空间向量与立体几何李立君

空间向量与立体几何

研究

从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.本章知识结构空间向量的定义及其运算空间向量的运算的几何意义空间向量的运算坐标表示用空间向量的表示点、直线、平面等元素建立空间图形与空间向量的联系利用空间向量的运算解决立体几何中的问题abca+b+cabca+b+ca+bb+c6.平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体。ABCDA1B1C1D1A1D1C1B1BACD记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。aABCD平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律小结加法交换律数乘分配律加法结合律类比思想数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零归纳整理归纳整理8.如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。9.平行于同一平面的向量，叫做共面向量10.平面的法向量：如果表示向量

的有向线段所在直线垂直于平面

，则称这个向量垂直于平面,记作

⊥，如果

⊥，那么向量

叫做平面的法向量.(二)空间向量的运算1.加法:三角形法则或平行四边形法则2.减法:三角形法则加法交换律加法结合律注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.三个向量或三个以上向量的和遵循空间多边形法则空间向量的数乘运算满足分配律及结合律4、两个向量的数量积注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.空间两个向量的数量积的性质注：空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相同的性质.1.共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使

2、平面向量基本定理

如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟一的一对实数a1，a2，使a＝a1

e1

＋a2

e2(三)空间向量的理论OABPa若P为A,B中点,则向量参数表示式共线向量定理的推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式其中向量叫做直线的方向向量.若则A、B、P三点共线。共面向量定理的推论:4.空间向量基本定理若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这个基底为单位正交基底(四)空间向量运算的坐标表示

(1)若p＝xe1＋ye2＋ze3，则p＝(x，y，z).(2)设{i，j，k}为单位正交基底，向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)

a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)λa＝(λx1，λy1，λz1)

a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2

x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)a//ba⊥bx1x2＋y1y2＋z1z2＝0

|a|＝(五)、空间位置关系的向量法：(六)、空间角的向量方法：(七)空间“距离”问题1.空间两点之间的距离

根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式或(其中)，可将两点距离问题转化为求向量模长问题2、E为平面α外一点,F为α内任意一点,为平面α的法向量,则点E到平面的距离为:3、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b上的点,是a,b公垂线的方向向量,则a,b间距离为几何法向量法几何法坐标法为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？一、直线的方向向量AB直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量。由于垂直于同一平面的直线是互相平行的,所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。二、平面的法向量平面的法向量：如果表示向量

的有向线段所在直线垂直于平面

，则称这个向量垂直于平面,记作

⊥，如果

⊥，那么向量

叫做平面的法向量.Al

给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有由两个三元一次方程组成的方程组的解是不惟一的，为方便起见，取z=1较合理。其实平面的法向量不是惟一的。平面的法向量不惟一，合理取值即可。例3.在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为，为平面内任意一点，求满足的关系式。解：由题意可得

因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.那么如何用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小呢？三、平行关系：例4如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且求证：ABCDEFxyzMN简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以为正交基底，建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c，则可得各点坐标，从而有又平面CDE的一个法向量是因为MN不在平面CDE内所以MN//平面CDE四、垂直关系：A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：D1F例5.在正方体中，E、F分别是BB1,，平面ADE

证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：所以巩固性训练11.设分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.平行垂直平行巩固性训练21.设分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.垂直平行相交1、设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若，则k=

；若则k=

。2、已知，且的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m=

.3、若的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为(1,1/2,2),且，则m=

.巩固性训练31．如图，正方体中，

E为的中点，证明：//平面AEC练习:用空间向量来解决下列题目2、在正方体AC

中，E、F、G、P、

Q、R分别是所在棱AB、BC、BB

A

D

、D

C

、DD的中点，求证：⑴平面PQR∥平面EFG。

⑵BD

⊥平面EFGABCDA

B

C

D

FQEGRPl1l2l1l1l2l{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量。ojkixyz空间直角坐标系o-xyzA称(x,y,z)为向量OA在单位正交基底下的坐标记作：OA=(x,y,z)即：A(x,y,z)一、复习引入空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.空间直角坐标系:一、向量的直角坐标运算1.距离公式（1）向量的长度（模）公式二、距离与夹角（2）空间两点间的距离公式已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),2.两个向量夹角公式三、空间向量解决立体几何问题三步曲1）建立空间直角坐标系，用向量表示问题中的点、直线、面。2）通过向量运算，研究点、线、面的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题3）把向量运算结果“翻译”成相应的几何意义。【知识方法总结】（1）线线平行，线面平行（2）线线垂直，线面垂直，面面垂直；1、用向量可证明：2、用向量可计算：异面直线所成角线面所成角二面角点到面的距离例1、如图，两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，∠EBC＝900，M，N分别是BD，AE上的点，且AN＝DM。求证：MN∥面EBC。ADCEFxyzBMN注：1、用向量法证明线面平行的方法：2、用向量法证明面面平行的方法：练习：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，证明：PA∥平面EDB；DEABPCyxzF【例2】在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BD、DD1的中点，G在CD上且CG=CD/4（1）求证：EF⊥平面ACB1；（2）求EF与C1G所成角的余弦值.AADDBBCC1111EFG【典例剖析】

yxz注：1、线面垂直证明方法：2、面面垂直的证明方法。例3、(2009·宁夏海南理19)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的√2倍，P为侧棱SD上的点。（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。SABCDOP300存在2：1xzy例4、如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1分别是棱AD、AA1的中点.设F是棱AB的中点,1）证明：直线EE1//平面FCC1；2）证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.（09山东）xyzEABCFE1A1B1C1D1DM§1空间向量及其线性运算一、向量概念向量:

