湖南省长沙市2025届高三上学期新高考适应性考试数学试题(含解析)

第=page11页，共=sectionpages11页湖南省长沙市2025届高三上学期新高考适应性考试数学试题第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i是虚数单位，则复数i7的值是(

)A.1 B.−1 C.i D.−i2.若空间中三条不同直线a，b，c满足a⊥b，且b/​/c，则直线a与直线c必定(

)A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面3.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点(−14,12A.−14 B.12 C.−4.已知函数f(x)的图象如下图所示，则其导函数f′(x)的图象可能是(

)

A.

B.

C.

D.5.若f(x)=sinx+3cosx在区间[−θ,θ]A.33 B.32 C.6.在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60∘.若AD⊥BC于D，则ADA.17AB+67AC B.67.已知抛物线x2=2py(p>0)上两点A，B满足|AB|=12，若线段AB的中点M的纵坐标的最小值为4，则p=(

)A.2 B.4 C.5 D.68.已知函数f(x)=4x,x⩾a,−2log2x,0<x<a.若f(x)在A.[1,+∞) B.[12,+∞) C.(0,1]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量.相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量.现将这些观测数据进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，绘制出如图所示的频率分布直方图，则(

)

A.样本观测数据的极差不大于50

B.样本观测数据落在区间[65,75)上的频率为0.025

C.样本观测数据的平均数大于中位数

D.若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计80%的工人能完成任务10.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，满足S3，S9A.a2，a5，a8成等比数列 B.a2，a8，a5成等差数列

C.S2，S5，S811.已知函数f(x)的定义域为R，若存在常数T与H，且T>0，使得任意x∈R，恒有f(x+T)=f(x)+H，则称函数f(x)是广义周期函数.下列说法正确的有(

)A.一次函数f(x)=kx+b(k,b为常数)是广义周期函数

B.若f(x)是广义周期函数，则存在实数k，使得f(x)−kx是周期函数

C.若f(x)有两个不同的对称中心，则f(x)是广义周期函数

D.若f(x)与g(x)都是广义周期函数，则f(x)+g(x)也是广义周期函数第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知长为2的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程是

．13.如图所示，将一个圆心角为120∘的扇形纸板OAB剪掉扇形OCD，得到扇环ABDC，现将扇环ABDC围成一个圆台.若OA=2OC=6，则该圆台的体积为

．

14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且外接圆半径为R=5，则abca2+b2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约.该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约;若连续预约三天都没成功，则放弃预约.假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7，(1)求甲同学到第三天才预约成功的概率;(2)记X为甲同学预约门票的天数，求X的分布列和期望E(X)．16.(本小题15分)如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB=AD=2，∠A′AB=∠A′AD，且A′B⊥AC，设AC与BD的交于点O．(1)证明：A′O⊥平面ABCD;(2)若AA′=3，且∠BAD=60∘，求直线A′B与平面A′B′CD17.(本小题15分)已知函数f(x)=eaxln(1)若y=f(x)在点(1,0)处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为e2，求a的值(2)若x=x0是f(x)的极小值点，证明：f(18.(本小题17分)已知椭圆C:x2a2+y2(1)求椭圆C的方程;(2)直线l与椭圆C交于M，N两点，点P为△AMN的外心．(ⅰ)若△AMN为等边三角形，求点P的坐标;(ⅱ)若点P在直线x=−13上，求点A到直线l19.(本小题17分)已知无穷数列{an}满足an=qn(q≠0).对于集合T⊆N∗，定义(1)若q=2，ST=26(2)若q=2，集合A，B⊆N∗，且SA+(3)若0<q<12，集合A1，A2，⋯，An⊆N∗，对任意的i，j∈N∗，答案和解析1.D

