八四年高考数学试卷

八四年高考数学试卷一、选择题

1.下列各数中，有理数是：（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

D.$-\frac{5}{7}$

2.已知函数$f(x)=2x+3$，若$f(a)=7$，则$a=$（）

A.2

B.3

C.4

D.5

3.若$|x-1|=3$，则$x=$（）

A.2

B.4

C.2或4

D.1或4

4.已知等差数列$\{a_n\}$，$a_1=3$，$d=2$，则$a_5=$（）

A.9

B.10

C.11

D.12

5.若$|x|<3$，则$-3<x<3$表示的区间是：（）

A.$(-3,3)$

B.$(-3,0)$

C.$(0,3)$

D.$(-\infty,0)\cup(0,\infty)$

6.已知函数$f(x)=x^2-4x+4$，则$f(-2)=$（）

A.0

B.4

C.12

D.20

7.若等比数列$\{a_n\}$，$a_1=1$，公比为$q$，则$a_5=$（）

A.$q^4$

B.$q^5$

C.$q^6$

D.$q^7$

8.已知函数$f(x)=\frac{x}{x-1}$，若$f(2)=\frac{2}{3}$，则$x=$（）

A.1

B.2

C.3

D.4

9.若$\cos^2x+\sin^2x=1$，则$\sinx$的取值范围是：（）

A.$[-1,1]$

B.$[-1,0)$

C.$(0,1]$

D.$(-1,0)\cup(0,1)$

10.已知等差数列$\{a_n\}$，$a_1=2$，$a_5=20$，则$a_3=$（）

A.8

B.10

C.12

D.14

二、判断题

1.对于任何实数$x$，都有$x^2\geq0$。（）

2.如果两个角的正弦值相等，那么这两个角要么相等，要么互补。（）

3.在直角坐标系中，所有第二象限的点都满足$x<0$和$y>0$。（）

4.在等差数列中，任意三项$a_n$，$a_{n+1}$，$a_{n+2}$都满足$a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n$。（）

5.函数$y=\sqrt{x^2}$的值域是$[0,+\infty)$。（）

三、填空题

1.已知函数$f(x)=3x-5$，若$f(x)=2$，则$x=$______。

2.在直角三角形ABC中，$\angleA=90^\circ$，$\angleB=30^\circ$，若AB=6，则AC的长度为______。

3.等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=5$，公差$d=3$，则$a_7=$______。

4.解方程$2x^2-4x+2=0$，得到$x=$______。

5.在复数$a+bi$中，若实部$a=0$，则该复数在复平面上的表示是一个______。

四、简答题

1.简述一元二次方程的解法，并举例说明。

2.如何判断一个二次函数的图像是开口向上还是开口向下？

3.请解释什么是等差数列和等比数列，并给出一个例子。

4.简述如何利用三角函数的性质来解决实际问题。

5.在解直角三角形时，如何应用正弦定理和余弦定理？请举例说明。

五、计算题

1.已知函数$f(x)=x^2-6x+8$，求函数$f(x)$的零点。

2.在直角坐标系中，点A(2,3)和点B(-1,4)之间的距离是多少？

3.一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求该数列的公差和第10项的值。

4.解下列方程组：

\[

\begin{cases}

2x+3y=8\\

x-y=1

\end{cases}

\]

5.一个等比数列的前两项分别是3和12，求该数列的公比和第5项的值。

六、案例分析题

1.案例背景：某公司计划在一年内将产品销量从500件增加到1500件。已知该公司产品销售量构成一个等差数列，第一年销售量为500件，求每年销售量的增长率和最终能否实现目标。

案例要求：

（1）根据等差数列的定义，求出该数列的公差。

（2）根据公差和第一年的销售量，预测未来几年的销售量。

（3）分析该公司能否实现销售量从500件增加到1500件的目标。

2.案例背景：某城市为了提高居民的生活水平，决定实施一项公共设施建设项目。该项目建设周期为三年，每年的投资额构成一个等比数列，第一年投资额为100万元，公比为1.2。求该项目建设期间的总投资额。假设第三年的投资额为最终的投资额。

案例要求：

（1）根据等比数列的定义，求出该数列的公比。

（2）计算第一年和第二年每年的投资额。

（3）求出三年内的总投资额，并分析该投资额是否合理。

七、应用题

1.应用题：某商店推出一种新产品，前两个月销量分别为30台和40台。若该产品销量构成等差数列，且第三个月的销量为60台，求该产品的月销量增长率。

2.应用题：一矩形的长和宽分别为6cm和4cm，若保持面积不变，将矩形的长和宽各增加xcm，求增加后的矩形的长和宽。

3.应用题：一个等比数列的前三项分别为2，6，18，已知第四项的值比第三项的值大30%，求该等比数列的公比。

4.应用题：在直角三角形ABC中，$\angleA=30^\circ$，$\angleC=90^\circ$，若AB=10cm，求BC和AC的长度。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.D

2.C

3.C

4.B

5.A

6.A

7.A

8.C

9.A

10.D

二、判断题答案

1.正确

2.错误

3.正确

4.正确

5.正确

三、填空题答案

1.$x=3$

2.6

3.23

4.$x=2$或$x=1$

5.直线

四、简答题答案

1.一元二次方程的解法包括配方法、公式法和因式分解法。例如，解方程$x^2-5x+6=0$，可以通过因式分解法得到$(x-2)(x-3)=0$，从而得到$x=2$或$x=3$。

2.二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像开口向上当且仅当$a>0$，开口向下当且仅当$a<0$。例如，函数$y=x^2-4x+3$的图像开口向上。

3.等差数列是每一项与它前一项之差相等的数列，例如$\{2,5,8,11,\ldots\}$。等比数列是每一项与它前一项之比相等的数列，例如$\{2,6,18,54,\ldots\}$。

4.三角函数的性质可以用来解决实际问题，如计算直角三角形的边长、角度等。例如，已知直角三角形的两个锐角分别为30°和60°，可以计算出其余角度和边长。

5.正弦定理和余弦定理可以用来解直角三角形。正弦定理是$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$，余弦定理是$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$。例如，已知直角三角形的一边长和两个锐角，可以使用余弦定理求出另外两边的长度。

五、计算题答案

1.$x_1=2$，$x_2=4$

2.$\sqrt{65}$

3.公差为3，第10项的值为39

4.$x=3$，$y=2$

5.公比为3，第5项的值为162

六、案例分析题答案

1.增长率为50%，公司能实现目标。

2.增加后的长为8+xcm，宽为4+xcm。

3.公比为3。

4.BC=10√3cm，AC=20cm。

知识点总结：

1.数列：包括等差数列和等比数列的定义、性质和应用。

2.函数：包括二次函数、反比例函数和一次函数的性质和应用。

3.解方程：包括一元一次方程、一元二次方程和方程组的解法。

4.三角函数：包括正弦、余弦和正切函数的性质和应用。

5.直角三角形：包括正弦定理、余弦定理和勾股定理的应用。

各题型考察知识点详解及示例：

1.选择题：考察学生对基本概念和性质的理解，如数列的定义、函数的性质、方程的解法等。

2.判断题：考察学生对基本概念和性质的判断能力，如等差数列的性质、三角函数的性质等。

3.填空题：考察学生对基本概念和公式的应用能力，如数列的通项公式、函数的图像等。

4.简答