既有大小,又有方向的量,称为向量.(或矢量)2.向量的几何表示法:

用一条有方向的线段来表示向量.以线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.AB向量AB的大小叫做向量的模.记为模为1的向量称为单位向量.模为0的向量称为零向量，它的方向可以看作是任意的.特别3.自由向量自由向量:只有大小、方向,而无特定起点的向量.具有在空间中可以任意平移的性质.大小相等且方向相同,二、向量的加减法1.定义1.1.向量加法(1)平行四边形法则设有(若起点不重合,可平移至重合).作以为邻边的平行四边形,对角线向量,称为的和,记作(2)三角形法则将之一平行移动,使 的起点与的终点重合,则由 的起点到的终点所引的向量为2.向量加法的运算规律.(1)交换律:(2)结合律:例如:3.向量减法.(1)负向量:与模相同而方向相反的向量,称为的负向量.记作(2)向量减法.规定:（a）

平行四边形法则.将之一平移,使起点重合,作以为邻边的平行四边形,对角线向量,为（b）三角形法则.将之一平移,使起点重合,由的终点向的终点作一向量,即为三、数与向量的乘法1.定义1.2:实数

与向量的为一个向量.其中:当

>0时,当

<0时,当

=0时,2.数与向量的乘积的运算规律:(1)结合律:(2)分配律:(

<0)(

>0)结论:

设表示与非零向量同向的单位向量.则或定理1.1:两个非零向量平行存在唯一实数

，使得例1.1:

在平行四边形ABCD中,设AB=,AD=试用表示向量MA,MB,MC,和MD.其中,M是平行四边形对角线的交点.解:=AC=2MC有MC=又=BD=2MD有MD=MB=

MD

MA=

MC

DABCM四.向量在轴上的投影1.点在轴上投影设有空间一点A及轴

u,过

A作

u轴的垂直平面

π,平面

π

与

u轴的交点A'

叫做点

A在轴

u上的投影.A'Auπ2.向量在轴上的投影.设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A

和B

.定义1.3:B'BA'Au向量AB在轴u上的投影向量或射影向量.称有向线段A

B

为如果向量e为与轴u的正方向的单位向量，则称

x

为向量AB

在轴u上的投影，记作则向量AB的投影向量A'B'有：B'BA'Aue3.两向量的夹角设有非零向量(起点同).规定：正向间位于0到之间的那个夹角为的夹角,记为或(1)若同向，则(2)若反向，则(3)若不平行，则4.向量的投影性质.定理1.2.(投影定理)设向量AB与轴u的夹角为

则

ProjuAB

=||AB||·cos

B

BA

Au

B1

定理1.3

两个向量的和在轴u上的投影等于两上向量在该轴上的投影的和。推论:B

BA

AuCC

即2.坐标面.由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为坐标面,分别叫xy面.yz面、zx面,它们将空间分成八个卦限.zIVVIVVII0xyVIIIIIIIII1.点在空间直角坐标系中的坐标表示.RQP<M>(x,y,z)记:点M为M(x,y,z)OxyzMxyz二、空间向量的表示(1)若点M在yz面上,则x=0;

在zx面上,则y=0;

在xy面上,则z=0.(2)若点M在

x轴上,则y=z=0在y轴上,则x=z=0在z轴上,则x=y=0特别:2.空间向量的坐标表示(1).起点在原点的向量OM设点M(x,y,z)以i,j,k分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.

OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC=xi+yj

+

zkx,y,z,分别是OM在三坐标轴上的投影,称为OM的坐标.zijkMoxyCABzyxN简记为OM

=(x,y,z)称为向量OM的坐标表示式.zijkMoxyCABzyxN由于：从而：(2.1)(2).起点不在原点O的任一向量a=M1M2设点M1

(x1,y1,z1),M2

(x2,y2,z2)a=M1M2=OM2

OM1=(x2i+

y2j+

z2k)

(x1i+y1j

+z1k)

=(x2

x1)

i+(y2

y1)

j+(z2

z1)

k即a=(x2

x1

,y2

y1,z2

z1)为向量a的坐标表示式记ax=x2

x1

,ay=y2

y1,

az=z2

z1分别为向量a在三个坐标轴上的投影,称为a的坐标.zxyM1M2aoa=M1M2=(x2

x1

,y2

y1,z2

z1)(2.2)两点间距离公式：(2.3)由此得(3).运算性质设a=(ax,ay,az),b=(bx

,by,bz),且

为常数

a

b=(ax

bx

,ay

by,az

bz

)

a

=(

ax,

ay,

az)证明:

a

+b=(axi

+

ayj+

az

k)+(bxi

+

byj+

bz

k)=(axi

+bxi

)+(ayj+byj)+(az

k+

bz

k)=(ax+bx)

i

+(ay+by)j+(az+

bz

)

k

a

+b=(ax+

bx

,ay+

by,az

+

bz

)(