备战 2022新高考《2021年全国新高考H卷》真题分析

备战2022新高考《2021年全国新高考H卷》真题分析

一、2021年高考数学全国卷试题评析

2021年高考数学全国卷共6套，由教育部考试中心命制，包括全国甲卷2套（文、

理科）、全国乙卷2套（文、理科）、新高考I卷1套（不分文理科）、新高考H卷1

套（不分文理科）。

2021年高考数学全国卷命题，落实高考内容改革总体要求，贯彻德智体美劳全面

发展教育方针，聚焦核心素养，突出关键能力考查，体现了高考数学的科学选拔功能和

育人导向。试题突出数学本质，重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原则；

倡导理论联系实际、学以致用，关注我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果，通

过设计真实问题情境，体现数学的应用价值；稳步推进改革，科学把握必备知识与关键

能力的关系，科学把握数学题型的开放性与数学思维的开放性，稳中求新，体现了基础

性、综合性、应用性和创新性的考查要求。

1、发挥学科特色，彰显教育功能

2021年高考数学全国卷命题，坚持思想性与科学性的高度统一，发挥数学应用广泛、

联系实际的学科特点，命制具有教育意义的试题，以增强考生社会责任感，引导考生形

成正确的人生观、价值观、世界观。试题运用我国社会主义建设和科技发展的重大成就

作为情境，深入挖掘我国社会经济建设和科技发展等方面的学科素材，引导考生关注我

国社会现实与经济、科技进步与发展，增强民族自豪感与自信心，增强国家认同，增强

理想信念与爱国情怀。

一是关注科技发展与进步。新高考H卷第4题以我国航天事业的重要成果北斗三号全球

卫星导航系统为试题情境设计立体几何问题，考查考生的空间想象能力和阅读理解、数

学建模的素养。

二是关注社会与经济发展。乙卷理科第6题以北京冬奥会志愿者的培训为试题背景,

考查逻辑推理能力和运算求解能力。新高考I卷第18题以“一带一路”知识竞赛为背

景，考查考生对概率统计基本知识的理解与应用。甲卷文、理科第2题以我国在脱贫攻

坚工作取得全面胜利和农村振兴为背景，通过图表给出某地农户家庭收入情况的抽样调

查结果，以此设计问题，考查考生分析问题和数据处理的能力。

三是关注优秀传统文化。乙卷理科第9题以魏晋时期我国数学家刘徽的著作《海岛算

经》中的测量方法为背景，考查考生综合运用知识解决问题的能力，让考生充分感悟到

我国古代数学家的聪明才智。新高考I卷第16题以我国传统文化剪纸艺术为背景，让

考生体验探索数学问题的过程，重点考查考生灵活运用数学知识分析问题的能力。

2、坚持开放创新，考查关键能力

《深化新时代教育评价改革总体方案》提出，构建引导考生德智体美劳全面发展的

考试内容体系，改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和“机械刷

题”现象。2021年高考数学全国卷命题积极贯彻《总体方案》要求，加大开放题的创

新力度，利用开放题考查考生教学学科核心素养和关键能力，发挥数学科的选拔功能。

（1）是“举例问题”灵活开放。新高考H卷第14题的答案是开放的，给不同水平的考

生提供充分发挥数学能力的空间，在考查思维的灵活性方面起到了很好的作用。乙卷义、

理科第16题考查考生的空间想象能力，有多组正确答案，有多种解题方案可供选择。

（2）是“结构不良问题”适度开放。甲卷理科第18题，试题给出部分已知条件，要求

考生根据试题要求构建一个命题，充分考查考生对数学本质的理解，引导中学数学在数

学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象。新高考

H卷第22题第（2）问是一道“结构不良问题”，对考生的逻辑推理能力、数学抽象能

力、直观想象能力等有很深入的考查，体现了素养导向、能力为重的命题原则。

（3）是“存在问题”有序开放.新高考n卷第18题基于课程标准，重点考查考生的逻

辑推理能力和运算求解题能力，在体现开放性的同时，也考查了考生思维的准确性与有

序性。新高考I卷第21题第（2）问要求考生运用解析几何的基本思想方法分析问题和