【解析】解：i7=i4·2.C

【解析】解：根据直线平行的性质可知，

若a⊥b，b/​/c，则a垂直c，

a与c可能相交，也可能异面，只有C正确．

故选C．3.C

【解析】解：∵r=(−14)2+(12)4.B

【解析】解：由图象知，f(x)在R上单调递增，

根据导函数与原函数的关系，可知f′(x)≥0，排除AD;

f(x)的图象在x=0时趋于平缓，所以f′(0)=0，排除C．

故选：B．5.A

【解析】解：f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+π3)，

由−π2+2kπ⩽x+π3⩽6.B

【解析】解：设AD=λAB+μAC，

∵AB=2，AC=3，∠BAC=60∘，

∴AB⋅AC=3，

又∵AD⊥BC，BC=AC−AB，

∴AD⋅BC=0，

即(λAB+μAC)⋅(−AB+AC)=0，

∴−λ7.B

【解析】解：如图，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足为A′，B′，M′，

则2|MM′|=|AA′|+|BB′|=|AF|+|BF|≥|AB|，即yM+p2≥6，有yM≥6−p2．

当直线AB过焦点F时，(y8.D

【解析】解：由题意，当x≥a时，f(x)=4x，f(x)单调递增，在[a,+∞)上的最小值为4a，

当0<x<a时，f(x)=−2log2x则由已知得−2log2a⩾4a

，即4a+2log2a⩽0

，

设ℎ(a)=4a+2log2a

，

9.ACD

【解析】解：对于A，据频率分布直方图可得最小数值不小于45，而最大数值小于95，所以极差不大于50，A正确；

对于B，样本观测数据落在区间[65,75)上的频率为0.025×10=0.25，B错误；

对于C，观测数据的平均数为50×10×0.02+60×10×0.04+70×10×0.025+80×10×0.01+90×10×0.005=64，

设观测数据的中位数为x，则10×0.02+(x−55)×0.04=0.5，解得x=62.5<64，C正确；

对于D，据频率分布直方图加工产品的数量[45,55)的频率为0.2，则估计80%的工人能完成任务，D正确．

故选：ACD．10.ABD

【解析】解：由S3，S9，S6成等差数列，可知公比q≠1，且2S9=S3+S6，

即2⋅a1(1−q9)1−q=a1(1−q3)1−q+a1(1−q6)1−q，解得q3=−12．

易知a2，a5，a8成等比数列;

又a2=a1q，a511.ABC

【解析】解：对于A，f(x+T)=k(x+T)+b=kx+b+kT=f(x)+kT，

所以一次函数f(x)=kx+b(k,b为常数)是广义周期函数，A正确；

对于B，若f(x)是广义周期函数，则f(x+T)=f(x)+H，

令H=kT，则f(x+T)=f(x)+kT，所以f(x+T)−k(x+T)=f(x)−kx，

所以f(x)−kx是周期函数，B正确；

对于C，设f(x)有两个对称中心(a,b)，(m,n)，且m>a，

则f(2a−x)+f(x)=2b，f(2m−x)+f(x)=2n，

所以f(2m−2a+x)=f[2m−(2a−x)]=2n−f(2a−x)=2n−[2b−f(x)]=f(x)+2n−2b，

令T=2m−2a，H=2n−2b，所以f(x)是广义周期函数，C正确；

对于D，若f(x)与g(x)都是广义周期函数，只有两个T的比值是有理数时f(x)+g(x)才是广义周期函数．

例如f(x)=sinπx，g(x)=sinx是广义周期函数，f(x)+g(x)不是广义周期函数．

证明：设f(x)=sinπx，g(x)=sinx，有f(x+2)=f(x)，g(x+2π)=g(x)，

则f(x)与g(x)都是广义周期函数，

但F(x)=f(x)+g(x)=sinπx+sinx不是广义周期函数．

理由：假设存在T>0，使得F(x+T)=F(x)+H，

即sinπx+sinx+H=sinπ(x+T)+sin(x+T)，

有H=sinπ(x+T)−sinπx+sin(x+T)−sinx.

