第02讲 代数式（含详解答案）-全国重点高中自主招生大揭秘

代数式一、单选题1．（2022·福建·九年级统考竞赛）已知正整数a，b，c，d满足：abcd，abcd2022，，则这样的4元数组(a，b，c，d)共有（

）A．251组 B．252组 C．502组 D．504组2．（2021·全国·九年级竞赛）当时，多项式(4x3﹣1997x﹣1994)2001的值为（）A．1 B．﹣1 C．22001 D．﹣220013．（2022·广东·九年级统考竞赛）已知，且，则的值为（

）A．2022 B．-2022 C．4044 D．-40444．（2021·全国·九年级竞赛）设，则（

）A． B． C． D．5．（2019秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）定义：若，则称与是关于数的“平衡数”.比如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”.现有与（为常数）始终是关于数的“平衡数”，则A．11 B．12 C．13 D．146．（2019秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）如果单项式与单项式是同类项，则的值是A．1 B．-1 C．2 D．-27．（2020秋·江西·七年级江西省于都中学校考竞赛）数学课上，老师讲了多项式的加减，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真的复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：（-x2+3xy-y2）-（-x2+4xy-y2）=-x2_____+y2空格的地方被钢笔水弄污了，那么空格中的一项是（

）A．-7xy B．7xy C．-xy D．xy8．（2022春·山东济南·六年级校考竞赛）在幼发拉底河岸的古代庙宇图书馆遗址里，曾经发掘出大量的黏土板，美索不达米亚人在这些黏土板上刻出来乘法表、加法表和平方表．用这些简单的平方表，美索不达米亚人这样计算：第一步：（103+95）÷2＝99，第二步（103﹣95）÷2＝4；第三步：查平方表；知99的平方是9801，第四步：查平方表，知4的平方是16，第五步：设两因数分别为a和b，写出蕴含其中道理的整式运算（）A．B．C．D．二、解答题9．（2022春·山东济南·六年级校考竞赛）一般地，个相同的因数相乘，记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为(即)．一般地，若且，则叫做以为底的对数，记为(即)．如，则4叫做以3为底81的对数，记为(即)．（1）计算下列各对数的值：；；．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗?（4）根据幂的运算法则：以及对数的含义说明上述结论．10．（2022春·山东济南·六年级校考竞赛）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．（1）可求得x=___，第2009个格子中的数为___；（2）判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2018？若能，求出m的值；若不能，请说明理由；（3）如果a，b为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|a−b|的和可以通过计算|9−&|+|9−#|+|&−#|+|&−9|+|#−9|+|#−&|得到，若a，b为前19个格子中的任意两个数，则所有的|a−b|的和为___．11．（2022春·山东济南·六年级校考竞赛）观察下列式子：将以上三个式子的两边分别相加，得＝1（1）猜想并写出：＝．（2）直接写出：＝．12．（2022春·山东济南·六年级校考竞赛）观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：．观察发现________；__________．初步应用利用（1）的结论，解决以下问题：①把拆成两个分子为1的正的真分数之差，即_______；②把拆成两个分子为1的正的真分数之和，即_______；深入探究定义“”是一种新的运算，若，，，则计算的结果是_________．