2023届高考数学特训营-第2节-用样本的数字特征估计总体

第2节用样本的数字特征估计总体A级(基础应用练)1．(2022·山东菏泽模拟)数据1，2，3，4，5，6的60%分位数为()A．3 B．3.5C．3.6 D．4答案：D解析：由于6×60%＝3.6，所以数据1，2，3，4，5，6的60%分位数是第四个数，故选D.2．(2022·太原月考)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，方差为s2，则2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的平均数和方差分别为()A.eq\o(x,\s\up6(－))和s2 B．2eq\o(x,\s\up6(－))＋3和4s2C．2eq\o(x,\s\up6(－))＋3和s2 D．2eq\o(x,\s\up6(－))＋3和4s2＋12s＋9答案：B解析：法一：平均数为eq\f(1,n)(2x1＋3＋2x2＋3＋…＋2xn＋3)＝eq\f(1,n)[2(x1＋x2＋…＋xn)＋3n]＝2eq\o(x,\s\up6(－))＋3；方差为eq\f(1,n){[(2x1＋3)－(2eq\o(x,\s\up6(－))＋3)]2＋[(2x2＋3)－(2eq\o(x,\s\up6(－))＋3)]2＋…＋[(2xn＋3)－(2eq\o(x,\s\up6(－))＋3)]2}＝eq\f(1,n)[4(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋4(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋4(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝4s2.法二：原数据乘以2加上3得到一组新数据，则由平均数、方差的性质可知，得到的新数据的平均数和方差分别是2eq\o(x,\s\up6(－))＋3和4s2.3．(2021·榆林模拟)为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．根据2019年1月至2020年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下折线图．根据该折线图，下列结论正确的是()A．2019年各月的仓储指数最大值是在3月份B．2020年1月至7月的仓储指数的中位数为55C．2020年1月与4月的仓储指数的平均数为52D．2019年1月至4月的仓储指数相对于2020年1月至4月，波动性更大答案：D解析：2019年各月的仓储指数最大值是在11月份，所以A错误；由题图可知，2020年1月至7月的仓储指数的中位数约为53，所以B错误；2020年1月与4月的仓储指数的平均数为eq\f(51＋55,2)＝53，所以C错误；由题图可知，2019年1月至4月的仓储指数比2020年1月至4月的仓储指数波动更大，故选D.4．(2022·安徽模拟)已知样本甲：x1，x2，x3，…，xn与样本乙：y1，y2，y3，…，yn，满足yi＝2xeq\o\al(3,i)＋1(i＝1，2，…，n)，则下列叙述一定正确的是()A．样本乙的极差等于样本甲的极差B．样本乙的众数大于样本甲的众数C．若某个xi为样本甲的中位数，则yi是样本乙的中位数D．若某个xi为样本甲的平均数，则yi是样本乙的平均数答案：C解析：∵yi＝2xeq\o\al(3,i)＋1，∴yi关于xi单调递增，而甲样本极差为xn－x1，乙样本极差为yn－y1＝2(xeq\o\al(3,n)－xeq\o\al(3,1))＝2(xn－x1)(xeq\o\al(2,n)＋xnx1＋xeq\o\al(2,1))，两个数据大小关系不定，∴样本乙的极差不一定等于样本甲的极差，A错误；样本乙的众数不一定大于样本甲的众数，B错误；若xi为样本甲的平均数，yi不一定是样本乙的平均数，D错误；若xi为样本甲的中位数，则yi一定是样本乙的中位数，C正确．5．已知样本x1，x2，…，xn的平均数为x，样本y1，y2，…，ym的平均数为y(x≠y)，若样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均数z＝ax＋(1－a)y，其中0＜a＜eq\f(1,2)，则n，m(n，m∈N*)的大小关系为()A．n＝m B．n≥mC．n＜m D．n＞m答案：C解析：由题意得z＝eq\f(1,n＋m)(nx＋my)＝eq\f(n,n＋m)x＋(1－eq\f(n,n＋m))y，∴a＝eq\f(n,n＋m)，∵0＜a＜eq\f(1,2)，∴0＜eq\f(n,n＋m)＜eq\f(1,2)，又n，m∈N*，∴2n＜n＋m，∴n＜m.故选C.6．(多选题)(2022·海南一模)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：班级参加人数中位数方差平均数甲55149191135乙55151110135下列结论中，正确的是()A．甲、乙两班学生成绩的平均水平相同B．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)C．甲班的成绩波动情况比乙班的成绩波动大D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数答案：ABC解析：甲、乙两班成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均水平相同，∴A正确；seq\o\al(2,甲)＝191＞110＝seq\o\al(2,乙)，∴甲班成绩不如乙班稳定，即甲班成绩波动较大，∴C正确；甲、乙两班人数相同，但甲班成绩的中位数为149，乙班成绩的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数≥150个的人数要多于甲班，∴B正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，∴D错误．7．(多选题)(2022·潍坊模拟)某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次．统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2，3，4，4，则第五轮结束后，下列数字特征有可能发生的是()A．平均数为3，极差是3B．中位数是3，极差是3C．平均数为3，方差是0.8D．