角时：①图中隐含公共角；②图中隐含对顶角；③三角形内角和及推论④

角平分线定义；⑤平行线的性质；⑥同（等）角的补（余）角相等；⑦等量公理;

⑧其它.

2、已知，如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF,

也是CD与EF阚交点,求证：△BCFgZXDCE

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3、如图，在AABC中：D在AB上，且ACAD和ACBE都是等边三角形，说明:

(1)DE=AB,(2)ZEDB=60°

4、如图，正方形ABCD中点P是边AB上的一个动点，且CQ=AP,PQ与CD

P

相交于点E,当P在边AB上运动时,

试判断△PDQ的形状并证明。

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第二讲全等三角形强化及角平分线

【中考考情】

1、在尺规作图中，常考作一个叫的角平分线，要求保留作图痕迹。

2、很少单独考角平分线的性质，一般都是与几何题结合起来一起考察

【知识要点】

1、角平分线的性质定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.

2、角平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上

【例题解析】

全等三角形解题方法：

一般来说考试中线段和角相等需要证明全等.因此我们可以来采取逆思维的

方式，来想要证全等，则需要什么条件，另一种则要根据题目中给出的已知条件,

求出有关信息，然后把所得的等式运用(AAS/ASA/SAS/S3S/HL)证明三角形全

等。

例1：将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC,5。为折痕，求NCa)的度

数

k

ABE

变式1：如图所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC,NB=/C.求证：AD=AE

变式2:沿矩形ABCD的对角线BD翻折4ABD得△A/BD,A，D交BC于F,如图

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所示,4BDF是何种三角形？请说明理由.

例2:如图，已知在△ABC中，ZC=2ZB,Z1=Z2,求证：AB=AC+CD©

变式1：如图20所示，已知AB=DCAE二DFCE=FB,求证:AF=DE.

(20)

变式2:如图所示，已知△ACB,AFCD都是等腰直角三角形，且C在AD上,A二的

延长线与BD交于E,请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的

过程.

一般在判定三角形全等时，我们可以用到以下解题技巧：

(1)综合法：由已知条件出发，根据正确的定义、定理逐步说理得出结论的方

法(思维：顺向而行)

(2)分析法：从结论出发，利用已学过的定理，定义或法则为依据，逐步逆推,

朝已知条件靠拢，直至达到已知条件。(思维：逆向思维)

(3)分析综合法：在数学学习中，要灵活把握综合法和分析法两种思维方法

用分析法探索思路寻求解法

用综合法进行有条理的表述

(先分析后综合；边分析边综合)

考点2、角平分线性质定理

例3:如图，E是NAOB的平分线上一点，EC10A,ED1OB,垂足分别是C,

D.

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试证明OOOD.

变式1：如图，在AABC中，ZC=90°,AC=BC,AD平分/CAB,交BC于

点D,DE1AB于点E,若4BDE的周长是4cm,求AB的长.

变式2:已知：如图，AABC中，ZACD=90°,AD平分/BAC交BC于D,

DE1AB于E求证：AD1CE

变式3:已知：A/8C中，N8和/C的平分线相交于。，过。作8c的平行线

交力5/C于£尸求证：EF=BE+CF

考点3、角平分线判定定理

例4:如图，BD=CD,BF±AC,CELABO:点D在/8AC的平分线上。

变式1：如图，ZZ?=ZC=90°,从是6c的中点，OW平分N/AC,求证：4W

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平分ND4B.

【课后作业】

1、（1）如图1,2AOB=60°,8104于。，CE1OB千E,且CD=CE,则

ZDOC=.

⑵如图，在△/8C中,/090°4。是角平分线，。2L/8于£且。良3cm,

2、如图所示，Z1=Z2,AEJLOB于E,BD10A于D,交点为C,则图中全

等三角形共有（）

A.2对B.3对C.4对D.5对

AB

3、如图所示，在AARC中，AB=AC,AD是AABC的角平分线，DE1AB,

DF1AC,垂足分别是E,F,则下列四个结论：①AD上任意一点到C,B的距

离相等；②AD上任意一点到AB,AC的距离相等；③BD=CD,AD1BC;④

ZBDE=ZCDF,其中王确的个数是（）.

