七年级数学下册同步学与练（浙教版）第06讲 平行线中的四大基本模型（4类题型+20道拓展培优题）（解析版）

第06讲平行线中的四大基本模型（4类题型+20道拓展培优题）【题型目录】题型一平行线基本模型之M模型题型二平行线四大模型之铅笔模型题型三平行线四大模型之“鸡翅”模型题型四平行线四大模型之“骨折”模型【经典例题一平行基本模型之M模型】【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD.【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E朝向左边的角的和=朝向右边的角的和结论3的模型也称为锯齿模型；锯齿模型的变换解题思路拆分成猪蹄模型和内错角拆分成2个猪蹄模型【例1】（2023下·福建莆田·七年级校联考期中）如图，，则满足的数量关系为（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】作，如图，则，根据平行线的性质可得，进一步整理即得答案.【详解】解：作，如图，∵，∴，∴，∴，∴，即在原图中有结论：；故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.【变式训练】1．（2023下·安徽·九年级专题练习）如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（

）

A．延长交的延长线于点B．连接C．分别作，的平分线，D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧）【答案】C【分析】根据平行线的性质与判定逐一判断即可．【详解】解：A、如图，

∵，∴，∵，∴，∴，故此选项不符合题意；B、如图，

∵，∴，∵，∴，∴，故此选项不符合题意；C、如图，

由平分，平分，没有条件说明与相等，也没有条件说明与平行，∴此辅助线的作法不能说明与平行，故此选项符合题意；D、如图，延长交于点，

∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论．掌握平行线的判定和性质是解题的关键．2．（2023下·山东泰安·六年级统考期末）如图，已知直线，为平面内一点，连接，．则、、之间的等量关系为．

【答案】【分析】过点作，从而可得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：如图，过点作，

，，，，，，，则、、之间的等量关系为，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．（2023下·山东聊城·七年级校考阶段练习）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，．

(1)若点在图（1）位置时，求证：；(2)若点在图（2）位置时，写出、、之间的关系并给予证明．【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析【分析】此题两个小题的解题思路是一致的，过作直线、的平行线，利用平行线的性质得到和、相等的角，然后结合这些等角和的位置关系，来得出、、的数量关系．【详解】（1）过作，

∵，∴，由两直线平行，内错角相等，可得：、；∵，∴．（2）关系：．过作，

∵，∴，同（1）可证得：；∵，∴，即．【点睛】本题主要考查平行线的性质，能够正确多出辅助线是解题关键．【经典例题二平行基本模型之铅笔模型】【结论1】如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360°【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD.变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）拐点数：1拐点数：2拐点数：n【例2】（2023下·山东德州·七年级统考期中）如图，，则下列说法中一定正确的是

A． B．C． D．【答案】B【分析】此题要作辅助线，过点作，则根据平行线的传递性，得．先利用，可得，即，再利用，可得，而，整理可得：．【详解】解：过点作，

，，，，又，，．故选：B．【点睛】注意此类题要作的辅助线：构造平行线．根据平行线的性质即可找到三个角之间的关系．【变式训练】1、（2023下·甘肃白银·七年级校考期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作，则，再根据平行线的性质可以求出、，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得．【详解】解：如图，过点作，

，，，，．，．．．故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解题关键．2、（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，，射线，分别与，交于点M，N，若，则的度数是．

【答案】/108度【分析】过点F作，可得，根据平行线的性质结合已知求出，可得，即可求出的度数．【详解】解：如图，过点F作，

∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．3、（2023下·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期中）探究题(1)如下图，，，．求度数；

(2)如下图，，点在射线上运动，，．

①当点P在A，B两点之间运动时，，，之间的数量关系为__________②当点P在A，B两点外侧运动时(点P与点A，B，O三点不重合)，请写出，，之间的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)；(2)①；②或．【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．（1）过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得；（2）①过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；②画出图形（分两种情况：点P在的延长线上，点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案．【详解】（1）解：过P作，