拓展延伸第一次用一条直径将圆周分成两个半圆（如图），在每个分点标上质数k，记2个数的和为；第二次将两个半圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记4个数的和为；第三次将四个圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记8个数的和为；第四次将八个圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记16个数的和为；……，如此进行了n次．①__________（用含有k,n的代数式表示）；②若4420，求的值．13．（2022春·山东济南·六年级校考竞赛）下列是用火柴棒拼出的一列图形．仔细观察，找出规律，解答下列各题：(1)第4个图中共有_________根火柴，第6个图中共有_________根火柴；(2)第n个图形中共有_________根火柴(用含n的式子表示)(3)若f(n)=2n−1（如f(−2)=2×(−2)−1，f(3)=2×3−1），求的值．(4)请判断上组图形中前2017个图形火柴总数是2017的倍数吗，并说明理由?14．（2021·全国·九年级竞赛）(25分)在中，有多少个不同的整数(其中，[x]表示不大于x的最大整数)?15．（2021·全国·九年级竞赛）沿着圆周放着一些数，如果有4个相连的数，，，满足不等式，那么就可以交换，的位置，这称为一次操作．（1）若圆周上的依次放着数1，2，3，4，5，6，问能否经过有限次操作后，对任意相连的4个数，，，都有？（2）若圆周上依次放着数1，2，3，…，2010，问能否经过有限次操作后，对任意4个问题相连的数，，，都有？16．（2022春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）已知实数a，b，c满足，，求的值．17．（2020秋·江西·七年级江西省于都中学校考竞赛）①当，时，分别求代数式和的值．②根据上面计算结果猜想这两个代数式的值有何关系?（若上面计算结果你还猜想不出关系，可以再尝试几组a、b的值进行计算猜想．）③根据你的猜想，请计算当，时，代数式的值．18．（2019秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）若，求的值.19．（2022春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）已知：，求的值．三、填空题20．（2022春·山东济南·六年级校考竞赛）一列数：，，，，，其中，，且当时，，用含的式子表示的结果是__．21．（2019秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）把四张大小相同的长方形卡片（如图①）按图②、图③两种放法放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为，图③中阴影部分的周长为，则___________.22．（2022·福建·九年级统考竞赛）若素数p，使得是一个完全平方数，则p=______．（若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．）23．（2020秋·江西·七年级江西省于都中学校考竞赛）某同学做一道代数题：“求代数式，当时的值”，由于将式中某一项前的“+”号错看为“-”号，误得代数式的值为37，那么这位同学看错了______次项前的符号．24．（2019秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）当时，代数式的值为3，则_________.25．（2019秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）已知、互为倒数，为最小的正整数，是最大的负整数，，则式子的值为_________.26．（2021·全国·九年级竞赛）若一个正整数分别加上100和168，可得到两个完全平方数，则这个正整数为______．27．（2022·福建·九年级统考竞赛）同余数是一个三边均为有理数的直角三角形的面积，即如果存在三个正有理数a，b，c，使得，且，则称n为同余数．如果正整数n为同余数，则称n为整同余数．由于5是三边长分别为，，的直角三角形的面积，6是三边长分别为3，4，5的直角三角形的面积，7是三边长分别为，，的直角三角形的面积，所以5，6，7都是同余数，且是整同余数．如何判断一个正整数是否为同余数至今尚未完全解决．关于同余数的第一个重要结论是费马（Fermat）在17世纪证明的1不是同余数．在，中，令，，得．因此，若正整数n是同余数，则二元三次不定方程有有理数解；若正整数n使得二元三次不定方程有有理数解，则n是同余数．这样，古老的同余数问题与现代的椭圆曲线的有理点（横、纵坐标均为有理数的点）之间建立了联系．阅读上述材料，请你写出椭圆曲线上的一个有理点坐标(x，y)______．28．（2022春·山东济南·六年级校考竞赛）现有一列整数,第一个数为1,第二个数为x.以后每一个数都由它前一个数与再前一个数差的绝对值得到.如第三个数是由x与1差的绝对值得到,即为|x1|,第四个数是由|x1|与x差的绝对值得到,即为|x1|