令x=0，则H=sinπT+sinT ①;

令x=π，则H=sin(π2+πT)−12.x2【解析】解：设线段AB的中点为P(x,y)，则A(2x,0)，B(0,2y)，

由题意知|AB|=2，

即AB=(2x)2+(2y)2=2，

整理得：x2+y2=1，

即13.14【解析】解：已知圆心角∠AOB=120∘=2π3，OA=6，OC=3，

对于扇形OAB，弧长l1=α×OA=2π3×6=4π，对于扇形OCD，弧长l2=α×OC=2π3×3=2π，

设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，因为扇环围成圆台后，上底面圆周长C1=l2=2πr，可得r=1;下底面圆周长C2=l114.5【解析】解：设a2+b2+2c2=t，

由余弦定理可得a2+b2−c2=2abcosC，

所以2a2+2b2−2c2=4abcosC，

所以3a2+b2=t+4abcosC．

因为a2+b2⩾2ab，

所以t+4abcosC⩾6ab，

即ab⩽t6−4cosC，当且仅当a=b时等号成立．

因为△ABC的外接圆半径为R=5，15.解：(1)设“甲同学到第三天才预约成功”为事件A，

则P(A)=(1−0.7)×(1−0.7)×0.7=0.063;

(2)因为X为甲同学预约门票的天数，

所以X的取值可以是1，2，3，

则P(X=1)=0.7，

P(X=2)=(1−0.7)×0.7=0.21，

P(X=3)=(1−0.7)×(1−0.7)×(0.7+0.3)=0.09，

所以X的分布列为X123P0.70.210.09期望E(X)=1×0.7+2×0.21+3×0.09=1.39．

16.解：(1)证明：∵在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB=AD=2，

∴底面ABCD是边长为2的菱形，

∴BD⊥AC，

∵A′B⊥AC，A′B∩BD=B，A′B,BD⊂平面A′BD，

∴AC⊥平面A′BD，

∵A′O⊂平面A′BD，

∴AC⊥A′O，

∵AB=AD，∠A′AB=∠A′AD，A′A=A′A，

∴△A′AB≌△A′AD，

∴A′D=A′B，

∵点O为线段BD中点，

∴A′O⊥BD，

∵AC∩BD=O，AC，BD都在平面ABCD上，

∴A′O⊥平面ABCD；

(2)由(1)以O为坐标原点，OB，OC，OA′所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

因为AB=AD=2，AA′=3，且∠BAD=60∘，

则B(1,0,0)，C(0,3,0)，D(−1,0,0)，A′(0,0,6)，有A′B=(1,0,−6)，DC=(1,3,0)，DA′=(1,0,6).

设平面A′B′CD的法向量n=(x,y,z)17.解：(1)f′(x)=aeaxlnx+eaxx=eax(alnx+1x)，

f′(1)=aealn1+ea1=ea，

所以切线方程为y−0=ea(x−1)，即y=ea(x−1)，

当x=0时，y=−ea;当y=0时，x=1；

已知切线与两坐标轴所围成三角形的面积为e2，则12×1×ea=e2，即ea=e，

解得a=1；

(2)令φ(x)=alnx+1x，x>0，则φ′(x)=ax−1x2=ax−1x2，

由φ′(x)=0，解得x=1a，

当x∈(0,1a)时，φ′(x)<0，则φ(x)单调递减;

当x∈(1a,+∞)时，φ′(x)>0，则φ(x)单调递增；

可得φ(x)min=φ(1a)=aln1a+a=a(1−lna)．

若0<a≤e，18.解：(1)因为椭圆C的焦距为23，且离心率为32，

所以c=3ca=32，解得c=3a=2,

因此b2=a2−c2=4−3=1，

所以椭圆C的方程为：x24+y2=1．

(2)(ⅰ)因为直线l与椭圆C交于M、N两点，

点A为椭圆C的左顶点，即A−2,0，

因为△AMN为等边三角形，

所以由椭圆的对称性知：直线l与x轴垂直，

因此设Mx0,1−x024−2<x0<2，Nx0,−1−x024，

所以1−x024x0+2=33，解得x0=−2(舍去)或x0=−27．

方法1:由等边三角形的重心与外心重合，

可知xP=13(xA+xM+xN)=13[−2+2×(−27)]=−67，则点P的坐标为(−67,0)．

方法2:由|AP|=|PM|，即|xP−(−2)|=xP+272+(4