解决问题，考查考生在开放的情境中发现主要矛盾的能力。

3、倡导理论联系实际，学以致用

2021年高考数学全国卷命题注重理论联系实际，体现数学的应用价值，并让考

生感悟到数学的应用之美。理论联系实际的试题，体现现代科技发展和现代社会生产等

方面的特点，有机渗透数学建模、数据分析、逻辑推理等数学核心素养与数学思想方法

的应用，对选拔与育人具有积极的意义。

（1）是取材真实情境，解决实践问题。新高考II卷第21题取材于生命科学中的真实问

题，考查数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养，体现了基础性、综合性、应

用性、创新性的考查要求。甲卷理科第8题以测量珠穆朗玛峰高程的方法之三角

高程测量法为背景设计，要求考生能正确应用线线关系、线面关系、点面关系等几何知

识构建计算模型，情境真实，突出理论联系实际，

（2）是关注青少年身心健康。身心健康是素质教育的核心内容，在高考评价体系的核

心价值指标体系中，包含有健康情感的指标，要求考生具有健康意识，注重增强体质，

健全人格，锻炼意志。2021年高考数学试题对此也有所体现，如甲卷理科第4题（文

科第6题），以社会普遍关注的青少年视力问题为背景，重点考查考生的数学理解能力

和运算求解能力。

（3）是关注现实生产生活。乙卷文、理科第17题，以芯片生产中的刻蚀速率为原型,

设计了概率统计的应用问题，考查考生对平均数、方差等知识的埋解和应用，引导考生

树立正确的人生观、价值观。新高考H卷第6题，以某物理量的测量为背景，考查正态

分布基本知识的理解与应用，引导考生重视数学实验，重视数学的应用。

总之，2021年高考数学全国卷试题很好地落实了立德树人、服务选才、引导教学的高

考核心功能，同时突出数学学和特色，发挥了高考数学科的选拔功能，对深化中学数学

教学改革发挥了积极的导向作用。

二、2021年全国新高考H卷考点分布表

题号命题点模块（题目数）

1复数的除法运算复数（共1题）

2集合的交集与补集运算集合（共1题）

3抛物线的方程与几何性质解析几何（共4题）

4球的实际应用立体几何（共4题）

5棱台的体积立体几何（共4题）

6正态分布概率统计（共3题）

7对数式大小的比较函数（共4题）

8函数的奇偶性函数（共4题）

9样本的数字特征概率与统计（共3题）

10空间几何体中的线面位置关系立体几何（共4题）

11直线与圆解析几何（共4题）

12数列数列（共2题）

13双曲线的几何性质解析几何（共4题）

14函数与导数1.函数（共4题）

2.导数（共3题）

15平面向量的数量积平面向量（共3题）

16导数的几何意义导数（共3题）

17数列的通项与求和数列（共2题）

18解三角形三角函数与解三角形（共题）

19线面位置关系的证明及空间角的计算立体几何（共4题）

20圆与椭圆解析几何（共4题）

21概率的应用1.概率统计（共3题）

2.不等式（共2题）

22用导数研究函数单调性、不等式证明1.导数（共3题）

2.函数（共4题）

3.不等式（共2题）

三、2021年全国新高考II卷逐题分析

一、单选题

I.复数与在复平面内对应的点所在的象限为（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】

利用复数的除法可化简T2-i，从而可求对应的点的位置.

1-31

【详解】

2_J_=(2-i)(l+3i)=5_i5i=l_H^所以该复数对应的点为

l-3i10102122)

该点在第一象限，

故选：A.

【命题意图】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义,考查数学运算与数学抽象的

核心素养.难度：容易

【点评】

1、复:数的概念

2.复数的加减乘除运算

3.复数的几何意义

4.化为“+历(a.。WR)的形式,再结合相关定义解答.

2.设集合U={1,2,3,4,5,6),4={1,3,6},5={2,3,4},则砧例)=()

A.⑶B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3(

【答案】B

【分析】

根据交集、补集的定义可求4cH5).

