北京丰台12中2024年高三二诊模拟考试数学试卷含解析

北京丰台12中2024年高三二诊模拟考试数学试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知某批零件的长度误差（单位：亳米）服从正态分布N（0j2）,从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）

内的概率为（）

（附：若随机变量自服从正态分布N（",4）,则P（〃一bvj<〃+b）=68.26%,

P（〃-2b<Jv〃+2b）=95.44%.）

A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%

2.己知向量〃与〃+的夹角为60°,k|=1,W=g,则Q/=（）

g-33

A.--B.0C.0或一一D.一一

3.已知小，〃为两条不重合直线，仅为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是（）

A.〃?〃njnua,nuBB.//X±p

C.m±n9rn//cc,n//pD.m_Ln,m_La,nJ_ft

4.3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（）

5.。是平面上的一定点，ARC是平面上不共线的三点，动点。满足OP=°A+2（师菽+碎嬴），

AG（O,oo）,则动点p的轨迹一定经过M8C的（）

A.重心C.外心D.内心

6.若函数/（x）=d+以2+3］一9在上=一3时取得极值，贝!1。=（

7.已知向量a=b=(3,-2),且(a+〃)_L/?,则〃i=(

8.抛物线方程为丁二4］，一直线与抛物线交于43两点，其弦A3的中点坐标为（覃），则直线的方程为（）

A.2x-y-\=0B.2x+y-1=0c.2x-y+l=0D.-2x-y-1=0

9.已知复数z满足忖=1,则|z+2―/|的最大值为()

A.2+3B.1+75c.2+6D.6

10.2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼

成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为

A.96B.84C.120D.360

・

11.已知定义在R上的函数/(x)=x泗，«=/(log3V5),b=-/(log.,c=/(ln3),则a,h,c的大小关

系为()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

2

12.已知双曲线。：/一强_=1(8>0)的一条渐近线方程为y=6，尸2分别是双曲线C的左、右焦点，点产

在双曲线C上，且|尸制=3,则陷1二()

A.9B.5C.2或9D,1或5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.记实数不入2，，Z中的最大数为max{x，w，・・・,x.},最小数为min%2，」,毛}•已知实数掇乐)且三数能构

|x1X

成三角形的三边长，若r=max<—卜min「,一，y},贝！1，的取值范围是_____.

次ylxyJ

14.平面向量4=(1,2),力=(4,2),C=ma+b(机£R),且。与〃的夹角等于c与b的夹角，则，〃二一.

15.已知双曲线工的右准线与渐近线的交点在抛物线y2=2/»上，则实数〃的值为.

412

(

16.若将函数〃x)=sin2x+-的图象沿x轴向右平移姒9>0)个单位后所得的图象与/(x)的图象关于x轴对

称，则。的最小值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知产是抛物线。：9=2*(〃>0)的焦点，点2在工轴上，。为坐标原点，且满足。尸=；。儿经

过点夕且垂直于工轴的直线与抛物线。交于A、B两点,且|AB|=8.

(1)求抛物线。的方程；

(2)直线/与抛物线。交于M、N两点，若OM・ON=—64,求点尸到直线/的最大距离.

18.(12分)如图，二棱柱ABC—ABG中，AA8C与MMC均为等腰直角二角形，ZBAC=ZB4C=90°,侧面

84A片是菱形.

(1)证明：平面A8C_L平面A8C；

(2)求二面角A—8G—C的余弦值.

19.(12分)AABC的内角48,。所对的边分别是且〃=3(acos8+Z7COSA),Z?+c=8.

(1)求Ac；

7

(2)若BC边上的中线4。=一，求AA8C的面积.

2

20.(12分)已知双曲线C:/-y2=］及直线/：y="+i.

(1)若I与C有两个不同的交点，求实数后的取值范围；

(2)若(与C交于4,B两点,。是原点，且SQ8=血，求实数攵的值.

