2025年教科新版高二数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年教科新版高二数学上册阶段测试试卷141考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、将曲线y=tanx所如下变换：得到的曲线方程为（）

A.

B.

C.

D.y'=3tan2x'

2、有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务的不同选法有()A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种3、【题文】给定命题p：函数y＝sin和函数y＝cos的图象关于原点对称；命题q：当x＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝(sin2x＋cos2x)取得极小值．下列说法正确的是()A.p∨q是假命题B.¬p∧q是假命题C.p∧q是真命题D.¬p∨q是真命题4、设那么（）A.0<1B.0<1C.a>b>1D.b>a>15、∃x∈R，x2-ax+1≤0为假命题，则a的取值范围为（）A.（-2，2）B.[-2，2]C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-∞，-2]∪[2，+∞）评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、5个人去照相，其中甲，乙，丙三人的位置自左至右顺序不变（这三人可不相邻）则总共有_____种排法（用数字作答）．7、已知两曲线参数方程分别为和它们的交点坐标为____.8、【题文】在圆x2＋y2＝4所围成的区域内随机取一个点P(x，y)，则|x|＋|y|≤2的概率为________．9、【题文】当点在直线上运动时，的最小值是____10、平行x轴的直线的倾斜角是______．11、已知点P到点F（3，0）的距离比它到直线x=-2的距离大1，则点P满足的方程为______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)12、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

13、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）14、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共8分)19、解关于x的不等式：x2+（1+a）x+a＜0．

20、袋中有3个白球；2个红球共5个球．

（1）若有放回地依次取出两个球；求取得的两个球中至少有一个是白球的概率．

（2）若摸到白球时得1分；摸到红球时得2分，求任意取出3个球所得总分为5的概率．

21、【题文】连续做某种试验，结果或成功或失败，已知当第次成功，则第次也成功的概率为当第次失败，则第次成功的概率为若首次试验成功和失败的概率都是求第次试验成功的概率22、已知数列，的前n项和为Sn．

（1）计算S1，S2，S3，S4的值，并推测Sn的公式；

（2）用数学归纳法证明Sn的公式．评卷人得分五、计算题(共3题，共21分)23、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．24、设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．求L的方程；25、已知z1=5+10i，z2=3﹣4i，求z．评卷人得分六、综合题(共4题，共36分)26、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．27、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．28、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．29、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、B【分析】

∵变换：∴

代入曲线y=tanx，可得3y′=tan2x′，∴

故选B．

【解析】【答案】利用变换可得坐标之间的关系；代入曲线y=tanx，可得结论．

2、C【分析】【解析】试题分析：按分步计数原理考虑：第一步安排甲任务有种方法，第二步安排乙任务有种方法，第三步安排丙任务有种方法，所以总共有种考点：分步计数原理【解析】【答案】C3、B【分析】【解析】命题p中y＝cos＝cos＝cos＝sin与y＝sin关于原点对称，故p为真命题；命题q中y＝(sin2x＋cos2x)＝2sin取极小值时，2x＋＝2kπ－则x＝kπ－k∈Z，故q为假命题，则¬p∧q为假命题，故选B.【解析】【答案】B4、B【分析】【解答】根据指数函数底数小于1，那么可知函数在定义域内递减可知，故可知答案为B.

【分析】主要是考查了指数函数的单调性的运用，属于基础题。5、A【分析】解：∵∃x∈R，x2-ax+1≤0为假命题；

∴△=a2-4＜0

∴-2＜a＜2

故选A．

根据所给的∃x∈R，x2-ax+1≤0为假命题；得到判别式不于0，解不等式即可．

本题考查特称命题，解题的关键是根据这个命题是一个假命题，得到判别式的情况．【解析】【答案】A二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】

由题意；甲，乙，丙三人的位置自左至右顺序不变（这三人可不相邻）；

只需要从5个位置中；任取两个位置，安排其它两人，剩下的三个位置，安排甲，乙，丙三人即可。

故有A52=20种排法。

故答案为20

【解析】【答案】甲；乙，丙三人的位置自左至右顺序不变（这三人可不相邻），只需要从5个位置中，任取两个位置，安排其它两人，剩下的三个位置，安排甲，乙，丙三人即可，故可求．

7、略

【分析】【解析】试题分析：因为，和所以，有解得，故交点坐标为考点：极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化，【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】|x|＋|y|≤2表示的图形是正方形及其内部，用正方形的面积除以圆x2＋y2＝4的面积易得概率为【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意可知，当点在直线上运动时，则有则可知当且仅当等号成立，故的最小值是2.答案为2.