【详解】

由题设可得，石={1,5,6},故Ac虱8)={1,6},

故选：B.

【命题意图】本题考查集合的交集与补集运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养.难

度：容易

【点评】

1、是集合的并集、交集、补集运算，

2、是集合之间的关系，

3、对集合化简，有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单

明了、易于解决；

4、应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图

(Venn).

3.抛物线y2=2px(p>0)的焦点至ij直线y=*+i的距离为正,则。=()

A.1B.2c.2V2D.4

【答案】B

【分析】

首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得P的道.

【详解】

抛物线的焦点坐标为（3o）,

£-0+1

其至1J直线x—y+i=o的距离：d=i=必

解得：〃=2（，=-6舍去）.

故选：B.

【命题意图】本题考查抛物线的方程与几何性质及点到直线距离公式，考查数学运算的

核心素养.难度：容易.

【点评】

1、抛物线定义

2、抛物线方程

3、抛物线的基本量

4、利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是

如此.

5、常见结论使用

设AB是过抛物线尸=2〃如＞0）焦点F的弦，若则

①制及一〃2.

②弦长|4用=不+4+〃=点7"为弦AR的倾斜角）.

③以弦AB为直径的圆与准线相切.

④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p,通径是过焦点最短的弦.

4.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球

静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星

到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O,半径，为6400km的球，其上点4

的纬度是指。4与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步

轨道卫星点的纬度最大值为。，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2;r，（l-cosa）

（单位：km2），则5占地球表面积的百分比约为（）

A.26%R.34%C.42%D.50%

【答案】C

【分析】

由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.

【详解】

由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：

]6400

2乃产(l-cosa)="cosa=-6400+36000^042=42%,

4夕2~2~2〜.一

故选：C.

【命题意图】本题考查与求有关的计算问题，考查直观想象与数学建模的核心素养.难度：

容易

【点评】

1、空间想象能力和阅读理解

2、数学建模的素养

3、关注我国社会现实与经济、科技进步与发展，增强民族自豪感与自信心，增强国家认同,

增强理想信念与爱国情怀.

5.正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为()

A.20+12&B.286C.乎D.里也

【答案】D

【分析】

由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得

解.

【详解】

作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，

因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,

所以该棱台的高人=「―(2&_可=&,

下底面面积5,=16,上底面面积S2=4,

所以该棱台的体枳丫=9(耳+邑+廊?)=；xV5x(16+4+病)=g及.

故选：D.

【命题意图】本题考查棱台的体积，考菅直观想象与数学运算的核心素养.难度：容易.

【点评】

1、计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高

2、应注意充分利用多面体的截面，特别是轴截面,将空间问题转化为平面问题求解.

3、几何体中元素的位置关系与数量关系

4、几何体的表面积与体积、球与几何体的切接等.

6.某物理量的测量结果服从正态分布7(IO,。?)，下列结论中不正确的是()

A.。越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.。越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.。越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.。越小，该物理量在一次测量中落在(9910.2)与落在(10,10.3)的概率相等

【答案】D

【分析】

由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.

【详解】

对于A,『为数据的方差，所以。越小，数据在〃=10附近越集中，所以测量结果落

在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；

对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故

B正确；

对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与

小于9.99的概率相等，故C正确；

对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同,

所以一次测量结果落在(9910.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误.

故选：D.

【命题意图】本题考查正态分布，考生数学建模与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易

【点评】

I、正态曲线与x轴之间的面积为1；

2、正态曲线关丁直线4=〃对称，从而在关丁人=〃对称的区间上概点相等；

3、几个常用公式：

①P（X<〃）=l-Pg7）：

②P（X〈4-〃）=P（A%+a）（即第（2）条）；

L

③若匕>0,则P（X<fi-b）=-------------.

4、无论是正态分布的正向或逆向的应用问题，关键都是先确定〃"，然后利用对称性，将所

求概率转化到三个特殊区间.

7.已知。=log52,^=log83,c=l,则下列判断正确的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】C

【分析】

对数函数的单调性可比较。、b与。的大小关系，由此可得出结论.