21.(12分)如图1,A4OC与AA8C是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，

ZACB=ZACD=30ZABC=ZADC=90»AB=2t连接是胡立后边上一点，过E作石厂//3。，交.CD

于点F,沿£厂将ACE尸向上翻折，得到如图2所示的六面体P-八区日力，

图2

(1)求证；BD±AP;

(2)设BE=/lEC(/leR),若平面。及'_L底面若平面与平面P3/所成角的余弦值为半，求义的

值；

(3)若平面PEF上底面ABEFD,求六面体P—的体积的最大值.

22.(10分)设函数/(x)=(a—x)e'+/?x—clnx.

(D若。=3,c=()时，/1)在(0,+8)上单调递减，求〃的取值范围;

(2)若。=2,/?=4,c=4,求证：当x>l时，/U)<16-81n2.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

试题分析：由题意R-3<<<3)=68.26%,P(-6<<<6)=95.44%,/.H3<<<6)=1(95.44%-68.26%)=13.59%.

故选B.

考点：正态分布

2、B

【解析】

由数量积的定义表示出向量〃与a+b的夹角为60。，再由『二,『，/「二|『代入表达式中即可求出〃为.

【详解】

由向量4与〃+〃的夹角为60。，

得。•a+Z?)=a+ab=aci+bcos60°,

所以l+〃・Z?=]Xlx+2cl•〃+3,解得ab=O•

故选：B

【点睛】

本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题.

3、D

【解析】

根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.

【详解】

对于A,当机〃力机ua,〃u/7时，则平面。与平面尸可能相交，a1J3faH/3t故不能作为的充分

条件，故A错误；

对于B,当相〃力〃?J_。，时，则夕，故不能作为a，尸的充分条件，故B错误；

对于C,当机_L〃，m//a,〃//〃时，则平面。与平面夕相交，a工0,alipt故不能作为aJ_/的充分条件,

故C错误；

对于D,当"z_L〃，ma>n10,则一定能得到a，/,故D正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.

4、D

【解析】

把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件.计数后可求得概率.

【详解】

3本不同的语文书编号为2本不同的数学书编号为。/,从中任意取出2本，所有的可能为：

AB,AC.Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca、Cb,ab共10个，恰好都是数学书的只有。〃一种，，所求概率为2二

故选：D.

【点睛】

本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率.

5、B

【解析】

解出AP，计算AP.8C并化简可得出结论・

【详解】

ABAC

--------------------1---------------------

AP=OP-OA=^

AB-cosBAC-cosC

AB.BCAC.BC

/.AP.BC=A-----------------H---------------------0,

AB-cosBAC-cosC

••APLBCr即点尸在。。边的高上，即点尸的轨迹经过AASC的垂心.

故选民

【点睛】

本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算APBC是关键.

6、D

【解析】

对函数求导，根据函数在工=-3时取得极值，得到/'(-3)=0,即可求出结果.

【详解】

因为/(工)=尸+以2+3%一9,所以/'(x)=3x2+2ar+3,

又函数〃6=/+加+3穴一9在x=—3时取得极值，

所以/'(一3)=27-6々+3=。，解得。=5.

故选D

【点睛】

本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.

7、D

【解析】

由已知向量的坐标求出4+人的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案.

【详解】

,:a=(I.???),/?=(3,-2),.'.a+b=(4,ni-2),又(〃+b)_LZ?,

/.3x4+(-2)x(m-2)=0,解得m=l.

故选I).

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题.

8、A

【解析】

设44,%），利用点差法得到无干"=3=2,所以直线A8的斜率为2,又过点（1,1）,再利用点斜式

即可得到直线A4的方程.

【详解】

解：设4（%方）,8（4％），・・・%+%=2,

24工

又厂；二两式相减得：犬一工二4（%-匕），

[yi=%

・•・（%+%）（凹一%）=4（药一巧）,

・豆二&）=2

,•…2'

・・・直线43的斜率为2,又，过点（1,1）,

，直线43的方程为：y-i=2（x-l）,即2%一丁一1二0,

故选：4

【点睛】

本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法%即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可

把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系.