x||,...依次类推.①若x=2,则这列数的前10个数的和为;②要使这列数的前100个数中恰好有30个0,则x=.参考答案：1．D【分析】根据题意得出，继而得出，再由已知条件构造，即可解答．【详解】因为，，，为正整数，且，所以．所以．因此，，即，．所以，因此．又，所以，因此．所以符合条件的4元数组为，其中．所以符合条件的4元数组有504组．故选：D．【点睛】本题考查了整式的应用，解题的关键是根据题目已知等式构造不等式，属于竞赛题．2．B【分析】由题意得(2x−1)2＝1994，得到4x2−4x-1993=0，将原式转化为(4x3−4x−1993x−1993−1)2001＝[x(4x2−4x−1993)＋(4x2−4x−1993)−1]2001的值，再将4x2−4x＋1＝1994代入可得出答案．【详解】解：∵，∴(2x−1)2＝1994，∴4x2−4x＋1＝1994，∴4x2−4x-1993=0==-1故选：B．【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，同学们要学会转化的思想，这是数学上很重要的一种思想．3．B【分析】将a2（b+c）=b2（a+c），a≠b，变形后可得ab+ca+bc=0，进而可得结果．【详解】解：a2（b+c）=b2（a+c），a2b+a2c=b2a+b2c，a2b+a2c-（b2a+b2c）=0，a2b+a2c-b2a-b2c=0，ab（a-b）+c（a2-b2）=0，ab（a-b）+c（a+b）（a-b）=0，（a-b）（ab+ca+bc）=0，∵a≠b，∴ab+ca+bc=0，∵b2（a+c）=b（ab+bc）=b（-ac）=-abc=2022，∴abc=-2022．故选：B【点睛】本题考查了单项式乘多项式以及因式分解，解决本题的关键是掌握平方差公式以及提公因式法因式分解．4．A【分析】首先根据，得出，再根据等式两边平方，得出，再把进行变形，然后把代入计算即可．【详解】解：由，可得：，∴，∴，∴．故选：A【点睛】本题考查了求代数式的值、二次根式的化简、整式的恒等变形，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．5．A【分析】利用“平衡数”的定义可得a+b=n，代入计算即可．【详解】解：∵与（k为常数）始终是关于数n的“平衡数”，∴a+b===n，∴5-10k=0，解得：k=，∴n=12-2×=11．故选：A．【点睛】此题考查了整式的加减的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．6．D【分析】直接利用同类项的定义得出关于m，n的方程进而得出答案．【详解】解：∵单项式与单项式是同类项，∴m=2-m，n+2=3n-1，解得，m=1，n=，则m-2n=-2，故选：D．【点睛】此题主要考查了同类项，正确掌握同类项的定义是解题关键．7．C【分析】按照整式加减法法则“几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项”进行计算，然后对比结果，即可得出答案.【详解】解：＝－x2＋3xy－y2＋x2－4xy＋y2＝－x2－xy＋y2.所以空格中的一项是－xy.故选C.【点睛】本题主要考查学生对整式的加减法的综合运用能力.解决本题的重点在于要将所给的等式的左边进行计算，然后与右边进行对比，即可得出答案.注意：在对比中要注重项的符号，以避免功亏一溃.8．D【分析】先观察题干实例的运算步骤，发现对应的数即为从而可得出结论.【详解】解：由题意得：故选D【点睛】本题考查的是利用完全平方公式进行运算，掌握“”是解本题的关键.9．（1）2，4，6；（2）4×16=64，；（3）；（4）见解析【分析】（1）根据对数的定义求解可得；（2）观察三个数字及对应的结果，找出规律；（3）将找出的规律写成一般形式；（4）设，，利用转化可推导．【详解】（1）∵,,∴2，4，6（2）4、16、64的规律为：4×16=64∵2+4=6，∴（3）根据（2）得出的规律，我们一般化，为：（4）设，则，∴∴∴，得证【点睛】本题考查指数运算的逆运算，解题关键是快速学习题干告知的运算法则，找出相应规律．10．（1）9，-6；（2）能，m=1211；（3）2424【分析】（1）根据任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，得到x及数字的排列规律，即可计算第2009个格子中的数；（2）先计算出这三个数的和，再按照规律计算；（3）由于是三个数重复出现，重复计算前三个数的和得到规律后即可得到答案.