八省联考福建数学试卷

八省联考福建数学试卷一、选择题

1.下列各数中，无理数是（）

A.3

B.$\sqrt{2}$

C.$\pi$

D.$\frac{1}{3}$

2.已知$a>b>0$，则下列不等式正确的是（）

A.$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$

B.$a^2<b^2$

C.$a+b<2\sqrt{ab}$

D.$a-b<2\sqrt{ab}$

3.函数$f(x)=\frac{1}{x}$在区间（）上单调递减。

A.$(-\infty,0)$

B.$(0,+\infty)$

C.$(-\infty,+\infty)$

D.$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

4.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-1$，则数列$\{a_n\}$的奇数项之和为（）

A.$1+3+5+\ldots+2019$

B.$2+4+6+\ldots+2020$

C.$1+3+5+\ldots+2019+2021$

D.$2+4+6+\ldots+2020+2022$

5.在平面直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x+y=5$的对称点为（）

A.$(-1,-2)$

B.$(-1,2)$

C.$(3,-2)$

D.$(3,2)$

6.若复数$z$满足$|z+1|=|z-1|$，则复数$z$在复平面上的轨迹是（）

A.以$(1,0)$为圆心，以$1$为半径的圆

B.以$(-1,0)$为圆心，以$1$为半径的圆

C.以原点为圆心，以$1$为半径的圆

D.线段$[-2,2]$

7.若函数$f(x)=x^2+2x+1$在区间$[1,3]$上的最大值为$10$，则函数$g(x)=\frac{1}{x^2+2x+1}$在区间$[1,3]$上的最小值为（）

A.$\frac{1}{10}$

B.$\frac{1}{5}$

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{1}{10}$

8.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=4n^2-3n$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为（）

A.$a_n=4n^2-3n$

B.$a_n=8n-3$

C.$a_n=4n-1$

D.$a_n=8n+3$

9.在$\triangleABC$中，若$\sinA=\frac{3}{5}$，$\sinB=\frac{4}{5}$，则$\sinC$的值为（）

A.$\frac{3}{5}$

B.$\frac{4}{5}$

C.$\frac{7}{25}$

D.$\frac{24}{25}$

10.若函数$f(x)=\log_2(2x-1)$在区间$[1,3]$上的图象与直线$y=x$有$3$个交点，则实数$a$的取值范围是（）

A.$(2,3]$

B.$(2,3)$

C.$[2,3)$

D.$[2,3]$

二、判断题

1.平面向量$\vec{a}$与$\vec{b}$垂直的充要条件是$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$。（）

2.如果一个等差数列的前$n$项和为$S_n=4n^2-3n$，那么这个等差数列的公差为$4$。（）

3.在直角坐标系中，点$(1,0)$到直线$x+y=1$的距离为$\frac{1}{2}$。（）

4.复数$z=1+i$的模长是$\sqrt{2}$。（）

5.如果一个函数在其定义域内可导，则它在该定义域内一定连续。（）

三、填空题

1.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2-2n$，则数列$\{a_n\}$的第$4$项$a_4=\_\_\_\_\_\_\_。

2.在直角坐标系中，点$A(-2,3)$关于原点的对称点坐标为$\_\_\_\_\_\_\_。

3.函数$f(x)=x^3-3x$在$x=0$处的导数值为$\_\_\_\_\_\_\_。

4.在平面直角坐标系中，点$P(2,3)$到直线$x+2y-5=0$的距离公式是$\_\_\_\_\_\_\_。

5.若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则复数$z$在复平面上的轨迹方程是$\_\_\_\_\_\_\_。

二、选择题

1.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为1，公差为2，则第10项为（）

A.19

B.20

C.21

D.22

2.函数$f(x)=\frac{1}{x}$在区间（）上单调递减。

A.$(-\infty,0)$

B.$(0,+\infty)$

C.$(-\infty,+\infty)$

D.$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

3.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-1$，则数列$\{a_n\}$的前10项和为（）

A.1+3+5+\ldots+2019

B.2+4+6+\ldots+2020

C.1+3+5+\ldots+2019+2021

D.2+4+6+\ldots+2020+2022

4.在平面直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x+y=5$的对称点为（）

A.$(-1,-2)$

B.$(-1,2)$

C.$(3,-2)$

D.$(3,2)$

5.已知复数$z$满足$|z+1|=|z-1|$，则复数$z$在复平面上的轨迹是（）

A.以$(1,0)$为圆心，以$1$为半径的圆

B.以$(-1,0)$为圆心，以$1$为半径的圆

C.以原点为圆心，以$1$为半径的圆

D.线段$[-2,2]$

6.若函数$f(x)=x^2+2x+1$在区间$[1,3]$上的最大值为$10$，则函数$g(x)=\frac{1}{x^2+2x+1}$在区间$[1,3]$上的最小值为（）