【详解】

a=logs2<log5>/5=—=log82&<logH3=b,即avcvh.

故选：C.

【命题意图】本题考查数式大小的比较，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中

点偏易

【点评】

1、比较两个指数累的大小时,尽量化为同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指

数函数，利用指数函数的单调性比较大小;当指数相同，底数不同时，常用作商法或利用函

数图象比较大小；

2、当底数、指数均不同时，可以利用中间值0,1比较,同时注意结合图像及

特殊值.对于三个（或三个以上）数的大小比较，则应先根据值的大小对其分类,常将其

分为三类：一类是小于0的数，一类是大于0小于1的数，一类是大于1的数.

3、比较对数式大小的类型及相应的方法：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调

性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论.②若底数不同，真数相

同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较.③若底数与真数都不同，则常借助1,0

等中间量进行比较.

8.已知函数/⑴的定义域为R,/（x+2）为偶函数，〃2x+l）为奇函数，则（）

A./f-^=0B./（-1）=0C./（2）=0D./（4）=0

【答案】B

【分析】

推导出函数/(“是以4为周期的周期函数，由已知条件得出/⑴=0,结合已知条件可

得出结论.

【详解】

因为函数/(X+2)为偶函数，则/(2+x)=/(2-x),可得〃x+3)=/(l-X),

因为函数〃2x+l)为奇函数，则”l-2x)=-/(2x+l),所以，/(1-力=一/(工+1),

所以，/(x+3)=—/(x+l)=/(x—l),BP/(x)=/(x+4),

故函数/(力是以4为周期的周期函数，

因为函数F(x)=/(2x+l)为奇函数，则尸(0)=/(1)=0,

故/(-1)二一/(1)=0,其它三个选项未知.

故选：B.

【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.难度：中等

【点评】

1、抽象函数的奇偶性

2、抽象函数对称性

3、抽象函数周期性

二、多选题

9.下列统计量中，能度量样本小电,…,x”的离散程度的是()

A.样本内,修，…，七的标准差B.样本为,电，…，X”的中位数

C.样本不/2,…，毛的极差D.样本七户2,…，土的平均数

【答案】AC

【分析】

考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确

选项.

【详解】

由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度：

由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；

由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；

由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；

故选：AC.

【命题意图】本题考查样本的数字特征，考查数学抽象的核心素养.难度：容易

【点评】

1、求解本题的关键是利用标准差、中位数、平均数、极差的概念逐个进行判断.

2、.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离

散程度越大；标准差、方差越小,数据的离散程度越小.因为方差与原始数据的单位不

同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差都是测昼样本数据离散程度

的工具，但在解决实际问题时,一般多采用标准差.

3、.有关平均数、方差的一些结论

2

若数据xi,x2,...,xn的平均数为总方差为s.

22

则axi,ax2,...,axn的平均数为ax,方差为as.

数据mxi+a,mx2+a,...,mxn+a的平均数为mx+a,方差为m2s2.

10.如图，在正方体中，。为底面的中心，夕为所在棱的中点，M,N为正方体的顶点.则

满足MN_LO?的是（）

【答案】BC

【分析】

根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断

AD的正误.

【详解】

设正方体的棱长为2，

对于A,如图（1）所示，连接AC,则MV//AC,

故NPOC（或其补角）为异面直线所成的角，

I

在直角三角形OPC,0C=42CP=\,故tan/POC=V2

故尸不成立，故A错误.

对于B,如图（2）所示，取NT的中点为Q,连接PQ,0Q,则OQ_LN7\PQ工MN,

由正方体SBCM-NAO7可得SN±平面ANQ7,而OQu平面ANDT,

故SNJ_OQ,而SNC\MN=N,故OQ_L平面SN7M,

又MVu平面SNTM,OQA.MN,而。。022=。，

所以MNJ■平面OPQ,而尸Ou平面。PQ,故MN1OP,故B正确.

对于C,如图（3）,连接60,则BD//MN,由B的判断可得OP_LB£>,

故OP工MN,故C正确.