【详解】（1）∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴x=9，&=-6，∴#=2，∴这列数是按9，-6,2循环排列的，∵20093=669，∴第2009个格子中的数是-6,，故答案为：9，-6；（2）能，∵9-6+2=5，20185=403，且9-6=3，∴前m个格子中所填整数之和可能为2018，m的值为：；（3），由于是三个数重复出现，则前19个格子中的这三个数中，9出现7次，-6出现6次，2出现6次，代入式子计算可得，故答案为：2424.【点睛】此题考查数字类规律的探究，根据题意找到数字的排列规律是解题的关键.11．（1）；（2）【分析】（1）通过观察，总结规律即可；（2）应用（1）得到的规律解题即可.【详解】解：（1）由…可得：=；故答案为：；（2）＝＝＝，故答案为．【点睛】本题考查了分式的加减运算法则，解题的关键在于通过观察发现规律，并正确应用规律.12．【分析】根据材料给出的规律解答即可【详解】(1)观察发现：；(2)①在(1)的结论下，即②即(3)观察可知，(4)①，，，，②∵且为质数对分解质因数可知∴∴，∴，∴【点睛】本题考查代数式的化简变形13．(1)17，25(2)(4n+1)(3)2017(4)是，理由见解析【分析】（1）观察发现每增加一个图案增加三根火柴，从而得到规律，代入求解即可求得总数．（2）根据以上规律即可得；（3）利用高斯求和方法计算可得；（4）求出前2017个图形中火柴总数即可得．（1）第4个图案中火柴有4×4+1=17；第6个图案中火柴有4×6+1=25；（2）当n=1时，火柴的根数是4×1+1=5；当n=2时，火柴的根数是4×2+1=9；当n=3时，火柴的根数是4×3+1=13；所以第n个图形中火柴有4n+1．（3）f(1)=2×1−1=1，f(2)=2×2−1=3，f(3)=2×3−1=5，∴原式=2017.（4）4×1+1+4×2+1+⋯+4×2017+1=4×（1+2+⋯+2017）+1×2017=4××（1+2017）×2017+2017=2×（1+2017）×2017+2017=4037×2017.∴是2017倍数.【点睛】本题主要考查图形的规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．14．1507【分析】根据前后两个数的差找出前后两个整数的变化规律，从而得到前1004个数中有重复连续的整数，最小是0，最大为502，，后1004个是不重复的整数，【详解】设f(n)=.①当n=1，2，…，1004时，有f(n)-f(n-1)=-=<1.而[f(1)]=0，[f(1004)]=[]=502，所以，从0到502的整数都能取到.②当n=1005，1006，…，2008时，有f(n)-f(n-1)=>1.而[f(1005)]===502+1+>503，故从是互不同的整数共1004个.从而，在中，共有503+1004=1507个不同的整数.【点睛】此题主要考查了取整计算，根据已知得出所有整数的取值范围是解题关键．15．（1）能；（2）能【详解】解

（1）如图，连续进行4次操作：并且易检验最后一个圆周上的6个数满足：对任意4个相连的数，，，，都有．（2）答案也是肯定的，考虑这2010个数相邻两数之积的和，若圆周上相连的4个数，，，满足不等式，即，交换与后，设圆周上相邻两数之积的总和为，则，即．所以，每操作一次，相邻两数乘积和至少减少1，而相邻两数乘积和不可能是负数和零故经过有限次操作后，对任意相连的4个数，，，都有．16．【分析】由和两式变形得出，，，再将原式变形为，计算即可．【详解】∵，∴，两边同时平方得，即，∴，又∵，∴，∴，即，同理可得，，原式============．【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是对代数式进行变形．17．①25，25；②这两个代数式的值相等；③1【分析】①将已知条件代入，分别求值即可；②根据题意，可猜想两个代数是相等关系；③结合②的结论，简便计算即可．【详解】①当，时，；；②根据上面计算结果猜想这两个代数式的值相等；③当，时，代数式．【点睛】本题考查了代数式求值，以及规律总结，灵活总结出规律，并根据规律进行简便计算是解题关键．18．化简结果是；-24.【分析】由，求出a、b的值，然后化简多项式并把所求字母的值代入计算即可求出结果．【详解】解：由得:a=-3，b=2，===．当a=-3，b=2时，原式==.【点睛】本题考查了整式加减运算及化简求值，还考查了非负数的性质，掌握整式加减运算法则是关键．