高考数学第二轮专题素养篇-创新情境与数学能力

素养篇创新情境与数学能力素养一

数学文化

将数学文化融入高考试题,改变了以往单纯的知识性考查,体现了数学文化本身对于数学教育与数学学习的重要意义.从备考的角度,要广泛阅读一些有关数学文化的书籍,开阔视野,加强合作探究,经历数学家发明、发现的过程,使数学素养得到有效提升.1.[2020·全国新高考Ⅰ卷]如图Y-1,日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面,在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为 (

)A.20° B.40°C.50° D.90°图Y-1B[解析]∵晷面与赤道所在平面平行,∴晷针与点A处的水平面所成角与点A处的纬度大小相等,为40°.

A

A图Y-2

C

5.中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图Y-3,是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如:3可表示为“”,26可表示为“”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用1~9这9个数字组成的两位数的个数为(

)A.13 B.14C.15 D.16D图Y-3[解析]根据题意知,6根算筹可以表示的数字组合为(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,3),(3,7),(7,7).数字组合(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,7),每组可以组成2个两位数,则可以组成2×7=14(个)两位数;数字组合(3,3),(7,7),每组可以组成1个两位数,则可以组成2个两位数.故一共可以组成14+2=16(个)两位数.故选D.6.[2019·全国卷Ⅱ]中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图Y-4①).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图②是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有

个面,其棱长为

.26①

②图Y-4

素养二

生活实际

数学知识源于生活而高于生活,最终服务于生活.引导学生把数学知识运用到现实中去,自觉地应用数学知识和方法去观察、分析、解决生活中的数学问题,可以全面提高学生的数学素质.1.[2020·全国新高考Ⅰ卷]某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 (

)A.62% B.56%C.46% D.42%C[解析]设该中学的学生总数为m,喜欢足球的学生组成集合A,喜欢游泳的学生组成集合B,则card(A)=60%m,card(B)=82%m,card(A∪B)=96%m,所以card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B)=46%m.故选C.2.将甲、乙等5名交警分配到3个不同路口疏导交通,每个路口至少分配1名交警,其中一个路口分配3名交警,则甲、乙两人在同一路口的分配方案共有 (

)A.18种 B.24种

C.36种 D.72种A

3.李明自主创业种植有机蔬菜,并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务,甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次.已知5月1日李明分别去了这四家超市配送,那么整个5月他不用去配送的天数是(

)A.12 B.13C.14D.15B[解析]将5月剩余的30天依次编号为1,2,3,…,30,则李明去甲超市配送的天数编号为3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,共10天;李明去乙超市配送但不去甲超市配送的天数编号为4,8,16,20,28,共5天;李明去丙超市配送但不去甲、乙超市配送的天数编号不存在,共0天;李明去丁超市配送但不去甲、乙、丙超市配送的天数编号为7,14,共2天.所以李明需要配送的天数为10+5+0+2=17,所以整个5月李明不用去配送的天数是30-17=13.故选B.4.某化工厂在定期检修设备时发现生产管道中共有5处阀门(A-E)发生有害气体泄漏,每处阀门在修复完成前每小时内有害气体的泄露量大体相等,约为0.01立方米,阀门的修复工作可在不停产的情况下实施.由于各阀门所处的位置不同,因此修复所需的时间不同,且修复时必须遵从一定的顺序关系,具体情况如下表:在只有一个阀门修复设备的情况下,合理安排修复顺序,泄露的有害气体总量最小约为(

)A.1.14立方米 B.1.07立方米C.1.04立方米 D.0.39立方米C泄露阀门ABCDE修复所需时间(小时)118596需先修复好的阀门-C--B[解析]由表知,根据需先修复好的阀门的要求,可确定A,D的修复顺序无要求,另外三个阀门的修复顺序必须是C,B,E,要使泄露的有害气体总量最小,修复时间长的应尽量靠后,故修复顺序为C,B,E,D,A,则C,B,E,D,A各阀门泄露有害气体的时间分别为5,13,19,28,39小时,泄露有害气体的时间共5+13+19+28+39=104(小时),故泄露的有害气体总量最小约为104×0.01=1.04(立方米),故选C.泄露阀门ABCDE修复所需时间(小时)118596需先修复好的阀门-C--B5.为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求,某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2400m2的新型生鲜销售市场.市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间,每间蔬菜水果类店面的建造面积为28m2,月租费为x万元;每间肉食水产类店面的建造面积为20m2,月租费为0.8万元.全部店面的建造面积不低于总面积的80%,又不能超过总面积的85%,则两类店面间数的建造方案有

种;市场建成后所有店面全部租出,为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%,则x的最大值为

.