∵，∴，∵，．∴，，∴；（2）解：①：如图3，过P作交于E，∵，∴，∴，，∴；

故答案为：；②当P在延长线时，；理由：如图4，过P作交于E，∵，∴，∴，，∴；

当P在之间时，．理由：如图5，过P作交于E，∵，∴，∴，，∴．

综上所述，，，之间的数量关系为或．【经典例题三平行基本模型之“鸡翅”模型】【例3】（2023秋·全国·八年级专题练习）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可．【详解】解：①如图1，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故①错误；②如图2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正确；③如图3，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③错误；④如图4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正确；综上结论正确的个数为2，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．【变式训练】1、（2023秋·八年级课时练习）（1）已知：如图（a），直线．求证：；（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，，见解析【分析】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD．【详解】解：（1）证明：过点C作CF∥AB，∵AB∥ED，∴AB∥ED∥CF，∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD，证明：如图：∵AB∥ED，∴∠ABC=∠BFD，在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．若点C在直线AB与DE之间，猜想,∵AB∥ED∥CF，∴∴.【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法．2、（2023春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由见解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由见解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由见解析【分析】（1）过点P作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求解；（2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，则可求得∠BPD=∠B+∠D．（3）由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得∠BPD与∠B、∠D的关系．【详解】解：（1）如图（1）过点P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠EPD+∠D=180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）如图（3），∠BPD=∠D-∠B．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠BPD，∴∠D=∠B+∠BPD，即∠BPD=∠D-∠B；如图（4），∠BPD=∠B-∠D．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠B，∵∠1=∠D+∠BPD，∴∠B=∠D+∠BPD，即∠BPD=∠B-∠D．【点睛】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握平行线的性质，注意辅助线的作法．3、（2023·全国·七年级假期作业）已知，，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证；（2）过点E作，延长DC至Q，过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得出，再根据平角的含义得出，然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出；设，根据角的和差可得出，结合已知条件可求得，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得出答案．【详解】（1）证明：；（2）过点E作，延长DC至Q，过点M作，，，AF平分FH平分设，．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．【经典例题四平行基本模型之“骨折”模型】【例4】（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数为__________．【答案】57°【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可．【详解】解：设AE、CD交于点F，∵∠E＝37°，∠C＝20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°，∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案为：57°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．【变式训练】1、（2023春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=_____．【答案】【分析】延长交BC于M，根据两直线平行，内错角相等证明∠BMD=∠ABC，再求解，再利用三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：延长交BC于M，∵∴∠BMD=∠ABC=80°，∴；又∵∠CDE=∠CMD+∠C，∴．故答案是：40°【点睛】本题考查了平行线的性质．三角形的外角的性质，邻补角的定义，掌握以上知识是解题的关键．2、（2023春·江苏盐城·七年级景山中学校考阶段练习）如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为______【答案】180°【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解．【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示：，∠1=∠EFD，∠2+∠EFC=∠3，，，；故答案为180°．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键．3、（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）过E作EMAB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；（2）过E作EMAB，过F作FNAB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；（3）过P作PLAB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．【详解】解：（1）过E作EMAB，∵ABCD，∴CDEMAB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）过E作EMAB，过F作FNAB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，∵ABCD，∴EMABCD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，

∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；（3）过P作PLAB，∵GM平分∠DGP，∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x，∵PQGN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵ABCD，∴PLABCD，

∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，∴∠MGN＝15°．【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理．【拓展培优】1．（2024上·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）如图，，，，则可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键．过点作，首先根据“两直线平行，内错角相等”可得，进而可得，再根据“平行于同一直线的两直线平行”证明，然后由“两直线平行，内错角相等”可得．【详解】解：如下图，过点作，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．故选：C．2．（2022下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（

）A． B．C． D．与没有数量关系【答案】A【分析】过C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定义得到，由邻补角的性质即可得到答案．【详解】解：过C作∥，∥，，，，，，，，，

故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质，关键是过C作，得到，由平行线的性质来解决问题．3．（2022下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，若，则、、之间关系是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】作，根据平行线的性质可得，，然后由整理后可得答案．【详解】解：如图，作，

∵，∴，∴，，又∵，∴，即．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．4．（2023下·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考阶段练习）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】过点E作，则，由平行线的性质得，过点C作，则有，同理，结合角平分线的定义即可求得结果．【详解】解：如图，过点E作，∵，∴，∴，∴，过点C作，则有，同理，∵和分别平分和，∴，∴，，即，解得：，故选：D．

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解二元一次方程组，构造平行线是解题的关键．5．（2023下·广东深圳·七年级校考期中）如图，E在线段的延长线上，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到，等量代换得到，求得平分；故②正确；根据平行线同旁内角互补得，再根据题目已知，得，又根据，得，但根据现有条件无法证明，故③错误；设，得到，根据角平分线的性质即可得到结论．【详解】∵，∴，∴，故①正确；∴，∵，∴，∴平分；故②正确；延长交于P，延长交于Q，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；∵的余角比大，∴，∵，∴，∴，故③错误；设，，∴＋，∵平分，∴＋，∵平分，∴，∴，∴＋＋＋，∴，∴，故④错误，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键．6．（2023下·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（