对于D,如图(4),取4。的中点Q,A8的中点K,连接ACPQQQ,PK,OK,

则AC//MN,

因为m=PC,故尸Q//AC,故PQHMN,

所以NQPO或其补角为异面直线PO,MN所成的角，

图(4)

因为正方体的棱长为2,故尸Q=；AC=Ji,OQ=^AO2+A^=7172=^,

22222

PO=y]PK+OK=>/4+T=75»QO<PQ+OP,故NQP°不是直角，

故PO,MN不垂直,故D错误.

故选：BC.

【命题意图】本题考查线线垂直的判断，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中

等偏易.

【点评】

判断线线垂直

1、一是利用平面几何知识判断

2、二是利用线面垂直的性质定理来判断.

11.已知直线/⑷+力--=0与圆C：f+y2=,2,点A(a,b),则下列说法正确的是

()

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相

离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点A在直线/上，则直线/与圆C

相切

【答案】ABD

【分析】

转化点与圆、点与直线的位置关系为"+62,产的大小关系，结合点到直线的距禽及直

线与圆的位置关系即可得解.

【详解】

圆心C(0,0)到直线/的距离d

若点A(a,b)在圆C上,则/+/=/,所以d=

则直线/与圆。相切，故A正确;

若点A(a,b)在圆C内，则/+从＜/，所以"=

则直线/与圆C相离，故B正确;

若点4(。⑼在圆C夕卜,则所以d=

则直线/与圆C相交，故c错误;

若点A(a㈤在直线，上，则/+/一/=0即a2+b2=r2,

所以d=/：，二卜|,直线/与圆C相切，故D正确.

yla2+b2

故选：ABD.

【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，考查逻辑推理与直观想象的核心素养.难度:

中等.

【点评】

1、判断直线与圆的位置关系，常通过圆心到直线距离与半径大小进行判断

2、在处理直线与曲线的位置关系时,一般用二者联立所得方程组的解的情况进行判断(即

代数方法）

12.设正整数〃=%・2°+q・2+…+%・21+%2”,其中qe{0」},记

@（〃）=/+4+•,•+%.则（）

A.ty（2/i）=（y（n）B.0（2〃+3）=口（九）一1

C.刃（8〃+5）=刃（4〃+3）D,⑷（2'-1）=〃

【答案】ACD

【分析】

利用。（〃）的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.

【详解】

12<+,

对于A选项，+…+《，2n=a0•2+«1-2+•••+ak_}•2*+-2,

所以，/（2〃）=%+4+~+4=矶〃），A选项正确；

对于B选项，取〃=2,2«+3=7=1-20+1-2,+1-22,.一⑺=3,

而2=0・2。+1々，则研2）=1,即矶7）工©（2）+1,B选项错误；

对于C选项，

3430234A+3

8/1+5=i70-24-£i1-2+-..+^-2^+5=l-2+l-2+^-2+6i1-2+.-+^-2,

所以，3（8〃+5）=2+/+q+•••+&,

23+2,232

4n+3=a0-2+a1-2+...+ar2*+3=l-2°+l-2+«0-2+aI-2+..+ar2**,

所以，°（4〃+3）=2+/+4+…+&,因此，0（8〃+5）=0（4〃+3）,C选项正确；

对于D选项,2”-l=2°+2i+…+2f故。（2"-1）=〃，D选项正确.

故选：ACD.

【命题意图】本题考查数的转化及等比数列，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度:

难

【点评】

三、填空题

13.已知双曲线、-%=l（a>0,力>0）的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为

【答案】y=±Gx

【分析】

由双曲线离心率公式可得4

=3,再由渐近线方程即可得解.

【详解】

因为双曲线1（〃＞0/〉0）的离心率为2,所以e2,所以

"b2

1=3,则该双曲线的渐近线方程为"土=

a'a

故答案为：y=±y/3x.

【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，考查数学运算的核心素养.难度：容易

【点评】

1、双曲线的定义

2、几何性质

3、与其他知识交汇考查

4、双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率

14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）：.

①，（七）；②当方€（。，+°°）时，/'（外＞（）；③/'3）是奇函数.