A,1个B.2个C.3个D.4个

4、在&4BC中,乙4=2NB,CD是的平分线，求证：BC=AD+AC

5、已知如上右图，8是CF的中点，AABC、AB=DC.OE交48于尸点

求证：(1)ADU3C(2)AF=BF.

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第三讲等腰三角形

【中考考情】

1、等腰三角形的性质可以单独考察，也可以综合考察，一般出现在7分题和9

分题中。

2、等腰三角形中最常用的辅助线（三线合一）是解题的关键，腰和底的分情况

讨论是易错点。

【知识要点】

1、等腰三角形的性质

定理：等腰三角形有两边相等。

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等

腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2:等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形

是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形。

2、等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写

成“等角对等边

推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等

于斜边的一半。

3、等边三角形

定义：三条边都相等的三角形

性质：三边相等，三角相等且都为60度，加等腰三角形性质。

判定：

(1)有三条边相等的三角形叫做等边三角形；

(2)有三个角相等的三角形叫做等边三角形；

(3)有两个内角都等于60°的三角形叫做等边三角形；

(4)有一个内角等于60°的等腰三角形叫做等边三角形。

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【例题解析】

考点1、等腰三角形的性质

例1：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角

形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长。

【分析】要分AB+AD=15,CD+BO6和AB+AD=6,CD+BC=15两种情

况讨论。

变式1：如图，已知：AABC中，AB=AC,D是BC上一点，且

AD=DB,DC=CA,求NBAC的度数。

变式2：已知:如图，AABC中，AB=AC,CD_LAB于D。求证：ZBAC=2ZDCB。

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变式3:如图，在△48C中，/族2/C,力。16c于。，求证：CAAB+BD.请

思考：

⑴若在8上截取。e。8,连AA

结力£如何证明，/IV\"

CEDECDBE

(2)若延长CB到£使BeAB,连结AE,是

否可以证出结论.

说明：

1.作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角

的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线；

2.对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的

添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半，或构造“倍”。

变式4:(1)等腰三角形中，两条边的长分别为4和9,则它的周长

是•

(2)等腰三角形的顶角是40°,则它的底角度数是.

(3)等腰三角形顶角的外角是130°,工的一个底角是.

(4)等腰三角形中，和顶角相邻的外角的平分线和底边的位置关系

是•

(5)若一个等腰三角形有一个角为100°,则另两个角为.

(6)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角

为•

考点2、等腰三角形的判定

例2:如图所示，AD=AE,BD=CE,B、。、E、C在同一线上，试判断△48C

的形状，说明理由.(用两种不同的方法证明)

变式1：如图，^ABC中BA=BC,点D是AB延长线上一点，DF1AC于F交

BC于E,

求证：4DBE是等腰三角形.

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变式2:如图，AABC中，AB=AC,ZA=36°,BD、CE分别为/ABC与

NACB的角平分线，且相交于点F,则图中的等按三角形有（）

A.6个B,7个C.8个D.9个

变式3:如图，在AABC中，点石在44上，点。在上，BD=BE,

NBAD=NBCE,AO与CE相交于点尸，试判断△AFC的形状，并说明理由.

A

考点3:等边三角形

例3:已知：如图，aABC为正三角形，D是BC延长线上一点，连结AD,以

AD为边作等边三角形ADE,连结CE,用你学过的知识探索AC、CD、CE

三条线段的长度有何关系？试写出探求过程.

变式1：如图，已知点B、C、D在同一条直线上，AABC和4CDE都是等边

三角形.BE交AC于F,AD交CE于H,求证：(1)ABCE^AACD.(2)

△BCF^AACH

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变式2:如图，在等边AABC中，点DE分别在边BC,AB上，且3£>=4f,

AD与CE交于点F.

(1)求证：AD=CE\

(2)求NOFC的度数.