9、B

【解析】

设2=〃+所,外人£/?,[2+27[=J（a+2）2+（6-1）2,利用复数几何意义计算.

【详解】

2

设z=a+biM,AcR,由己知，6/+^=1,所以点（。,勿在单位圆上，

而|z+2-i|=|（〃+2）+S-l）i|=J（a+2）2+S-l）2,小（4+2）2+（〃一1）2表示点（外〃）

到（—2,1）的距离，故|z+2-心J（—2『+12+1=1+6.

故选：B.

【点睛】

本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式|z+2-z|<|z|+|2-Z|来解决.

10、B

【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共4A：=96个，其中含有2个1()的排列数共A；=12个,

所以产生的不同的6位数的个数为96-12=84.故选B.

11>D

【解析】

先判断函数在x>0时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到力=/(log,2),比较

logs石［og32』n3三个数的大小，然后根据函数在x>()时的单调性，比较出三个数〃也c的大小.

【详解】

当x>0时，f(x)=x-2W=x-2r=>f\x)=2X+x-In2-2r>0,函数在x>0时，是增函数.因为

f(-x)=t•2问=一犬2、=-/*),所以函数f(x)是奇函数，所以有〃=-/(log3g)=/(-Iog3；)=/(log32),

因为In3>l>log3石>log32>0,函数在x>0时，是增函数，所以c>a〉b,故本题选D.

【点睛】

本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.

12、B

【解析】

根据渐近线方程求得再利用双曲线定义即可求得.

【详解】

由于2=2贬，所以〃二2收，

a

又忸制周|=2且|P段2c—=2,

故选：B.

【点睛】

本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

l+x/5

13、［1,)

2

【解析】

1：

fix1fix]j…

试题分析：显然max：-.-.）}=）1,又mm4—,一,

b一KJ}={斗百,

[y

jlSx”

①当）时，/=上，作出可行区域j<x+l,因抛物线）=/与直线J=）及）=工-1在第一象限内的交点分

x

1>'<X，

别是（1,1）和己逑包居•:，从而1<,<上]g

l<x<y

②当时，r-x,作出可行区域-.x+1,因抛物线.二一与直线）='及）=、1在第一象限内的交点分

n.|B/,知..耳底¥将、以II7X-.

别是（1,1）和”,--------------从而----"---5---

,,0%2

综上所述，，的取值范围是[1,=公）.

考点；不等式、简单线性规划.

14、2

【解析】

试题分析：C=〃M+8=〃Z（1,2）+（4,2）=（/〃+4,2"2+2）,C与Q的夹角等于c与〃的夹角，所以

ac_b-c〃2+4+4〃？+4_4m+16+4m+4

丽丽'—忑—=~砺

考点：向量的坐标运算与向量夹角

15、之

2

【解析】

求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可.

【详解】

解：双曲线二一匕二1的右准线工=±=±=1,渐近线y=±6，

412C4

Y2、3

双曲线：L一匕二1的右准线与渐近线的交点(1,土业,

412

交点在抛物线y2=2Px上,

可得：3:2〃,

解得〃=]3.

故答案为.

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.

16、-

2

【解析】

由题意利用函数y=AsiMsx+9)的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得夕的最小值.

【详解】

解：将函数f(x)=sin(2x+q)的图象沿x轴向右平移0(0>0)个单位长度，可得

y=sin2(.r-^?)+y=s\n^2x-2(pJc^的图象.

根据图象与/(x)的图象关于无轴对称，可得一sinj2x+g]=sin(2x—2e+f],

-2(p=(2k+\)7TikeZ,即％=—1时，。的最小值为X.

7T

故答案为：—•

【点睛】

本题主要考查函数y=Asin(0x+0)的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)y2=[6x；(2)4.