中位数是3，方差是0.56答案：BCD解析：2＋3＋4＋4＝13，①若平均数为3，则第五轮投中的个数为2，所以极差为4－2＝2，方差为eq\f(1,5)×[(2－3)2×2＋(3－3)2＋(4－3)2×2]＝0.8，即选项A错误，C正确；②若中位数为3，则第五轮投中的个数为0或1或2或3，当投中的个数为0时，极差为4，平均数为2.6，方差为eq\f(1,5)×[(0－2.6)2＋(2－2.6)2＋(3－2.6)2＋(4－2.6)2×2]＝2.24；当投中的个数为1时，极差为3，平均数为2.8，方差为eq\f(1,5)×[(1－2.8)2＋(2－2.8)2＋(3－2.8)2＋(4－2.8)2×2]＝1.36；当投中的个数为2时，极差为2，方差为0.8；当投中的个数为3时，极差为2，平均数为3.2，方差为eq\f(1,5)×[(2－3.2)2＋(3－3.2)2×2＋(4－3.2)2×2]＝0.56，即选项B和D均正确．故选B，C，D.8．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1，0，4，x，7，14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为________．答案：5eq\f(74,3)解析：∵－1，0，4，x，7，14的中位数为5，∴eq\f(4＋x,2)＝5，∴x＝6，∴这组数据的平均数是eq\f(－1＋0＋4＋6＋7＋14,6)＝5，这组数据的方差是eq\f(1,6)×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝eq\f(74,3).9．(2022·成都月考)学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注．学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计图表．若该组数的平均数、众数、中位数依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为________．答案：a＜b＝c解析：依题意，调查人数n＝eq\f(13,0.26)＝50(人)，并有次数0次1次2次3次4次人数7人13人17人10人3人∴共统计了50人，众数为2，中位数为2，平均数为eq\f(0×7＋13×1＋17×2＋10×3＋3×4,50)＝eq\f(89,50)＜2，∴a＜b＝c.10．(2022青岛模拟)已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年8月份调查得知该省二、三、四线所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.7万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市的房价的方差为________．答案：117.98解析：设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知20＝eq\f(1,1＋3＋6)[s2＋(2.4－1.2)2]＋eq\f(3,1＋3＋6)×[10＋(1.8－1.2)2]＋eq\f(6,1＋3＋6)×[8＋(0.7－1.2)2]，解得s2＝117.98，即二线城市的房价的方差为117.98.B级(综合创新练)11．(2022·泰安模拟)某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果，如图：(1)估计这批小龙虾重量的第10百分位数与第90百分位数；(2)该经销商将这批小龙虾分成三个等级，如表：等级三等品二等品一等品重量/克[5，25)[25，45)[45，55]试估计这批小龙虾划为几等品比较合理？解：(1)因为40×10%＝4，所以第10百分位数为第4项与第5项的平均数，在[5，15)范围内约为eq\f(5＋15,2)＝10.因为40×90%＝36，所以第90百分位数为第36项与第37项的平均数，在[35，55]范围内，约为eq\f(35＋55,2)＝45，所以估计这批小龙虾重量的第10百分位数为10，第90百分位数为45.(2)由(1)知，这批小龙虾重量集中在[10，45]范围内，所以划为二等品比较合理．12．(2022·潍坊市月考)某快递网点收取快递费用的标准：重量不超过1kg的包裹收费10元，重量超过1kg的包裹，除收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg(不足1kg，按1kg计算)需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示(同一组数据用该区间的中点值作代表)．(1)求这60天每天包裹数量的平均数和中位数．(2)该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润，剩余的作为其他费用．已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该网点每天的利润有多少元？解：(1)每天包裹数量的平均数为0.1×50＋0.1×150＋0.5×250＋0.2×350＋0.1×450＝260(件)，因为(0，200)的频率为0.2，[200，300)的频率为0.5，中位数为200＋eq\f(0.5－0.2,0.5)×100＝260(件)，所以该网点每天包裹的平均数和中位数都为260件．(2)由(1)可知平均每天的揽件数为260件，利润为260×5－3×100＝1000(元)，所以该网点平均每天的利润有1000元．13．(2022·吉林长春模拟)某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下：男：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，55，66，38，44，56，75，35，58，94，52；女：77，55，69，58，76，70，77，89，51，52，63，63，69，83，83，65，100，74.(1)分别计算和比较男、女生得分的平均数和方差；(2)分别计算男、女生得分的四分位数．解：男生的数据按从小到大的排序：35，38，44，46，46，52，54，55，56，57，58，58，63，66，70，73，75，85，90，94.女生的数据按从小到大的排序：51，52，55，58，63，63，65，69，69，70，74，76，77，77，83，83，89，100.(1)男生的平均得分为eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,20)×(35＋38＋44＋…＋94)≈61(分)，男生的方差是seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,20)×[(35－61)2＋(38－61)2＋…＋(94－61)2]＝256.2