）个．①②③平分④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】如图，延长交于，由，可得，由，可得，，进而可判断①的正误；由分别为的角平分线，则，，如图，过作，则，有，，根据，可得，可得，进而可判断④的正误；由，可知，，由，可得，进而可判断③的正误；由，可知，由于与的位置关系不确定，可知与的大小关系不确定，则不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案．【详解】解：如图，延长交于，∵，∴，∵，∴，∴，∴①正确，故符合要求；∵分别为的角平分线，∴，，如图，过作，∴，∴，，∵，∴∴，∴④正确，故符合要求；∵，∴，，∵，∴，∴平分，∴③正确，故符合要求；∵，∴，∵与的位置关系不确定，∴与的大小关系不确定，∴不一定成立，∴②错误，故不符合要求；∴正确的共有3个，故选B．【点睛】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用．7．（2021下·重庆九龙坡·七年级重庆市杨家坪中学校考期中）如图，，点E在上，点G，F，I在，之间，且平分，平分，．若，则的度数为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，过作，可设，由，可设，设，而平分，可得，可得，由，可得，可得答案．【详解】解：如图，过作，∴设，∵，∴，∴设，∵平分，∴，设，而平分，∴，∵，∴，由平角的定义可得：，∴，即，∵，∴，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，作出适当的辅助线构建平行线是解本题的关键．8．（2022下·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可．【详解】解：如图，过点H作，过点F作，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．9．（2023下·湖南长沙·七年级统考期末）（1）如图一，，，，则．（2）如图二，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为．

【答案】【分析】（1）过点E作，由平行线的性质得出，，进而可得，即可求解；（2）根据（1）的结论，结合已知条件进行角的计算转换求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点E作，

∵，∴，，故答案为：；（2）同（1）可知，，∵，，∴，∴∵，，∴，又∵，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键．10．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，，点，在直线上（在的左侧），点在直线上，，垂足为，为线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点，且点在直线，之间的区域，下列结论：①；

②；③若，则；④若，则，其中为正整数．上述说法正确的是（写出所有正确结论的序号）．

【答案】①③④【分析】过点H作，利用平行线的性质可得，即可判断①；根据角平分的定义可得，，再根据三角形内角和定理，根据，利用平行线的性质即可判断②；设，则，利用①的结论即可判断③，同上可判断④．【详解】解：如图，过点H作，

，，，，，，，故①正确；与的角平分线交于点，，，根据①中的结论，可得,，，，，，，故②错误；设，则，，根据①中结论可得，，故③正确；设，则，，，根据①中结论可得，故④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．11．（2022上·广东广州·八年级广州市黄埔军校纪念中学校考开学考试）如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则（度）；

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则（度）；（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则（度）；（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是（度）．【答案】360540720180n【分析】过点作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍；（1）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍；（2）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍；（3）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度．【详解】过作（如图②）．∵原四边形是长方形，∴，又∵，∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．∵，∴（两直线平行，同旁内角互补）．∵，∴（两直线平行，同旁内角互补）．∴，又∵，∴；