19．0【分析】首先根据偶次方和绝对值的非负性，可得m，n的值，然后化简整式，代入m，n的值，即可得到答案．【详解】，，原式，把带入得原式，故答案为：0．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，其中利用偶次方和绝对值的非负性，求出m，n的值也是关键的一步．20．【分析】根据，依次写出相邻两项之差，再左右两边同时累加得出，令，得出的值，将其代入中，表示出即可．【详解】解：，有，，，，，左右两边同时累加得，令，则，，解得：．．故答案为：．【点睛】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出，再利用规律求解．21．2m-2n.【分析】此题要先设小长方形的长为acm，宽为bcm，再结合图形得出2b+a=m，分别表示图形②的阴影周长和图形③的阴影周长，作差后即可求出答案.【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b，由图可知2b+a=m，∴②阴影部分的周长为：=2（m+n），∴③阴影部分的周长为：=2m+2（n-a）+2（n-2b）=2m+4n-2(2b+a)=2m+4n-2m=4n,∴C2-C3=2（m+n）-4n=2m-2n.故答案为2m-2n.【点睛】此题主要考查整式加减的运用，做此类题要善于观察，在第②个图形中利用割补法进行计算，很容易计算得出结果．22．11【分析】设，为正整数．等式两边同时乘16，并整理得出．由为整数，为正整数，且，可分类讨论得出关于n和p的二元一次方程组，解除n和p的值，再保留符合题意的p的值即可．【详解】设，为正整数．则，即．∴．由为整数，为正整数，且，得，或，或，或．解得，或，或，或．又为素数，所以．所以当素数时，是一个完全平方数．故答案为：11．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，二元一次方程组的应用．通过完全平方公式变形是解题关键．23．8【分析】先将x=1代入，求出正确值，再进行计算即可．【详解】解：当时，，错误的算式为：原式则这位同学看错了8次项前的符号．故答案为：8【点睛】此题主要考查了整式的加减-化简求值问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．24．34.【分析】本题是带有参数的代数式求值问题，根据题意可得，求出的值，然后将变形后用整体代入的方法即可求值.【详解】解：∵当时，代数式的值为3，∴，∴，∴=24+10=34．故答案是：34.【点睛】本题考查代数式求值问题，将代数式变形后整体代入是关键.25．-22.【分析】由a、b互为倒数，c为最小的正整数，是最大的负整数可知ab=1，c=1，d=-1，再由|x+5|=0可知x=-5，再代入所求代数式即可得出结论．【详解】解：∵a、b互为倒数，c为最小的正整数，是最大的负整数，∴ab=1，c=1，d=-1，∵|x+5|=0，∴x=-5，∴原式==3-25+0=-22.【点睛】本题考查的是代数式求值，先根据题意得出ab=1，c=1，d=-1，x=-5是解答此题的关键．26．【分析】设此数为x，且，，再根据奇偶性相同即可求得ab的值，即可求得x的值，即可解题．【详解】提示：设所求正整数为，则有，①，②其中，都为正整数．由②①得，③由③有，④又因为与奇偶性相同，所以由④可得，．⑤解出，，⑥将⑥代入①可知．【点睛】本题考查完全平方数，根据奇偶性相同求得答案是解题的关键.27．(答案不唯一)【分析】根据同余数定义，若是同余数，则(为正整数)也是同余数．由已知5，6，7是同余数k分别取2，3，4…计算可得答案．【详解】根据同余数定义，若是同余数，则(为正整数)也是同余数．由5是同余数知，也是同余数．由5是三边长分别为，，的直角三角形的面积，可得是三边长分别为，，的直角三角形的面积，即三边长分别为，，的直角三角形的面积．将，，，代入，，计算得，．于是是椭圆曲线上的一个有理点．注：将，，，代入，，计算得，．于是也是椭圆曲线上的一个有理点．【点睛】本题考查的是知识的迁徙和转化，是一个开放问题，由已知直角三角形的三边关系及面积入手，利用是同余数，则(为正整数)也是同余数，进行计算是解题的关键．28．①9；②6或7或－2或－3.【分析】①根据题意进行计算，列出前10个数，再相加计算即可；②先将x分为0、正整数、负整数三大类情况，判断出x=0时不合题意，然后另外两种情况中再分x为偶数、奇数时进行讨论，找出规律即可求出x.【详解】解：①当x=2时，这列数为1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…