变式3:如图，在AABC中，D在AB上，且ACAD和ACBE都是等边三角形,

说明：(1)DE=AB,(2)ZEDB=60°

等边对等角

性质

三线合一

腰与底边不等的等腰三角形

本节知识等角对等边可以归纳

判定

为：定义

三边相等

性质

三角都相等

等边三角形有一个角等于60。的等腰

三角形

判定

‘三边都相等（或三角都相等）的中

等腰三角三角形形

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【课后作业】

1、下列说法中，正确的有（）

①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边

上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2、如果4ABC的NA,NB的外角平分线分别平行于BC,AC,则4ABC是

（）

A.等边三角形D.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三

角形

3、在平面直角坐标系xOy中，已知A（2,-2）,在y轴确定点P,使AAOP

为等腰三角形，则符合条件的点有（）

A.2个D.3个C.4个D.5个

4、如图，在下列三角形中，若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角

形的是（）

AA

A.⑴⑵⑶B.⑴⑵⑷C.⑵⑶⑷D.⑴⑶⑷

5、已知等腰三角形的两边长是1cm和2cm,则这个等腰三角形的周长为

______cm.

6、三角形三内角的度数之比为1:2:3,最大边的长是8cm,则最小边的长是

______cm.

7、如图，ZA=15°,AB=BC=CD=DE=EF,则/GEF=

（第7题）

8、等腰三角形的底边长为6cm,一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分,

这两部分之差是3cm,那么这个等腰三角形的腰长是______.

9、如图，ZABD=ZACD=60°,ZADB=90°-l/2ZBDCO求证：aABC是

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第四讲勾股定理

【中考考情】

1、勾股定理解直角三角形一般出现在6分题或者是7分题中，而且以常见直角

三角形为主。

2、考察知识点主要以解三角形，判定直角三角形为主。

【知识要点】

1、勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.

表达形式：在R2BC中，"=9阴4,N8,々的对

边分别为凡”工，则有：①②〃2=02-〃；③

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长为。乃"，满足/+〃=/,那么,

这个三角形是直角三角形。

勾股数：

(1)满足/+〃2=。2的三个正整数，称为勾股数.

(2)勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、

8、10也是勾股数。

(3)常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13;③88、15、17;④7、24、

25;

⑤10、24、26;⑥9、40、41.

【例题解析】

考点1、勾股定理

例1：已知直角三角形ABC中，ZC=900,AB=10,BC=6,求AB边上的高。

B

变式1：直角三角形的两直角边为6、8,则斜边上的高等于

变式2:直角三角形的两边长为5、12,则另一边的长为o

变式3:如图，已知AABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB=9。%

AC=7cm、BC=8^,求DE的长。

BEDC

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变式4:如图折叠长方形的一边BC,使点B落在AD边的F处，已知：AB=3,

BC=5,

求折痕EF的长.

变式5:如图，铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄，DA垂直AB于

A,CB垂直AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一

个土特产品收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A

站多少千米处?

D

考点2、勾股定理的逆定理(直角三角形的判别条件)

例2:判断以下各组线段为边能否组成桌角三角形。111

(1)9、41、40;(2)5、5、5①(3)3、4、5；

(4)314\52(5)以6、6

变式1:如图所示，已知4DEF中,DE=17cm,EF=30cm,EF边上中线DG=8cmo

求证：4DEF是等腰三角形。

变式2:如图所示，在aABC中，D是BC上一点，AB=10,BD=6,AD=8,

AC=17O

求aABC的面积。

A

B

DC

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变式3:如图，a。。和"CE都是等边三角形，ZABC=30,试说明:

BD2=AB2+BC1

变式4:在等腰直角三角形中，AB=AC,点D是斜边BC的中点，点E、F分别

为AB、AC边上的点，且DE_LDF。

(1)证明：AD律是直角三角形；

⑵若BE=12,CF=5,试求ADEb的面积。

归纳总结：利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤:

①先找出最大边［如C)

②计算C・2与/十尸，并验证是否相等。

若‘2=/十82,则4ABC是直角三角形。

若c2w/+〃，则AABC不是直角三角形。

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【课后作业】

1、如图，在边长为C的正方形中，有四个斜边为C的全等直角三角形，已知其

直角边长为。，b.利用这个图试说明勾股定理?