【答案】/（X）=f（答案不唯一，/（"）=/（〃£"）均满足）

【分析】

根据基函数的性质可得所求的/（X）.

【详解】

取/（x）=a则/（不M2）=（内"2），=%：£=/（%）/（七），满足①，

广（力=4/，x＞。时有ra）＞o,满足②，

r"）=4d的定义域为R,

又，（r）=Y?二—7（力，故广（力是奇函数，满足③.

故答案为：/（x）=f（答案不唯一,f（x）=a（〃wM）均满足）

【命题意图】本题考查暴函数的运算法则及奇偶性、单调性.难度：容易.

【点评】

本题答案是开放的,给不同水平的考生提供充分发挥数学能力的空间，在考查思维的灵活

性方面起到了很好的作用.

15.已知向量〃+B+c=6,眄邛卜14=2,ab+bc+ca=

【答案】

【分析】

由已知可得（3+5+02=0,展开化简后可得结果.

【详解】

由已知可得+5+=a+B~+c~+2(a・B+B・c+c・a)=9+2(a・B+B・e+c・a)=0,

————9

因止匕，ab+bc+ca=—

2

故答案为：

（命题意图】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度:

中等偏易

【点评】

1、平面向量的线性运算

2、平面向量的数量积

3、常用平面几何、不等式等知识交汇考查.

16.已知函数/（幻=卜一1|,王<0,工2>°，函数，幻的图象在点A（xja））和点

8卜2，/（%））的两条切线互相垂直，且分别交丁轴于M,N两点，则儒^取值范围是

【答案】（0,1）

【分析】

结合导数的几何意义可得为+占=0,结合直线方程及两点间距离公式可得

|AM|=71+e2v'-|x,|,网=，"上归,化简即可得解.

【详解】

由题意，/（x）=HT=［：丁::,则/'（“）=［一:

e-l,x>0［e,x>0

x

所以点A（R,l-e%）和点B（孙e原-1）,kAM=-e\kBN=1,

所以eXi=-1,用+x,=0,

所以AA7:y-1+8=――(x—x,),M(0,—%+1),

所以|AAf|=Jx；+(eUj2=\!\+e2x'.,|，

同理|8N|=J1+N.同,

所以需号=得=底…(。。

故答案为：(0,1)

【命题意图】本题考查导数几何意义的应用，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度:

中等偏难.

【点评】

1、求曲线在某点处的切线方程

2、确定曲线的条数

3、求公切线

4、根据曲线满足条件求参数范围.

四、解答题

17.记S”是公差不为0的等差数列｛%｝的前〃项和，若。3=S5M24=S4.

(1)求数列｛为｝的通项公式凡；

(2)求使成立的〃的最小值.

【答案】(1)勺=2〃-6；(2)7.

【分析】

(I)由题意首先求得出的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；

(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【详解】

⑴由等差数列的性质可得：&=56，则：6=5。3，二。3二0，

设等差数列的公差为d，从而有：4%=3-1)3+4)=-丸

S4=a｝+a2+ay+a4=(<a?i—2d)+(%—+(生—d)=—2d,

从而：-d?=-2d,由于公差不为零，故：d=2,

数列的通项公式为：4=4+("-3)d=2〃-6.

(2)由数列的通项公式可得：q=2—6=-4,贝I］：s“=〃x(—4)+粤RX2=1_5〃，

则不等式句>见即:n2-5n>2n-6,整理可得:(n-l)(n-6)>0,

解得：〃<1或〃>6,又〃为正整数，故〃的最小值为7.

【命题意图】本题考查等差数列的通项与求和，考查数学运算与逻辑推理的核心素养，试

题难度：中等偏易.

【点评】

1、数列的通项与求和

2、等差数列运算问题的一般求法是设出首项0和公差d,然后由通项公式或前〃项和公

式转化为方程(组)求解，用方程的思想解决问题.

18.在AABC中，角A、B、C所对的边长分别为。、b、c,b=a+l,e=a+2..

(1)若2sinC=3sinA,求AABC的面积;

(2)是否存在正整数〃，使得AABC为钝角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，

说明理由.