【解析】

(D求得点尸的坐标，可得出直线AB的方程，与抛物线的方程联立，结合|A3|=8求出正实数〃的值，进而可得出

抛物线的方程;

（2）设点M（%，X）,%（%，%），设/的方程为人=〃少+〃，将直线/的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定埋,

结合OM・ON=-64求得"的值，可得出直线/所过定点的坐标，由此可得出点尸到直线/的最大距离・

【详解】

（1）易知点又OP=｝）F,所以点则直线AB的方程为x

\2）4\o）8

x=Ex=p_

联立彳8，解得8或.8」所以|A8|二=〃=8.

2,

y2=2px2

y一5

故抛物线C的方程为丁二馆工；

（2）设i的方程为工=〃少+〃，联立]）-16a有），2-16m），-16〃=0,

[X=my+n

设点M（X，y）,Nd，%），则X）‘2=T6〃，所以XX=5匹L=〃2.

~256

所以OMON=玉/+X）'2=〃2—16〃=-64,解得〃=8.

所以直线/的方程为工=冲+8,恒过点（8,0）.

又点尸（4,0）,故当直线/与/轴垂直时，点口到直线/的最大距离为4.

【点睛】

本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求

解能力，属于中等题.

18>（1）见解析（2）2匣

11

【解析】

（1）取BC中点O,连接4。，A。，通过证明=AAO3,得AQJ.A。，结合AQJ.8C可证线面垂直，

继而可证面面垂直.

（2）设BC=2,建立空间直角坐标系，求出平面A8G和平面8C。的法向量，继而可求二面角的余弦值.

【详解】

解析：（1）取8C中点O,连接A。，A0,

c,

fi,

由已知可得4O_LBC,AO_LBC,AO=A.0=^BC=OBt

;侧面5AAM是菱形，・・・A3=AA，MOA,=\AOB,:.Z.AOB=AAO\=90°,

即401AO,・・・AOn8C=O,・・・4。_1•平面ABC,，平面ABC_L平面48c.

(2)设BC=2,则AO=4O=8O=OC=1,建立如图所示空间直角坐标系O—Ayz,则A(l,0,0),^(0,0,1),

8(0,1,0),C(0,-l,0),A4,,=CCi=(-l,0,l),BC；=(-1-2,1),BA=(l,-l,0),设平面ABC1

的法向量为m=(x,y,z),

-^-2y+z=0/、

则〜。’令"印得一=。』,3).

4_2A/22

同理可求得平面BCG的法向量〃二(1,0,1),cos<m,n>=

VTTxV2-11

【点睛】

本题考杳了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者线面角的问题时，常建立空间直角坐标系，通

过求面的法向量、线的方向向量，继而求解,特别地，对于线面角问题，法向量与方向向量的余角才是所求的线面角，

即两个向量夹角的余弦值为线面角的正弦值.

3755

19、(1)b=6,c=2(2)S

1Hr丁

【解析】

(D先由正弦定理，得到sinB=3sinC,进而可得人=3c,再由〃+c=8,即可得出结果;

(2)先由余弦定理得/=人。2+5。2一24Z>3OCOSNA£>3,//=AO2+CO2—2A£>CZ)CCS4OC，再根据

题中数据，可得/=31,从而可求出cosN84C,得到sinNBAC,进而可求出结果.

【详解】

(1)由正弦定理得sinB=3(sinAcos^+sinBcosA),

所以sin8=3sin(A+8),

因为A+8+C=〃，所以sin(A+B)=sin("一C)=sinC,

即sin3=3sinC,所以〃=3c,

又因为b+c=8,所以人=6,c=2.

(2)在AA3D和AACD中，由余弦定理得

W=AEr+BD1-2ADBDcosZADB,h2=AD1+CD2-2ADCDcosZADC.

因为〃=6,c=2,BD=DC=-AD=-

2f29

又因为NADB+NADC=冗,BPcosZADB=-cosZADC,

所以"=31,

所以cos/BAC='+c""=2,

2bc8

又因为N84C£(0,〃)，所以sinNBAC二半.