161

图Y-5

图Y-5素养三

逻辑推理

逻辑推理不但是高考考查的重点,在国家公务员考试和事业单位行测考试中,逻辑推理题也是必考的.解答逻辑推理问题,要从题设条件出发,利用它们之间的联系,根据相关逻辑知识分析推理,找出矛盾或通过计算排除不可能的情况,从而得出正确的结论.常用方法有:直接推理法、枚举筛选法和表格辅助法.

1.[2020·全国卷Ⅱ]在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作,已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者(

)A.10名 B.18名 C.24名 D.32名B[解析]根据题意,第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,故第二天的新订单不超过1600份的概率为0.95.因为超市每天能完成1200份订单的配货,且积压了500份订单未配货,所以第二天需要志愿者配货的订单不超过1600+500-1200=900(份)的概率为0.95,所以为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,至少需要志愿者900÷50=18(名),故选B.2.[2020·全国卷Ⅱ]如图Y-6,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,…,a12,设1≤i<j<k≤12.若k-j=3且j-i=4,则称ai,aj,ak为原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,则称ai,aj,ak为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 (

)A.5 B.8 C.10 D.15C图Y-6[解析]根据题意,用这12个键可以构成5个原位大三和弦,如下:用这12个键可以构成5个原位小三和弦,如下:ijk158269371048115912ijk148259361047115812故用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10,故选C.图Y-63.有三个筐,一个装着柑子,一个装着苹果,一个装着柑子和苹果,包装密封好,然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签,分别贴到上述三个筐上,由于马虎,结果全贴错了,则 (

)A.从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果,就能纠正所有的标签B.从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果,就能纠正所有的标签C.从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果,就能纠正所有的标签D.从其中一个筐里拿出一个水果,不可能纠正所有的标签C[解析]从贴着“苹果”标签的筐中拿出一个水果,如果拿的是柑子,无法判断这筐装的全是柑子,还是有苹果和柑子;同理从贴着“柑子”标签的筐中拿出一个水果也无法判断,因此应从贴着“混装”标签的筐中拿出一个水果.分两种情况:①如果拿出的是柑子,那么说明这筐全是柑子,则贴有“柑子”标签的那筐全是苹果,贴有“苹果”标签的那筐装有苹果和柑子;②如果拿出的是苹果,那么说明这筐全是苹果,则贴有“苹果”标签的那筐全是柑子,贴有“柑子”标签的那筐装有苹果和柑子.故选C.

A图Y-7

图Y-75.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔,甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐.他们还将进行四场比赛.规定:每场比赛前三名的得分依次为a,b,c(a>b>c,且a,b,c∈N*);选手总分为各场得分之和.四场比赛后,已知甲最后的得分为16分,乙和丙最后的得分都为8分,且乙只有一场比赛获得了第一名,则下列说法正确的是 (

)A.每场比赛的第一名得分a为4B.甲至少有一场比赛获得第二名C.乙在四场比赛中没有获得过第二名D.丙至少有一场比赛获得第三名C[解析]四场比赛的总分数为16+8×2=32,则a+b+c=8,又a>b>c,a,b,c∈N*,所以a=5,b=2,c=1或a=4,b=3,c=1.因为甲最后的得分为16分,且乙有一场比赛获得了第一名,所以a>4,所以a=5,b=2,c=1.易知甲得到三场比赛的第一名,一场比赛的第三名;乙得到一场比赛的第一名,三场比赛的第三名;丙得到四场比赛的第二名.故选C.6.天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥被称为“十二地支”.干支纪年法中,天干地支对应的规律如表:使用干支纪年法,2049年是己巳年,则2059年是

年;使用干支纪年法可以得到

种不同的干支纪年.己卯天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…60[解析]2049年是己巳年,则2059年是己卯年;天干地支共有60种组合,即使用干支纪年法可以得到60种不同的干支纪年.素养四

数学建模

数学建模是运用数学的语言和方法,通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段.学生的数学应用意识、数学式子变形与运算求解能力,都可以通过数学建模素养得以展现.1.[2020·全国卷Ⅱ]北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石) (

)A.3699块 B.3474块C.3402块 D.3339块C图Y-8

2.如图Y-9所示,地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆,根据开普勒行星运动第二定律,可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积,某同学结合物理和地理知识得到以下结论:①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时,地球分别位于图中点A和点B处;②已知地球公转轨道的长半轴长约为149600000千米,短半轴长约为149580000千米,则该椭圆的离心率约为1,因此该椭圆近似于圆形;③已知我国每逢春分(3月21日前后)和秋分(9月23日前后),地球会分别运行至图中C点和D点,则由此可知我国每年的夏半年(春分至秋分)比冬半年(当年秋分至次年春分)要少几天.以上结论正确的是 (

)A.① B.①②

C.②③ D.①③A图Y-9

图Y-93.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=er

t描述累计感染病例