【答案】(1)巫；⑵存在，且。=2.

4

【分析】

(1)由正弦定理可得出勿=%,结合已知条件求出。的值，进一步可求得力、c的值,

利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求

得结果；

(2)分析可知，角C为钝角，由cosC<0结合三角形三边关系可求得整数”的值.

【详解】

(1)因为2sinC=3sin4,贝lj2r=2(〃+2)=3〃，则〃=4,故A>=5,c=6,

cosC+b—£=1，所以，C为锐角，则sinC=，1-cos?C=,

lab88

因此，SA=—6t/?sinC=—x4x5x：

2284

(2)显然。>h>a,若AA3c为钝角三角形，则C为钝角，

212

由余弦定理可得8SC=FCI~+(6/4-1)—(。+2)_—2a-3

2a(a+l)

解得T<a<3,则0<a<3,

由三角形三边关系可得a+a+l>a+2,可得。>1,•.•aeZ,故a=2.

【命题意图】本题考查三角形面积公式、正弦定理及余弦定理的应用，考查数学运算与

逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.

【点评】

1、三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆与内切圆半径和面积等)

提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据

2、主要方法有：化角法，化边法,面积法，运用初等几何法

3、注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类与整合思想.

19.在四棱锥Q-A8C。中，底面48CZ)是正方形，若AO=2,QO=Q4=6,QC=3.

(1)证明：平面平面旗CQ；

(2)求二面角8-。。-A的平面角的余弦值.

2

【答案】(1)证明见解析；(2)

【分析】

(1)取AO的中点为。，连接。可证平面A8CO,从而得到面

ABCD.

(2)在平面48CO内，过。作。丁〃8,交8C于T,则07_LA。，建如图所示的空间

坐标系，求出平面QA。、平面BQ。的法向量后可求二面角的余弦值.

【详解】

Q

(1)取AO的中点为。，连接。0,8.

因为。4=Q。，OA=OD,则。O，A£),

而4。=20=石，故。0=5/^=2.

在正方形ABC。中，因为AD=2,故00=1,故C0=石,

因为QC=3,故。。2=。。2+0。2故AQOC为宜角三角形月QO1OC,

因为OCCAD=O,故Q。，平面A8C£),

因为QOu平面QAD,故平面QAD_L平面ABCD.

(2)在平面ABCQ内，过。作077/8,交BC于T,则。T_LAD,

结合(1)中的Q。，平面ABCD,故可建如图所示的空间坐标系.

则及(0,1,0),Q(0,0,2),8(2,-1,0),故苑=(一2,1,2),砺二(一2,2,0).

设平面QB。的法向量G=(x,y,z),

n-BQ=OIin-2x+y+2z=01

则_即-2/2尸0'取a］，则尸1*=5

n-BD=0

故)„).

而平面勿。的法向量为前=(1,0,0),故8sGW=3j卷.

2

2

二面角8-QO-A的平面角为锐角，故其余弦值为

【命题意图】本题考查线面位置关系的证明及二面角的计算，考查直观想象及逻辑推理

的核心素养

【点评】

1.证明线面位置关系应注意的问题

⑴线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交

者使用平行、垂直的判定定埋和性质定埋；

⑵线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利压平面几何中的结论,

如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中

线等；

（3）证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.

2.利用向量法计算二面角大小的常用方法

⑴找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的

法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

⑵找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起

点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

20.已知椭圆。的方程为，+1=1（〃＞匕＞0）,右焦点为尸（夜,0）,且离心率为在.

a2b23

（1）求椭圆。的方程；

（2）设“，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线工2+、2=从（1＞0）相切.证明：M,

N,F三点共线的充要条件是|MN|=V5.

2

【答案】（1）y+/=l；（2）证明见解析.

【分析】

（1）由离心率公式可得a=6,进而可得从，即可得解；

（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证

|MN|=6；

充分性：设直线=（奶＜0）,由直线与圆相切得从=公+］,联立直线与椭

圆方程结合弦长公式可得.得^=石，进而可得4=±1,即可得解.