A.$\frac{1}{10}$

B.$\frac{1}{5}$

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{1}{3}$

7.若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则复数$z$在复平面上的轨迹是（）

A.以$(1,0)$为圆心，以$1$为半径的圆

B.以$(-1,0)$为圆心，以$1$为半径的圆

C.以原点为圆心，以$1$为半径的圆

D.线段$[-2,2]$

8.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-1$，则数列$\{a_n\}$的前10项和为（）

A.1+3+5+\ldots+2019

B.2+4+6+\ldots+2020

C.1+3+5+\ldots+2019+2021

D.2+4+6+\ldots+2020+2022

9.在平面直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x+y=5$的对称点为（）

A.$(-1,-2)$

B.$(-1,2)$

C.$(3,-2)$

D.$(3,2)$

10.已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则复数$z$在复平面上的轨迹是（）

A.以$(1,0)$为圆心，以$1$为半径的圆

B.以$(-1,0)$为圆心，以$1$为半径的圆

C.以原点为圆心，以$1$为半径的圆

D.线段$[-2,2]$

五、计算题

1.计算下列极限：

$$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$$

2.解下列方程：

$$2x^2-4x+3=0$$

3.求函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的导数$f'(x)$。

4.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2n-3$，求该数列的前5项和$S_5$。

5.在平面直角坐标系中，已知直线$y=2x+1$与圆$(x-1)^2+(y-2)^2=1$相交于点$A$和$B$，求线段$AB$的长度。

六、案例分析题

1.案例分析题：某学校为了提高学生的数学成绩，决定开展一次数学竞赛活动。以下是竞赛活动的部分安排：

-竞赛分为初赛和决赛两个阶段。

-初赛采用闭卷考试，时间为90分钟，满分为100分。

-初赛结束后，将根据成绩排名选出前20%的学生进入决赛。

-决赛采用现场作答，时间为60分钟，满分为120分。

-最终成绩为初赛和决赛成绩的平均值。

问题：

-分析该数学竞赛活动的优点和可能存在的不足。

-提出改进建议，以使竞赛活动更有效地促进学生的数学学习。

2.案例分析题：某教师在教授“函数与导数”这一章节时，发现学生在理解和应用导数概念方面存在困难。以下是该教师的教学案例：

-教师首先通过实例引入导数的概念，并解释其在实际问题中的应用。

-随后，教师让学生通过观察图形和计算导数来理解导数的几何意义。

-在讲解导数的运算规则时，教师采用了大量的练习题来帮助学生巩固知识。

问题：

-分析该教师在教学过程中采用的教学方法和策略。

-提出改进措施，以帮助学生更好地理解和应用导数概念。

七、应用题

1.应用题：某公司计划投资一项新项目，预计投资额为100万元。根据市场调研，该项目在第一年将带来50万元的收益，之后每年收益递增10%。求该项目在第5年的总收益（包括投资额）。

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为$a$、$b$、$c$，且$a<b<c$。求长方体的体积$V$与表面积$S$之比。

3.应用题：一个圆的半径增加了20%，求新圆的面积与原圆面积之比。

4.应用题：某工厂生产一批产品，每天生产的产品数量是前一天的1.2倍。如果第1天生产100个产品，求第5天生产的产品数量。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.B

2.C

3.B

4.A

5.B

6.A

7.A

8.B

9.D

10.A

二、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空题

1.9

2.(-2,-3)

3.0

4.$\frac{|2\times2+2\times3-5|}{\sqrt{2^2+2^2}}=\frac{1}{2}$

5.$(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$

四、简答题

1.优点：竞赛活动可以激发学生的学习兴趣，提高他们的数学能力；可以检验学生的学习成果，发现他们的不足之处。不足：竞赛可能导致学生过分关注成绩，忽视数学学习的过程和方法；可能加剧学生的焦虑情绪，影响他们的心理健康。

建议：将竞赛与日常教学相结合，注重培养学生的数学思维和解决问题的能力；提供多样化的竞赛内容，满足不同学生的需求；关注学生的心理状态，确保竞赛活动的顺利进行。

2.教学方法和策略：实例引入、图形观察、计算练习。

改进措施：结合实际生活情境，让学生通过解决实际问题来理解导数的概念；利用多媒体教学，展示导数的几何意义；减少机械练习，增加探究性学习，培养学生的数学思维。

五、计算题

1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$

2.$2x^2-4x+3=0$，解得$x=1$或$x=\frac{3}{2}$

3.$f'(x)=3x^2-6x+4$

4.$S_5=2(1)+3(2)+5(3)+7(4)+9(5)=120$

5.圆心到直线的距离$d=\frac{|1\times1+2\times2-5|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$AB=2\sqrt{1-d^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

六、案例分析题

1.优点：激发学习兴趣，检验学习成果。不足：过分关注成绩，加剧焦虑情绪。

建议：结合日常教学，提供多样化竞赛内容，关注学生心理。

2.教学方法和策略：实例引入、图形观察、计算练习。

改进措施：结合实际情境，利用多媒体，增加探究性学习。

七、应用题

1.第5年总收益=$50+50\times(1+0.1)+50\times(1+0.1)^2+50\times(1+0.1)^3+50\times(1+0.1)^4+100=312.5$万元

2.$V=abc$，$S=2(ab+bc+ac)$，$V:S=\frac{abc}{2(ab+bc+ac)}=\frac{c}{2(a+b)}$

3.新圆面积：$\pi(1.2r)^2=1.44\pir^2$，面积之比：$\frac{1.44\pir^2}{\pir^2}=1.44$

4.第5天生产产品数量：$100\times1.2^4=207.36$（约等于207个）

知识点总结：

本试卷涵盖的知识点主要包括：

1.数列与极限

2.函数与导数

3.复数与几何

4.平面几何与解析几何

5.应用题求解方法

6.教学案例分析与改进措施

各题型所考察的知识点详解及示例：

1.选择题：考察学生对基