2、如图，四边形ABCD,已知NA=90°,AB=3,BC=13,CD=12,DA=4O

Ap---------

求四边形的面积、

第2题图,

3、已知，如图，折叠长方形的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB二

8cm,BC=10cm,求EC的长

4、如图，长方形ABCD中，AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠，点D落在

D/处，则重叠部分aAFC的面积是多少？

D

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第五讲平行四边形

【中考考情】

1、四边形这章内容是中考中的重点内容，常与函数结合起来出现在压轴题当中。

2、学好本节的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，这为解9分题做准备。

【知识要点】

1、多边形：(1)多边形的内角和：多边形内角和等于6—2)18个

(2)多边形的外角和：多边形外角和等于360°

(3)常用结论：过n边形的一个顶点共有(n-3)条对角线，n边

-3)

形共有2条对角线；过n边形的一个顶点将n边形分成(n-2)个三角形。

2、平行四边形性质：

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分别平行”

平行四边形性质：(1)边的性质：对边平行且相等；

(2)角的性质：对角相等，邻角互补；

(3)对角线的性质：两条对角线互相平分；

(4)对称性：不是轴对称图形，是中心对称图形。

3、平行四边形的判定：

(1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(定义)；

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形；

(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

【例题解析】

考点1、多边形

例1：一个多边形每一个外角都是30°,则这个多边形是()边形.

变式1：如果从一个凸多边形的一个顶点出发，一共有17条对角线，则这个多

边形内角和为(J

(A)1800°(B)2400°(C)3240°(D)4206°

变式2:(1)六边形共有()条对角线.

(2)一个多边形内角和为540。，则其边数为().

(3)任意多边形的外角和为()度.

(4)一个凸多边形内角和900。，则这个多边形边数为()条.

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考点2、平行四边形的性质

例2:已知：OABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点。与AB、CD

分别相交于点E、F,求证：OE=OF,AE=CF,BE=DF.

变式1：已知四边形A3CD是平行四边形，AB=10cm,AD=8cm,AC1BC,

求BC、CDsAC、OA的长以及。ABCD的面积.

变式2:如图121平行四边形ABCD中,AE_LBC于E,AF±CD于F,AE=4,AF=6,

周长等于24.

求:平行四边形ABCD的边长.

□12-1

变式3:如图12・11,在平行四边形ABCD中,D在AB的垂直平分线DE上，若四

边形ABCD的周长为38cm,AABD的周长比四边形的周长少10cm.

求:平行四边形ABCD各边的长.

变式4:如图，在UABCO中，£为8C边上一点，KAB=AE.

(1)求证：△ABC9XEXD.

(2)若AE平分由，ZEAC=25°,求NAED的度数.

考点3、平行四边形判定

初二复习教材

例3:已知，如图，OABCD的对角线AC、BD交于点。，E、F是AC上的

两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.

变式1：已知：如图，A'B'//BA,B'C'//CB,C'A'//AC.

求证：ZABC=ZBZ,ZCAB=ZAZ,ZBCA=ZCz;

变式2:如图，已知/DAB,/EAC,ZFBC都是等边三角形，求证：四边形

DECF为平行四边形。

变式3:如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC±,AE=CF,AF

与BE交于点G,CE与DF交于点H,求证：EF与GH互相平分。

归纳总结：

1.学过本节内容后，应掌握平行四边形的性质和判定方法，可从三方面记忆：

（1）从边看；（2）从对角线看；（3）从角看。

2.了解平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去

解决某些问题.例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是

判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是

平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题.

3.平行四边形的概念、性质、判定都是非常重要的基础知识，这些知识是本章的

重点内容。

初二复习教材

小结:

边

q形

丰

"特

富

例

情

平

境

行

四

边

」

形

【课后作业】

一、选择题

1.如图1,在平行四边形力88中，下列各式不一定正确的是（）

A.Z14-Z2=180°B.Z2+Z3=180o

C.Z3+Z4=180°D.Z2+Z4=180°

图1图2

2.如图2,在OABCD中，EF//AB,GH//AD,EF与GH交于点O,则该图

中的平行四边形的个数共有（）

A.7个B.8个C.9个D.11个

二、填空题

1、在平行四边形ABCD中，若/A-/B=70°,fliJZA=,ZB=,

ZC=,ZD=.

