北京四中入学数学试卷

北京四中入学数学试卷一、选择题

1.在下列各数中，属于有理数的是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{3}$

D.$\sqrt{3}$

2.已知方程$2x^2-4x+2=0$，其判别式$\Delta$等于（）

A.$-4$

B.$0$

C.$4$

D.$8$

3.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，则$S_{2n}-S_n$等于（）

A.$n\timesa_1$

B.$n\timesa_n$

C.$n\times(a_1+a_n)$

D.$n\times(a_1+a_2)$

4.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$y=x$的对称点坐标为（）

A.$(-3,2)$

B.$(3,-2)$

C.$(-2,3)$

D.$(2,-3)$

5.下列函数中，是奇函数的是（）

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=|x|$

C.$f(x)=x^3$

D.$f(x)=x^4$

6.在下列各对数式中，正确的是（）

A.$log_28=3$

B.$log_216=2$

C.$log_24=3$

D.$log_22=1$

7.已知$a^2+b^2=10$，则$a^4+b^4$的最大值为（）

A.$30$

B.$40$

C.$50$

D.$60$

8.在三角形ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$a^2+b^2=c^2$，则角A的度数为（）

A.$30^\circ$

B.$45^\circ$

C.$60^\circ$

D.$90^\circ$

9.在下列各数中，属于实数的是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{3}$

D.$\sqrt{3}$

10.下列函数中，是偶函数的是（）

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=|x|$

C.$f(x)=x^3$

D.$f(x)=x^4$

二、判断题

1.按照勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。（）

2.若一个函数既是奇函数又是偶函数，则这个函数必须恒等于0。（）

3.在等差数列中，任意两项的差都等于首项和末项的差除以项数减1。（）

4.在平面直角坐标系中，任意两点之间的距离可以用两点坐标差的平方和的平方根表示。（）

5.在实数范围内，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像开口方向只与系数a的正负有关。（）

三、填空题

1.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3n-2$，则该数列的第5项$a_5$等于__________。

2.如果直角三角形的两个锐角分别为$30^\circ$和$60^\circ$，那么这个直角三角形的斜边长度是底边长度的__________倍。

3.函数$f(x)=2x^3-3x^2+4$的导数$f'(x)$等于__________。

4.在复数域中，如果$z^2=1$，则复数$z$的可能取值为__________。

5.对于不等式$x^2-5x+6<0$，不等式的解集为__________。

四、简答题

1.简述二次函数图像的顶点坐标与函数的开口方向、系数之间的关系。

2.请说明等差数列和等比数列的定义，并给出一个例子说明。

3.如何判断一个有理数是无理数？请举例说明。

4.在平面直角坐标系中，如何根据两点的坐标求出两点之间的距离？

5.简要介绍解一元二次方程的几种方法，并说明各自适用的条件。

五、计算题

1.计算下列表达式的值：$\frac{3x^2-2x+1}{x-1}+\frac{2x^2+x-1}{x+1}$，其中$x=2$。

2.解一元二次方程$x^2-6x+9=0$，并写出解的过程。

3.求等差数列$\{a_n\}$的前10项和，已知$a_1=3$，公差$d=2$。

4.计算复数$z=3+4i$的模，并写出计算过程。

5.一个直角三角形的两个锐角分别为$30^\circ$和$60^\circ$，求这个三角形的周长，并写出计算过程。

六、案例分析题

1.案例分析题：某学校组织了一次数学竞赛，共有100名学生参加。已知参赛学生的平均成绩为80分，方差为100。请分析以下情况：

（1）请计算参赛学生成绩的标准差。

（2）假设该校有一名学生成绩为90分，他是否是这次竞赛中的高分选手？请根据平均成绩和方差进行分析。

2.案例分析题：某班级有30名学生，其中男女生比例约为3:2。在一次数学考试中，男生平均分为85分，女生平均分为75分。请分析以下情况：

（1）请计算该班级数学考试的平均分。

（2）若该校计划选拔优秀学生参加全市数学竞赛，选拔标准为平均分达到80分。请根据现有情况，分析该班级有多少名学生有资格参加竞赛。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批产品，计划每天生产20件。已知生产第一批产品时，由于技术问题，实际每天只能生产18件。后来技术改进，每天可以稳定生产22件。如果要在规定的时间内完成生产任务，请问需要多少天才能完成生产？

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为10cm、8cm和6cm。请计算这个长方体的表面积和体积。

3.应用题：某市居民用水量按季度收费，收费标准如下：每户每月用水量不超过15吨的部分，每吨2.5元；超过15吨的部分，每吨3.5元。一个居民户第一季度用水量为40吨，请问该居民户第一季度应缴纳水费多少元？

4.应用题：一家公司在网上销售产品，销售策略是：购买超过10件的产品，每件产品可享受8折优惠。某顾客购买了一种产品，实际支付了180元。请问该顾客购买了多少件产品？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.C

2.B

3.C

4.A

5.C

6.D

7.B

8.D

9.D

10.B

二、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空题

1.$a_5=11$

2.2

3.$f'(x)=6x^2-6x$

4.$z=\pmi$

5.解集为$3<x<4$

四、简答题

1.二次函数的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，当$a>0$时，图像开口向上；当$a<0$时，图像开口向下。

2.等差数列是指数列中任意相邻两项之差都相等的数列，例如：1,3,5,7,9...。等比数列是指数列中任意相邻两项之比都相等的数列，例如：2,4,8,16,32...。

3.有理数是可以表示为两个整数之比的数，无理数是不能表示为两个整数之比的数。例如：$\sqrt{2}$是无理数，因为它不能表示为两个整数的比。

4.任意两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$之间的距离为$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。

5.解一元二次方程的方法有公式法、配方法和因式分解法。公式法适用于方程形式为$ax^2+bx+c=0$的情况，配方法适用于方程可以化为$(x+p)^2=q$的情况，因式分解法适用于方程可以分解为$(x-p)(x-q)=0$的情况。

五、计算题

1.$\frac{3x^2-2x+1}{x-1}+\frac{2x^2+x-1}{x+1}=\frac{(3x^2-2x+1)(x+1)+(2x^2+x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{5x^2+2}{x^2-1}=5$，当$x=2$时，代入得$5$。

2.方程$x^2-6x+9=0$可以因式分解为$(x-3)^2=0$，所以$x=3$。

3.等差数列的前10项和为$S_{10}=\frac{10}{2}(2a_1+(10-1)d)=5(2\times3+9\times2)=5\times24=120$。

4.复数$z=3+4i$的模为$|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。

5.30°角的直角三角形中，斜边是直角边的$\sqrt{3}$倍，60°角的直角三角形中，斜边是直角边的2倍。设30°角的直角三角形的斜边为2c，60°角的直角三角形的斜边为c，则周长为$2c+c+c=4c$。

六、案例分析题

1.（1）标准差为$\sqrt{\frac{100}{100}}=1$。

（2）90分高于平均成绩80分，但考虑到方差较大，不能简单地判断该学生是高分选手。

2.（1）班级平均分为$\frac{30\times85+60\times75}{30}=80$。

（2）80分以上的学生有$30\times\frac{80-75}{85-75}+60=12$，所以有12名学生