所以ABC的面积S,口。=-bcs\n^BAC=拽;.

A5C24

【点睛】

本题主要考查解三角形，灵活运用正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.

20、(1)(-V2,-l)u(-l.l)u(l,V2)；(2)Z=0或女=±如.

2

【解析】

(1)联立直线方程与双曲线方程，消去丁，得到关于汇的一元二次方程，根据根的判别式，即可求出结论；

⑵设A(/x),3(毛,%)，由⑴可得5G关系，再由直线/过点(0J)，可得SSLJX-W卜及，进而建

立关于攵的方程，求解即可.

【详解】

(1)双曲线c与直线/有两个不同的交点，

y=kx+\

则方程组「，,有两个不同的实数根，

[x--y2~=l

整理得(1一女2)/一26一2=(),

1炉rO

…A=4A:2+8（l-Z:2）＞0，

解得一行＜k＜6且kw±l.

双曲线C与直线，有两个不同交点时，

k的取值范围是（一后，一=汇）.

⑵设交点8（巧，兄），直饯，与y轴交于点。（。，1），

S。八8=乐一々|=立

.•.（百-%）』后,

3

整理得2k4一3公=0,解得攵=0或公=]

.•.〃=0或％=±直.又—夜＜k＜日

2

.,.%=0或#=±逅时，4.AO8的面积为夜.

2

【点睛】

本题考查直线与双曲线的位置关系、三角形面积计算，要熟练掌握根与系数关系解决相交弦问题，考查计算求解能力,

属于中档题.

21、（1）证明见解析（2）2=-（3）3叵

49

【解析】

（1）根据折叠图形，BD1AC,由线面垂直的判定定理可得80_1_平面PAN,再根据APu平面BAN,

得到3O_LAP.

（2）根据PNJ.EF,£FJ_AC,以N为坐标原点，NA,NE,NP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，根据

A8=AD=2,3O=3C=2百,AM=1,CM=3,3E=4EC可知，EF=空，PN=CN=工，表示相应低

1+21-2

|54AI也

的坐标，分别求得平面4砂与平面。。的法向量，代入卜

rI,=V求解•

百112+(42+1)-5

⑶设所求几何体的体积为V,设CN=M°VX<3)为高，则可二等］，表示梯形3E/W和/A3。的面积由

."+竽］(3一力

V=-x-------I---再利用导数求最值.

32

【详解】

(1)证明：不妨设防与AC的交点为N,3。与AC的交点为“

由题知，CO=BC,NOC4=NBC4=3(r,则有8O_LAC

又RDHEF,则有正户_1_4。.

由折叠可知，PN±政,所以可证PN1BD,

由ACcPN=N,ACu平面PAN,PNu平面PAN,

则有_L平面RAN

又因为4尸u平面PAN,

所以用)_LAR・・・

(2)解：依题意，有PN_LE£平面P£/_1平48£阳面，

又PNu平面PEF,

则有PN人平面ABE7Z),PN_LAC,又由题意知，EF1AC

如图所示：

B

y

以N为坐标原点，NA,NE,NP为人,Xz轴建立如图所示的空间直角坐标系

由题意知A8=AO=2,8O=8c=2©,AM=1,CM=3

由=可知,

3

EF=^—,PN=CN=

1+2m

则N（O,O,O）,P0,0,,0,0

14-AJ11+2

B隹■,（）1,o

焉砌心-1+、'i+誓26。

贝!］有AP=

穿。吊》取篙3尚

吁(。告白］,密卜号飞岛,

?

设平面ABP与平面DFP的法向量分别为m=(x1,y1,zl),M=(x2,j2,z2)

AP-m-0一（£+"+3「0=”卜⑸则

则有=>

BPm-0—一（丸+1）¥+,\/3ZI=0

FPD包