2、在OABCD中，AC1BD,相交于O,AC=6,BD=8,则AB=,

BC=.

3、如图9,OABCD中，DB=DC,ZC=70°,AE1BD于E,贝Ij/DAE=

度。

三、解答题

1.如图11,在OABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O,AAOB的周

长为25,AB=12,求对角线AC与BD的和。

初二复习教材

图11

2.已知如图12,在中，延长力8到£延长C。到尸，梗BE=DF,则

线段力。与&是否互相平分？说明理由。

3.如图13,O.ABCD中，BD1AB,AB=12cm,AC=26cm,求AD、BD的

长.

口C

AD

图13

初二复习教材

第六讲特殊的平行四边形(一)

【中考考情】

1、特殊平行四边形是中考的必考题，常出现在7分题和9分题当中，以特殊

的四边形为框架来开综合考察几何代数知识。

2、特殊四边形的性质比较多，难点在于选择有用的条件。

【知识要点】

特殊平行四边形的性质：

1、菱形

菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：

(1)边的性质：对边平行，四条边都相等。

(2)角的性责：对角相等，邻角互补。

(3)对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平

分一组对角。

(4)对称性：是轴对称图形，有两条对称轴.也是中心对称图形。

2、矩形

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的性质：

(1)边的性责：对边平行且相等。

(2)角的性质：四个角都是直角。

(3)对角线的性质：两条对角线互相平分且相等。

(4)对称性：是轴对称图形，有四条对称轴.也是中心对称图形称。

3、正方形

正方形性质：

(1)边的性责：对边平行，四条边都相等。

(2)角的性责：四个角都是直角。

(3)对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平

分一组对角。

(4)对称性：是轴对称图形，有四条对称轴。

【例题解析】

考点1s菱形的性质

例1：已知，如图，菱形ABCD中/B=60°;E,F在边BCCD上，且/EAF=60°;

求证：AE=AF.

初二复习教材

变式1：如图，在菱形ABCD中，ZB=ZEAF=60°,ZBAE=20°,求NCEF

的度数。

考点2、矩形的性质

例①如图，已知矩形ABCD的纸片沿对角线BD折叠，使C落在C'处，

边交AD于E,AD=4,CD=2

(1)求AE的长(2)ABED的面积

变式1:如图，矩形ABCD中，AD=9,AB=3,将其折叠，使其点D与点B重

合，折痕为EF

求DE和EF的长。

C'

变式2:已知：在矩形ABCD中，AE平分/BAD,ZAOD=120°,求：ZBOE.

考点3、正方形的性质

例3:如图1,两个正方形的边长均为1,其中一个正方形的顶点在另一个正方

形的中心，则两个正方形重合部分的面积为。

初二复习教材

变式1：如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转30。，至

正方形

AB'C'D',则旋转前后正方形重叠部分的面积是________.

变式2:已知，如图，在正方形ABCD中，AC.BD相交于点O,E.F分别在

OB.OC±,且OE=OF.求证：AE1BF.

变式3:如图，在正方形/8C。中，H在BC上,加为"交力8于点夕交DC

于点门若/族3,BH=\,求宁的长。

初二复习教材

【课后作业】

1、下列四边形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形，而且有四条对称轴的

是（）.

A.平行四边形；B.矩形；C.菱形；

D.正方形.

2、如图，矩形ABCD中，DEJLAC于E,fiZADE:ZEDC=3:2,则/BDE

的度数为（）.

A.36°;B.18°;C.27°;D.9°.

3、如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，AE=AB厕NEBC二

4、如图，正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使CE=AC,AE与CD

交于点F,则NAFC=.