考点：均值不等式的运用。

点评：解决函数的最值可以运用函数单调性得到，也可以考虑运用均值不等式来求解得到，但是要注意等号成立的条件，属于基础题。【解析】【答案】210、略

【分析】解：由直线的倾斜角的定义可知；平行x轴的直线的倾斜角是0°．

故答案为：0°．

直接由直线的倾斜角的定义得答案．

本题考查了直线的倾斜角，是基础的会考题型．【解析】0°11、略

【分析】解：∵动点P到点（3；0）的距离比它到直线x=-2的距离大1；

∴将直线x=-2向左平移1个单位；得到直线x=-3；

可得点P到点（3；0）的距离等于它到直线x=-3的距离．

因此；点P的轨迹是以（3，0）为焦点；x=-3为准线的抛物线；

设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），可得=3；得2p=12

∴抛物线的方程为y2=12x；即为点P的轨迹方程．

故答案为：y2=12x．

根据题意；得到点P到点（3，0）的距离等于它到直线x=-3的距离，由抛物线的定义可得P的轨迹是以（3，0）为焦点；x=-3为准线的抛物线，由抛物线的标准方程与基本概念，即可算出点P的轨迹方程．

本题给出满足条件的动点P，求点P的轨迹方程．着重考查了抛物线的定义与标准方程、动点轨迹方程的求法等知识，属于基础题．【解析】y2=12x三、作图题(共9题，共18分)12、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

13、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．14、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共8分)19、略

【分析】

不等式因式分解为（x+1）（x+a）＜0；

①当-a=-1即a=1时，不等式为（x+1）2＜0；此时不等式的解集为∅；

②当-a＞-1即a＜1时；不等式的解集为{x|-1＜x＜-a}；

③当-a＞-1即a＞1时；不等式的解集为{x|-a＜x＜-1}．

综上：a=1时不等式的解集为∅；

a＜1时；不等式的解集为{x|-1＜x＜-a}；

a＞1时；不等式的解集为{x|-a＜x＜-1}．

【解析】【答案】对-a与-1的大小关系分类讨论即可得出不等式的解集．

20、略

【分析】

（1）有放回地依次取出两个球；所有的取法有5×5=25种。

取得的两个球中没有白球的取法有2×2=4种。

∴取得的两个球中至少有一个是白球的取法有25-4=21种。

由古典概型的概率公式得取得的两个球中至少有一个是白球的概率为

（2）任意取出3个球所得总分为5即摸出2个红球一个白球。

∵任意取出3个球所有的取法有C53=10

摸出2个红球一个白球D的取法有C22•C31=3

由古典概型的概率公式得。

∴任意取出3个球所得总分为5的概率

【解析】【答案】（1）利用分布乘法计数原理求出有放回地依次取出两个球所有的取法；再求出取得的两个球中至少有一个是白球，利用古典概型的概率公式求出概率．

（2）利用组合的方法求出任意取出3个球所有的取法；再求出任意取出3个球所得总分为5的取法，利用古典概型的概率公式求出概率．

21、略

【分析】【解析】不妨设第次试验成功的概率为第次试验成功的概率为

则由已知条件可得即

故数列为等比数列，且首项为公比为

所以即即

所以第次试验成功的概率为【解析】【答案】22、略

【分析】

（1）由题意得S1=a1，由S2=a1+a2求得S2，同理求得S3，S4．猜想猜想Sn=n∈N*；

（2）用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设Sk=则当n=k+1时，由条件可得当n=k+1时，也成立，从而猜想仍然成立．

本题主要考查数学归纳法的应用，用归纳法证明数学命题时的基本步骤：①检验n=1成立②假设n=k时成立，由n=k成立推导n=k+1成立，要注意由归纳假设到检验n=k+1的递推．【解析】解：（1）S1=S2=S3=S4=

可以看出；上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1．

于是推测Sn=n∈N*；

（2）证明：①当n=1时，左边=右边=猜想成立．

②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，即Sk=．

那么当n=k+1时，SK+1=Sk+=+=（k+）=•=•=

所以当n=k+1时；猜想也成立．

根据①②，可知猜想对任何n∈N*时都成立．五、计算题(共3题，共21分)23、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．24、解：所以当x=1时，k=点斜式得直线方程为y＝x－1【分析】【分析】函数的导数这是导函数的除法运算法则25、解：∴

又∵z1=5+10i，z2=3﹣4i

∴【分析】【分析】把z1、z2代入关系式，化简即可六、综合题(共4题，共36分)26、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）27、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；