【详解】

（1）由题意，椭圆半焦距c=y5且e=£=直，所以〃=6，

a3

2

又从=/一/=1,所以椭圆方程为三+/=］；

3

（2）由（1）得，曲线为f+尸=1（］＞0）,

当直线的斜率不存在时，直线MN:x=l,不合题意；

当直线MN的斜率存在时，设M（百,），J,N（W，M），

必要性：

若M,Mf三点共线，可设直线〃N:y=&（x—应）即心一），一扬:=0,

由直线MN与曲线x2+y2=[*>o）相切可得J^L=l，解得&=±1,

VF7T

"土("-&)班3

联立,f可得4丁-6V5x+3=0，所以可+w=，芭F=一，

一+y2=12'4

3

2

所以|MN|=Vi+TA/(xl+x2)-4x1x2=73,

所以必要性成立；

充分性：设直线"N：y=H+b,（妙〈0）即奴一丁+。=0,

由直线MV与曲线/+产=]口〉。）相切可得普==],所以从=二+1,

a+i

y=kx+b

联立32可得（1+3F）Y+6Mx+劝2-3=0,

~3+y=

2

所以为+%=-3^，%52=3b-3

1।DAC\-3k2

所以|MN|=^/i7F-，(内+再)2-4内8=凡不小二

V\1If1।

化简得3（42-1）=0,所以女=±1,

k=\j^=-l

所以h=-y/2或=&,所以直线MN:y=x-VI或y=-x+点

所以直线MN过点尸（虚,0）,M：N,广三点共线，充分性成立；

所以M,N,卜二点共线的充要条件是|MN|=6.

【命题立意】本题考查椭圆的方程及直线与圆锥曲线的位置关系,考查数学运算与逻辑

推理的核心素养

【点评】

解析几何解答题

1、一般考查曲线的方程

2、考查弦长、三角形面积、定点、定值及最值问题.

3、引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参

数何时没有关系，找到定点.

4、特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.

5、韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.

21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第。代，经

过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代....该微生物每代繁殖的个数是

相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，

P(X=i)=〃j(i=0,l,2,3).

(1)已知PO=04P1=0.3，P2=02〃3=01,求E(X)；

(2)设〃表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，〃是关于x的方程：

%+巧％+°2/+2313=1的一个最小正实根，求证：当七(X)W1时，p=l,当E(X)>1

时，P<h

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

【答案】(1)1；(2)见解析；［3)见解析.

【分析】

(1)利用公式计算可得E(X).

(2)利用导数讨论函数的单调性，结合/(1)=0及极值点的范围可得f(x)的最小正零

点.

(3)利用期望的意义及根的范10可得相应的理解说明.

【详解】

(1)E(X)=0x0.4+1x0.34-2x0.2+3x0.1=1,

(2)®/(x)=+p2:34-(^-l)x+p0,

因为P3+P2+P1+P0T，故/(力=「3/+027一(02+外+23)”+为，

若石(X)01,则由+2P2+3「301，故P2+2P3WP0.

2

/'(x)=3P3X+2p2x-(P2+〃o+P3)，

/

因为r(0)=-(P2+〃o+P3)v0/(l)=p2+2p3-po<0,

故r(x)有两个不同零点用,占，且王〈0<14々，

且4«-00,大)。(孙+00)时,/,(x)>0；时，yr(x)<0；

故f(x)在(f5)，(W，+8)上为增函数，在(演,与)上为减函数，

若w=l,因为f(X)在(W，+°°)为增函数且"1)=0,

而当xw(0,占)时，因为/(X)在(.式2)上为减函数，故/(%)>/㈤=/。)=0,

故1为Po+P[X+P，+心/=X的•个最小正实根，

若々>1，因为/⑴=0且在(0,.q)上为减函数，故1为PO+PIX+PN+PJX=X的一个

最小正实根，

综上，若E(X)M1,则p=L

若E(X)>1,则〃1+2凸+3〃3>1，故〃2+2〃3>%.

此时/'(0)=-(〃2+%+〃3)V°，'⑴=〃2+2〃3一〃0