第6题图第7题图第8

题图

5、已知：如图，正方形ABCD,AE+CF=EFo求证：ZEDF=45°O

6、已知：如图，矩形ABCD中，AE=CD,AB=2AD,求：NEBC的度数、

D.---------------------EC

AB

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第七讲特殊的平行四边形(二)

【中考考情】

1、特殊平行四边形的判定在中考中考察比较灵活，各种题型和层次都有可能。

2、当特殊四边形的判定出现在9分题中时，要根据已知条件灵活选用判定方法。

【知识要点】

1、矩形

矩形的判定：

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.

(2)对角线相等的平行四边形是矩形.

(3)有三个角是直角的四边形是矩形.

2、菱形

菱形的判定：

(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

(2)一组邻边相等的平行四边形是菱形。

(3)四条边都相等的四边形是菱形。

3、正方形

正方形的判定：

(1)有一个角是直角的菱形是正方形。

(2)有一组邻边相等的矩形是正方形。

(3)对角线相等的菱形是正方形。

(4)对角线互相垂直的矩形是正方形。

平行四边形与特殊平行四边形的关系:

【例题解析】

考点1、矩形的判定

例1：已知点E为。ABCD外一点，AE1EC,BE1DE,求证：DABCD是矩形.

变式1：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AB=CD,AD〃BC,点E、F、G分

别在边AB、BC、CD上，AE=GF=GCo

(1)求证：四边形AEFG是平行四边行。

(2)当//GC=2NEF3时，求证：四边形AEFG是矩形

E

C

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考点2、菱形的判定

例2:已知:，如图，AD是AABC的角分线，DE//AC,DF//AB交AC于F

求证：AD1EF

变式1：已知，如图，EF是矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线，EF与对角

线AC及边AD、BC分别交于点O、E、Fo

(1)求证：四边形AFCE是菱形。

(2)如果FE=2ED,求AE:ED的值。

变式2:已知，如图，在四边形中，£为48上一点，XADE就XBCE

都是等边三角形，为8、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、例、N,试判断四

边形尸QMN为怎样的四边形，并证明你的结论.

DM

C

N

Q

B

考点3、正方形的判定

例3:如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是边AB、CD的中点，AF与DE

交于点H,BF与CE交于点G。

(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；

(2)试问：当平行四边形ABCD的边满足何条件时，四边形EGFH是正方形？

变式1：已知：如图，已知平行四边形A8C。中，对角线AC，8。交于点°,E

是8。延长线上的点，且AACE是等边三角形.

(1)求证：四边形ABCO是变形；

(2)若ZAED=2AEAD,求证：四边形A3c。是正

BC

图

初二复习教材

方法总结：（1）矩形和菱形的判定方法分两类：从四边形来判定和从平行四边形

来判定。如果是从一般的四边形出发来判断，可先判断是平行四边形，进而在判

断为矩形或是菱形。常用的判定方法有三种：定义和两个判定定理.遇到具体题

目，可根据条件灵活选用恰当的方法.（2）判断一个四边形是正方形，需要先判

断为菱形或是矩形，然后在分别个有两种方法判断为正方形，这需要根据题干条

件来选择最优的方法。

【课后作业】

1、下列命题中正确的是（）.

A.对角线相等的四边形是矩形；

B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；

C.对角线垂直的四边形是矩形；

D.对角线相等且垂直的四边形是矩形.

2、平行四边形ABCD的对角线AC.BD相交于点。，下列条件中，不能判定

它为菱形的是（）.

A.AB=AD;B.AC±BD;

C.NA=ND;D.CA平分/BCD.

3、下列命题中，真命题是（）.

A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形；

B.有一条对角线平分对角的四边形是菱形;

c.菱形是对角线互相垂直平分的四边形;

D.菱形的对角线相等.

4、如图，以aABC的边AB.AC为边的等边三角ABD和等边三角形ACE,

四边形ADFE是平行四边形.

(1)当NBAC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？

(2)当NBAC满足什么条件时，平行四边形ADFE不存在？

(3)当AABC分别满足什么条件时，平行四边形ADFE是菱形，正方形？

5、已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E,使CE

=CG,连接BG并延长交DE于F.将4DCE绕