（）分别过、分别作的平行线，如图③所示，

用上面的方法可得；（）分别过、、分别作的平行线，如图④所示，

用上面的方法可得；（）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度．故答案为：；；；．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．12．（2022下·四川成都·七年级四川省成都市七中育才学校校考期末）已知直线，射线、分别平分，，两射线反向延长线交于点，请写出，之间的数量关系：．【答案】【分析】分别过点，作，，根据，可得，根据平行线性质可得，，根据角平分线定义可得，进而证出，同理，根据平角定义可得，，由此证出，进而证出结论．【详解】分别过点，作，∵，∴∵射线平分∴∵∴∴∵∴∴∵射线平分∴∵，，∴∴∴∴∴∵∴同理：∴∴故答案为：【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识点，能熟记平行线的性质是解本题的关键．13．（2021下·上海浦东新·七年级期中）如图，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，则∠BAH的度数是．【答案】60°/60度【分析】首先设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，过点B作BMAD，过点F作FNAD，根据平行线的性质，可得∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，又由∠F的余角等于2∠ABC的补角，可得方程：90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），继而求得答案．【详解】解：设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，∵∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，∴∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，过点B作BMAD，过点F作FNAD，如图所示：∵ADCE，∴ADFNBMCE，∴∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，∠ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°，∴∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，∵∠F的余角等于2∠ABC的补角，∴90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），解得：x＝30，∴∠BAH＝60°．故答案为：60°【点睛】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与方程思想的应用．14．（2021下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期中）已知，点、分别为、上的点，点、、为、内部的点，连接、、、、、，于，，，平分，平分，则（小于平角）的度数为．【答案】【分析】过点，做平行于，根据平行线的传递性及性质得，同理得出，令，则，，则，通过等量关系先计算出，再根据角平分线的性质及等量代换进行求解．【详解】解：过点，做平行于，如下图：，，则，，同理可得：，令，则，，则，则，，，，平分，平分，，，故答案是：．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质，解题的关键是添加适当的辅助线，找到角之间的关系，利用等量代换的思想进行计算求解．15．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：直线与直线内部有一个点，连接．(1)如图，当点在直线上，连接，若，求证：；(2)如图，当点在直线与直线的内部，点在直线上，连接，若，求证：；(3)如图，在（）的条件下，、分别是、的角平分线，和相交于点G，和直线相交于点，当时，若，，求的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（）过点作，推出，进而得，根据平行公理的推论即可得证；（）分别过点和点作，，推出，进而得，根据平行公理的推论即可得证；（）过点作，同（）（）理证明，设，，，则，结合角平分线得，用含的式子代替，，代入即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点作，∴，∵，∴，∴，∴；（2）证明：如图，分别过点和点作，，∴，，∵，即，∴，∴，∴，∴；（3）如图，过点作，由()得，∴，，，∴，设，，，则，∵、分别是、的角平分线，∴，∵，∴，由()得，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴∴，∴，即的度数为.【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和，平角定义等知识，添加辅助线，灵活运用平行公理的推论是解题的关键．16．（2023上·全国·八年级专题练习）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．(1)如图，当时，求的度数；(2)如图，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；(3)如图，在（）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值．【答案】(1)；(2)；(3)的值为，，，，，秒．【分析】（）过点作，利用平行线的性质可得，，再利用垂直定义即可得解；（）过点作，过点作，根据平行线的性质及判定以及角平分线的定义即可得解；（）分种情况求解即可．【详解】（1）解：如图，过点作，

∴，∵∴，∴，∵，∴；（2）解：如图过点作，过点作，

∵和的角平分线交于点，∴，，由（）得，∵，，∴，∵，设，则，∵，，∴，∴，，∵和的角平分线交于点，∴，，∴，∴；（3）解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，当旋转到在射线上时，有，此时，，解得（秒）

当旋转到平行于射线时，有，则，∴此时，，解得（秒）；

当旋转到平行于射线时，有，则，∴，此时，，解得（秒）

当旋转到在射线上时，有，此时，，解得（秒）

当旋转到平行于射线时，有，此时，，解得（秒）

当旋转到平行于射线时，有，，此时，解得（秒）

综上可知，的值为，，，，，秒．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，以及旋转的性质，熟练掌握平行线的判定与性质及分类讨论是解题的关键．17．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）已知，，点、点分别在线段上．

(1)如图1，点在直线之间，求证．(2)如图2，分别过点和点作直线，使，以点为顶点作直角，并且的两边分别与直线交于点和点，则____________．（直接写出角度和）(3)如图3，在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）过点作，根据平行线的传递性，得到，再根据平行线的性质，即可得出结论；（2）连接，平行线的性质，得到，三角形的内角和得到，进而得到；（3）设，角平分线的定义，求出，进而求出，再根据角平分线求出，平行线的性质，求出，进而求出，过点作，得到，再根据，求解即可．【详解】（1）解：过点作，

∵，∴，∴，∴；（2）连接，

∵，∴，∵，∴，∴；故答案为：；（3）设，平分，，，由（1）得，，∴，，，平分．，，过点作，交于点，答：的度数是

【点睛】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，过拐点构造平行线，是解题的关键．本题有一定的难度，属于压轴题．18．（2022下·湖南长沙·七年级校考阶段练习）如图1，，为、之间一点．(1)若平分，平分．求证：；(2)如图2，若，，且的延长线交的角平分线于点，的延长线交的角平分线于点，猜想的结果并且证明你的结论；(3)如图3，若点是射线之间一动点，平分，平分，过点作于点，请猜想与的关系，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)，见解析【分析】（1）根据平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可求解，进而证明结论；（2）分别过，作，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义结合，，可求解；（3）根据垂线的定义可求得，再根据角平分线的定义可求解．【详解】（1），，平分，平分，，，，即；（2）分别过，作，，，，，，，，，，同理：，，平分，平分，，，，，，，；（3）．证明：，，，，平分，平分，，，，．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，灵活运用平行线的性质及角平分线的定义是解题的